河南省濮陽(yáng)市2012-2013學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理（含解析）新人教A版

1 河南省濮陽(yáng)市河南省濮陽(yáng)市 2012 20132012 2013 年下學(xué)期高二期末考試年下學(xué)期高二期末考試 數(shù)學(xué) 理 試題數(shù)學(xué) 理 試題 考試時(shí)間 120 分鐘 滿分 150 分 第 卷 選擇題 共 60 分 一 選擇題 本題共一 選擇題 本題共 1212 小題 每小題小題 每小題 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只 有一項(xiàng)正確 有一項(xiàng)正確 1 1 若復(fù)數(shù) z 滿足 zi 1 i 則 z 等于 A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 2 以下三個(gè)命題 a b 是 a2 b2 的充分條件 a b 是 a2 b2 的 必要條件 a b 是 a c b c 的充要條件 其中真命題有 A 0 B 1 C 2 D 3 3 閱讀下邊的程序框圖 運(yùn)行相應(yīng)的程序 若輸入 x 的值為 4 則輸出 y 的值 為 A 0 5 B 1 C 2 D 4 4 若函數(shù) x 2 在 x a 處取最小值 則 a 為 2 1 x xxf A B 1 C 3 D 4 21 3 5 小王通過(guò)英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試的概率是 他連續(xù)測(cè)試 3 次 那么其中恰有 1 次獲得通過(guò)的概 3 1 率是 B C D 9 4 A 9 2 27 4 27 2 2 6 拋物線 y x2 在 A 1 1 處的切線與 y 軸及該拋物線所圍成的圖形面積為 A B C 1 D 2 3 1 2 1 7 若 的展開(kāi)式中第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng) 則 n n x 2 1 x 3 A 4 B 5 C 6 D 7 8 設(shè)雙曲線 1 a 0 b 0 的虛軸長(zhǎng)為 2 焦距為 2 則雙曲線的漸近線方 2 2 2 2 b y a x 3 程為 A B y C y D y x2y x2 x 2 2 x 2 1 9 已知 F 是拋物線 y2 x 的焦點(diǎn) A B 是該拋物線上的兩點(diǎn) AF BF 3 則線段 AB 的 中點(diǎn)到 y 軸的距離為 A B 1 C D 4 3 4 5 4 7 3 10 設(shè)是公差不為 0 的等差數(shù)列 a 2 a a a 成等比數(shù)列 則的前 n 項(xiàng)和 an 1136 an S n A B C D 4 7 4 2 nn 3 5 3 n 2 n 4 3 2 2 nn nn 2 11 下列四個(gè)命題中 設(shè)回歸直線方程為 2 2 5x 當(dāng)變量 x 增加一個(gè)edx x 1 0 e y 單位時(shí) y 大約減少 2 5 個(gè)單位 已知服從正態(tài)分布 N 0 且 P 2 0 4 2 0 則 P 2 0 1 對(duì)于命題 P 0 則p 0 成立 則實(shí)數(shù) x 的取值范圍為 1 1 2 14 已知實(shí)數(shù) x y 滿足不等式組 則 z 2x y 的最大值是 1 033 032x y yx y 5 15 計(jì)劃在 4 個(gè)不同的體育館舉辦排球 籃球 足球 3 個(gè)項(xiàng)目的比賽 每個(gè)項(xiàng)目的比賽只 能安排在一個(gè)體育館進(jìn)行 則在同一個(gè)場(chǎng)館比賽的項(xiàng)目不超過(guò) 2 項(xiàng)的安排方案共有 解 每個(gè)比賽項(xiàng)目的場(chǎng)館選擇都有 4 種 于是總的方案共有 4 4 4 64 在每一個(gè)場(chǎng)館比 賽的項(xiàng)目超過(guò)兩項(xiàng)即三項(xiàng)的安排方案有 1 種 共有 4 種 于是在同一個(gè)場(chǎng)館比賽的項(xiàng)目不 超過(guò)兩項(xiàng)的安排方案共有 64 4 60 故答案為 60 16 觀察下列等式 可以推測(cè) n321 3333 三 解答題 本題共三 解答題 本題共 6 6 小題 共小題 共 7070 分 