分式概念及意義

分式的意義和性質(zhì)分式的意義和性質(zhì) 一 分式的概念一 分式的概念 1 用 A B 表示兩個(gè)整式 A B 可以表示成的形式 其中 A 叫做分式的分子 B 叫做 分式的分母 如果除式 B 中含有字母 式子就叫做分式 這就是分式的概念 研究分式就 從這里展開(kāi) 2 既然除式里含有字母的有理代數(shù)式叫做分式 那么 在分式里分母所包含的字母 就不 一定可以取任意值 分式的分子 A 可取任意數(shù)值 但分母 B 不能為零 因?yàn)橛昧阕龀龜?shù)沒(méi) 有意義 一般地說(shuō) 在一個(gè)分式里 分子中的字母可取任意數(shù)值 但分母中的字母 只能取不 使分母等于零的值 3 1 分式 當(dāng) B 0 時(shí) 分式無(wú)意義 2 分式 當(dāng) B 0 時(shí) 分式有意義 3 分式 當(dāng) 時(shí) 分式的值為零 4 分式 當(dāng) 時(shí) 分式的值為 1 5 分式 當(dāng) 時(shí) 即或時(shí) 為正數(shù) 6 分式 當(dāng)時(shí) 即或時(shí) 為負(fù)數(shù) 7 分式 當(dāng)時(shí)或時(shí) 為非負(fù)數(shù) 2 三 分式的基本性質(zhì) 1 學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)應(yīng)該與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類(lèi)比 不同點(diǎn)在于同乘以或同除以同一個(gè)不 等于零的整式 這個(gè)整式可以是數(shù)也可以是字母 只要是不為零的整式 2 這個(gè)性質(zhì)可用式子表示為 M 為不等于零的整式 3 學(xué)習(xí)基本性質(zhì)應(yīng)注意幾點(diǎn) 1 分子與分母同乘或同除的整式的值不能為零 2 易犯錯(cuò)誤是只乘 或只除 分母或只乘 或只除 分子 3 如果分子或分母是多項(xiàng)式時(shí) 必須乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng) 4 分式變號(hào)法則的依據(jù)是分式的基本性質(zhì) 5 分式的分子 分母和分式的符號(hào) 改變其中任何兩個(gè) 分式的值不變 如下列式子 四 約分 1 約分是約去分子 分母中的公因式 就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母 使分式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式 最簡(jiǎn)分式又叫既約分式 2 約分的理論依據(jù)是分式的基本性質(zhì) 3 約分的方法 1 如果分式的分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式 就約去分子和分母中相同因式的最 低次冪 當(dāng)分子和分母的系數(shù)是整數(shù)時(shí) 還要約去它們的最大公約數(shù) 例 1 請(qǐng)說(shuō)出下列各式中哪些是整式 那些是分式 1 2 3 4 3 5 a2 a 6 解 根據(jù)分式定義知 1 2 3 是分式 4 5 6 是整式 說(shuō)明 判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式要緊緊抓住除式中含不含字母 這里是分式 不能因?yàn)?a b 而認(rèn)為是整式 a b 是分式的值 要 區(qū)分分式的值和分式這兩個(gè)不同的概念 另外是整式而不是分式 雖然分母中有 但 不是字母而是無(wú)理數(shù) 是無(wú)限不循環(huán)小數(shù) 因此的除式中不含字母 例 2 在分式 1 2 3 中 字母 x 的值有什么限制 解 1 在中 當(dāng) x 2 時(shí) 使得分母 x 2 0 x 2 2 在中 當(dāng) x 2 時(shí) 使得分母 x 2 0 x 2 3 在中 當(dāng) x 2 或 x 3 時(shí) 使得分母 x 2 x 3 0 x 2 且 x 3 例 3 x 為何值時(shí) 分式 1 無(wú)意義 2 值為零 3 值為 1 4 值為 非負(fù)數(shù) 解 1 當(dāng)分母 2x 3 0 時(shí)分式無(wú)意義 x 時(shí) 分式無(wú)意義 2 當(dāng)時(shí) 分式值為零 x 1 時(shí)分式值為零 4 3 當(dāng)時(shí) 分式值為 1 x 4 時(shí)分式值為 1 4 當(dāng)或 時(shí) 分式值為非負(fù)數(shù) 或 x 1 或 x 時(shí)分式值為非負(fù)數(shù) 例 4 當(dāng) x 取何值時(shí) 分式 1 值為零 2 無(wú)意義 3 有意義 解 1 當(dāng) x 3 x 1 0 時(shí) 分式有意義 當(dāng) x 3 且 x 1 時(shí)分式有意義 又 6 2 x 0 時(shí)分式值為零 則 3 x 0 x 3 x 3 x 3 時(shí)分式值為零 2 x 3 x 1 0 分式無(wú)意義 即 x 3 0 或 x 1 0 x 3 或 x 1 時(shí)分式無(wú)意義 說(shuō)明 對(duì)于 1 也可先令分子為零 求出字母的所有可能值為 x 3 后 再逐一代入分母 驗(yàn)證是否為零 不為零者即為所求 對(duì)于 2 當(dāng) x 3 0 或 x 