解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟 分 解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟 17 本題滿分 10 分 設(shè) ABC 的內(nèi)角 A B C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a b c 且 cosB b 2 5 4 當(dāng) A 30 時(shí) 求 a 的值 當(dāng) ABC 的面積為 3 時(shí) 求 a c 的值 解 1 因?yàn)?cos B 所以 sin B 由正弦定理 可得 4 5 3 5 a sin A b sin B a sin 30 10 3 所以a 4 分 5 3 2 因?yàn)?ABC的面積S ac sin B sin B 所以ac 3 ac 10 1 2 3 5 3 10 6 由余弦定理得b2 a2 c2 2accos B 得 4 a2 c2 ac a2 c2 16 即a2 c2 20 8 5 所以 a c 2 2ac 20 a c 2 40 所以a c 2 10 分 10 18 本題滿分 12 分 已知等差數(shù)列 a 滿足 a 0 a a 10 n268 I 求數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式 n II 求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 1 2 n n a 解 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 由已知條件可得Error 解得Error 故數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2 n 4 分 2 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn an 2n 1 an 2n 1 2 n 2n 1 1 2n 2 n 2n 1 Sn 2 1 1 2 1 22 1 2n 2 1 2 2 3 22 n 2n 1 記Tn 1 2 2 3 22 n 2n 1 則Tn 1 2 1 2 2 22 3 23 n 2n 得 Tn 1 8 分 1 2 1 2 1 22 1 2n 1 n 2n Tn 即Tn 4 1 2 1 1 2n 1 1 2 n 2n 1 1 2n n 2n 1 Sn 4 4 4 1 2 1 1 2 n 1 1 2 1 1 2n n 2n 1 1 1 2n 1 1 2n n 2n 1 n 2n 1 2 分 說(shuō)明 直接利用錯(cuò)位相減求對(duì)也可以 1 2 n n n S 19 本題滿分 12 分 如圖 四棱錐 P ABCD 中 底面 ABCD 為平行四邊形 DAB 60 AB 2AD PD 底面 ABCD 證明 PA BD 若 PD AD 求二面角 A PB C 的余弦值 7 1 證明 因?yàn)?DAB 60 AB 2AD 由余弦定理得BD AD 3 從而B(niǎo)D2 AD2 AB2 故BD AD 又PD 底面ABCD 可得BD PD 又AD PD D 所以BD 平面PAD 故PA BD 4 分 2 解 如圖 以D為坐標(biāo)原點(diǎn) AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng) 射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D xyz 則 A 1 0 0 B 0 0 C 1 0 P 0 0 1 33 1 0 0 1 1 0 0 6 分 AB 3 PB 3 BC 設(shè)平面PAB的法向量為n n x y z 則Error 即Error 因此可取n n 1 8 分 33 設(shè)平面PBC的法向量為m m 則Error 可取m m 0 1 10 分 3 則 cos m m n n 故二面角A PB C的余弦值為 4 27 27 7 27 7 12 分 20 本題滿分 12 分 某飲料公司招聘了一名員工 現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試 以便確定工資級(jí)別 公司準(zhǔn)備了 兩種不同的飲料共 8 杯 其顏色完全相同 并且其中 4 杯為 A 飲料 另外 4 杯為 B 飲料 公司要求此員工一一品嘗后 從 8 杯飲料中選出 4 杯 A 飲料 若 4 杯都選對(duì) 則月工資定 位 3500 元 若 4 杯選對(duì) 3 杯 則月工資定為 2800 元 否則月工資定為 2100 元 今 X 表示 此人選對(duì) A 飲料的杯數(shù) 假設(shè)此人對(duì) A 和 B 兩種飲料沒(méi)有鑒別能力 1 求 X 的分布列 2 求此員工月工資的期望 解 1 X的所有可能取值為 0 1 2 3 4 P X i i 0 1 2 3 4 Ci4C4 i4 C4 8 則X的分布列為 6 分 2 令Y表示此員工的月工資 則Y的所有可能取值為 2 100 2 800 3 500 則 P Y 3 500 P X 4 1 70 P Y 2 800 P X 3 8 35 X01234 P 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 8 X Y O D B A P Y 2 100 P X 2 53 70 E Y 3 500 2 800 2 100 2 280 1 70 16 70 53 70 所以此員工月工資的期望為 2 280 元 12 分 21 本題滿分 12 分 已知點(diǎn) A 1 是離心率為的橢圓 C 1 a b 0 上的一點(diǎn) 斜率為2 2 2 2 2 2 2 x a y b 的直線 BD 交橢圓 C 于 B D 兩點(diǎn) 且 A B D 三點(diǎn)不重合 2 求橢圓 C 的方程 ABD 的面積是否存在最大值 若存在 求出這個(gè)最大值 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 求證 直線 AB AD 的斜率之和為定值 解 1 a c e 2 2 1 21 22 ab 222 cba 2 a2 b2 c 4 分 1 42 22 yx 2 設(shè)直線 BD 的方程為mxy 2 42 2 22 yx mxy 04224 22 mmxx 0648 2 m2222 m 2 2 21 mxx 4 4 2 21 m xx 2 2 21 2 8 2 6 4 864 3 4 3 2 1m m xxBD 設(shè)為點(diǎn)到直線 BD 的距離 dAmxy 2 3 m d 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 2 8 4 2 2 1 22 mmdBDS ABD 2 m 因?yàn)?所以當(dāng)時(shí) 的面積最大 2 22 22 2 mABD 最大值為 8 分2 3 設(shè) 直線 的斜率分別為 則 11 yxD 22 yxBABAD AB k AD k ABAD kk 1 22 1 22 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 x mx x mx x y x y 9 1 2 22 2121 21 xxxx xx m 將 中 式代入 式整理得 0 1 2 22 2121 21 xxxx xx m 即0 ABAD kk 12 分 22 本題滿分 12 分 已知函數(shù)xxaaxxln 2 f 2 1 當(dāng) a 1 時(shí) 求函數(shù) f x 的單調(diào)區(qū)間 2 當(dāng) a 0 時(shí) 若 f x 在區(qū)間 1 e 上的最小值為 2 求 a 的取值范圍 3 若對(duì)于任意 x x x x 且恒成立 求 a 12 0 122211 2 2 fxxfxx 的取值范圍 解 1 當(dāng)時(shí) 定義域?yàn)? a ln3 2 xxxxf 0 2 分 x xx x xxf 1121 32 令得 令得 0 xf1 2 1 0 xx或 0 xf1 2 1 x 所以 4 分 1 2 1 1 2 1 0 減區(qū)間為和的增區(qū)間為xfy 2 函數(shù)的定義域是 5 分xxaaxxfln 2 2 0 當(dāng)時(shí) 0 a 0 1 2 21 2 2 2 x x xaax x aaxxf 令 即 0 xf0 1 12 1 2 2 2 x axx x xaax xf 所以或 6 分 2 1 x a x 1 當(dāng) 即時(shí) 在 1 e 上單調(diào)遞增 所以在 1 e 上的1 1 0 a 1 a xf xf 最小值是 符合題意 2 1 f 當(dāng)時(shí) 即時(shí) 在 1 e 上的最小值是 e a 1 11 1 a e xf2 1 1 f a f 不合題意 當(dāng)時(shí) 即時(shí) 在 1 e 上單調(diào)遞減 所以在 1 e e a 1 e a 1 0 xf xf 10 上的最小值是 不合題意 2 1 fef