1 0 時(shí) 都會(huì)使分式的分母等于零 所以要注意 或 字的使用 解 3 x 3 x 1 0 時(shí)分式有意義 即 x 3 0 且 x 1 0 時(shí) x 3 且 x 1 時(shí)分式有意義 說(shuō)明 對(duì)于 3 分母 x 3 x 1 只有不為零時(shí) 分式有意義 而 x 3 x 1 0 當(dāng) x 3 0 或 x 1 0 都會(huì)使 x 3 x 1 0 所以應(yīng)將 x 3 和 x 1 都同時(shí)排除掉 寫(xiě)成 x 3 且 x 1 用 且 字 而不用 或 字 意義為 x 不能為 3 而且還不能為 1 即 3 和 1 都不能取 因?yàn)槿∪魏纹渲幸粋€(gè) 值 分母 x 3 x 1 都會(huì)為 0 而使分式都會(huì)無(wú)意義 例 5 寫(xiě)出等式中未知的分子或分母 1 2 3 1 分析 這類(lèi)問(wèn)題要從已知條件入手 根據(jù)分式的基本性質(zhì) 分析變化的過(guò)程 如 1 右邊分母 x2 y2是 x y x y 而左邊分母為 x y 所以需將左式的分子和分母同乘以 x y 5 解 未知的分子是 x y 2 2 分析 左邊分子 a2 ab a a b 而右邊分子是 a b 所以需將左式的分子和分母同除以 a 解 未知的分母是 b 3 a2 ab a a b 將分子因式分解 比較分子 發(fā)現(xiàn)分子 分母同乘以 a 2ab 即為所求的分母 例 6 把下列分式的分子和分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù) 1 2 1 分析 先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍數(shù)為 15 再據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì) 分子和分母同乘以 15 解 2 解 注 必須乘以分子和分母的每一項(xiàng) 避免發(fā)生 0 2a 3b 10 2a 3b 這樣的錯(cuò)誤 6 例 7 不改變分式的值 使下列分式中分子與分母不含 號(hào) 1 2 解 根據(jù)分式的符號(hào)法則得 1 2 注意 分式 分子和分母的符號(hào)中 任意改變其中兩個(gè) 分式的值不變 1 中改變分式 本身和分母兩個(gè)負(fù)號(hào) 2 中改變分子和分母兩個(gè)負(fù)號(hào) 例 8 不改變分式的值 依照 x 的降冪排列 使分子和分母中 x 的最高項(xiàng)的系數(shù)都為正數(shù) 1 2 解 1 2 說(shuō)明 解題可分為三步 1 先將分式的分子和分母都按 x 的降冪排列 這步只是運(yùn)用加 法交換律 不改變符號(hào) 2 將分子和分母的最高項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù) 只要提取公因式 1 即可 提取時(shí)注意每項(xiàng)都要變號(hào) 3 運(yùn)用符號(hào)法則進(jìn)行變號(hào) 注意 如果分子或分母的首項(xiàng)為負(fù) 則必須先將負(fù)號(hào)提到括號(hào)外面 再使用符號(hào)法則 要 注意避免下列的錯(cuò)誤 7 例 9 約分 1 2 解 1 3yz10 注意 分母的因式約去后得 1 分式變?yōu)檎?若化簡(jiǎn)分式時(shí)千萬(wàn)不要犯下列 錯(cuò)誤 0 2 注意 分母的負(fù)號(hào)一般要移去 2 如果分式的分子或分母是多項(xiàng)式 應(yīng)先分解因式 然后再約分 例 10 約分 1 2 3 4 5 解 1 注意 不要把約成 也不要將最后結(jié)果寫(xiě)成 因?yàn)榉?式的橫線表示括號(hào) 再寫(xiě)括號(hào)就多余了 8 2 注 不要將約做 因?yàn)檫@樣是分子分母都減 a2 不是同除以相同的 整式 3 x2 1 注 不要犯下面的錯(cuò)誤 x3 x2 4 注意 這里應(yīng)用到了 2 x 3 x 2 3的變形 5 分子按 x 的降冪排列 分子提取公因式 1 分子 分母都分解因式 約去公因式 x 1 應(yīng)用分式的符號(hào)法則 說(shuō)明 此題的解法 一方面顯示出分式約分的一般步驟 另一方面在解題的右側(cè)的括號(hào)內(nèi) 寫(xiě)出運(yùn)算的算理 平日的化簡(jiǎn)是不寫(xiě)這些的 但不是它不存在 在思維上它是不可缺少的 9 分?jǐn)?shù)的乘除法的關(guān)鍵是約分 而分式乘除法的關(guān)鍵也是約分 就是說(shuō) 分式乘除法運(yùn)算的 實(shí)質(zhì)是約分 它能使運(yùn)算的結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式 同分?jǐn)?shù)的約分一樣 分式的約分是應(yīng)用分式的 基本性質(zhì) 把分式的分子 分母同除以它們的公因式 把分式化簡(jiǎn) 因此約分的關(guān)鍵在于正確 尋找到分式分子 分母中的公因式 附錄 附錄 一 本講教學(xué)內(nèi)容及要求 單元 節(jié)次 知識(shí)要點(diǎn) 教學(xué)要求 分式 1 分式概念 2 有理式概念 A 了解 A 分式的基本性質(zhì) 1 分式的基本性質(zhì) 2 分式的符號(hào)法則 D 靈活運(yùn)用 C 掌握 分 式 分式的約分 1 約分和最簡(jiǎn)分式 2 約分的根據(jù) 3 分式