第3章 概率 章末復(fù)習(xí)課 學(xué)案（人教A版必修3）

第 3 章 概率 章末復(fù)習(xí)課章末復(fù)習(xí)課 畫一畫知識網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)更完善 填要點 記疑點 1 頻率與概率 頻率是概率的近似值 是隨機的 隨著試驗的不同而變化 概率是多數(shù)次的試驗中頻 率的穩(wěn)定值 是一個常數(shù) 不要用一次或少數(shù)次試驗中的頻率來估計概率 2 求較復(fù)雜概率的常用方法 1 將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和 2 先求其對立事件的概率 然后再應(yīng)用公式 P A 1 P 求解 A 3 古典概型概率的計算 關(guān)鍵要分清基本事件的總數(shù) n 與事件 A 包含的基本事件的個數(shù) m 再利用公式 P A 求 有時需要用列舉法把基本事件一一列舉出來 在列舉時必須按某一順序做到不 m n 重不漏 4 幾何概型事件概率的計算 關(guān)鍵是求得事件 A 所占區(qū)域和整個區(qū)域的幾何度量 然后代入公式求解 題題型 提能力 題型一 隨機事件的概率 例 1 對一批 U 盤進行抽檢 結(jié)果如下表 抽出件數(shù) a50100200300400500 次品件數(shù) b345589 次品頻率 b a 1 計算表中次品的頻率 2 從這批 U 盤中任抽一個是次品的概率約是多少 3 為保證買到次品的顧客能夠及時更換 要銷售 2 000 個 U 盤 至少需進貨多少個 U 盤 解 1 表中次品頻率從左到右依次為 0 06 0 04 0 025 0 017 0 02 0 018 2 當抽取件數(shù) a 越來越大時 出現(xiàn)次品的頻率在 0 02 附近擺動 所以從這批 U 盤中任 抽一個是次品的概率約是 0 02 3 設(shè)需要進貨 x 個 U 盤 為保證其中有 2 000 個正品 U 盤 則 x 1 0 02 2 000 因為 x 是正整數(shù) 所以 x 2 041 即至少需進貨 2 041 個 U 盤 跟蹤訓(xùn)練 1 某射擊運動員為備戰(zhàn)奧運會 在相同條件下講行射擊訓(xùn)練 結(jié)果如下 射擊次數(shù) n102050100200500 擊中靶心次數(shù) m8194492178455 擊中靶心的頻率0 80 950 880 920 890 91 1 該射擊運動員射擊一次 擊中靶心的概率大約是多少 2 假設(shè)該射擊運動員射擊了 300 次 則擊中靶心的次數(shù)大約是多少 3 假如該射擊運動員射擊了 300 次 前 270 次都擊中靶心 那么后 30 次一定都擊不 中靶心嗎 4 假如該射擊運動員射擊了 10 次 前 9 次中有 8 次擊中靶心 那么第 10 次一定擊中 靶心嗎 解 1 由題意 得擊中靶心的頻率與 0 9 接近 故概率約為 0 9 2 擊中靶心的次數(shù)大約為 300 0 9 270 次 3 由概率的意義 可知概率是個常數(shù) 不因試驗次數(shù)的變化而變化 后 30 次中 每次擊 中靶心的概率仍是 0 9 所以不一定不擊中靶心 4 不一定 題型二 互斥事件與對立事件 例 2 現(xiàn)有 8 名數(shù)理化成績優(yōu)秀者 其中 A1 A2 A3數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀 B1 B2 B3物理成績 優(yōu)秀 C1 C2化學(xué)成績優(yōu)秀 從中選出數(shù)學(xué) 物理 化學(xué)成績優(yōu)秀者各 1 名 組成一 個小組代表學(xué)校參加競賽 1 求 C1被選中的概率 2 求 A1和 B1不全被選中的概率 解 1 從 8 人中選出數(shù)學(xué) 物理 化學(xué)成績優(yōu)秀者各 1 名 其一切可能的結(jié)果組成的基 本事件空間 A1 B1 C1 A1 B1 C2 A1 B2 C1 A1 B2 C2 A1 B3 C1 A1 B3 C2 A2 B1 C1 A2 B1 C2 A2 B2 C1 A2 B2 C2 A2 B3 C1 A2 B3 C2 A3 B1 C1 A3 B1 C2 A3 B2 C1 A3 B2 C2 A3 B3 C1 A3 B3 C2 由 18 個基本事件組成 由于每一個基本事件被抽取的機會均等 因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的 用 M 表示 C1恰被選中 這一事件 則 M A1 B1 C1 A1 B2 C1 A1 B3 C1 A2 B1 C1 A2 B2 C1 A2 B3 C1 A3 B1 C1 A3 B2 C1 A3 B3 C1 事件 M 由 9 個基本事件組成 因而 P M 9 18 1 2 2 用 N 表示 A1 B1不全被選中 這一事件 則其對立事件 表示 A1 B1全被選中 這一事件 N 由于 A1 B1 C1 A1 B1 C2 事件 由 2 個基本事件組成 所以 P NNN 2 18 1 9 由對立事件的概率公式得 P N 1 P 1 N 1 9 8 9 反思與感悟 在求有關(guān)事件的概率時 若從正面分析 包含的事件較多或較繁瑣 而其 反面卻較容易入手 這時 可以利用對立事件求解 跟蹤訓(xùn)練 2 有 4 張面值相同的債券 其中有 2 張中獎債券 1 有放回地從債券中任取 2 張 每次取出 1 張 計算取出的 2 張中至少有 1 張是中獎 債券的概率 2 無放回地從債券中任取 2 張 每次取出 1 張 計算取出的 2 張中至少有 1 張是中獎 債券的概率 解 1 把四張債券分別編號 1 2 3 4 其中 3 4 是中獎債券 用 2 3 表示 第一次取出 2 號債券 第二次取出 3 號債券 所有可能的結(jié)果組成的基本事件空間為 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 用 C 表示 有放回地從債券中任取 2 次 取出的 2 張都不是中獎債券 則 表示 有 C 放回地從債券中任取 2 次 取出的 2 張中至少有 1 張是中獎債券 則 C 1 1 1 2 2 1 2 2 所以 P 1 P C 1 C 4 16 3 4 2 無放回地從債券中任取 2 張 所有可能的結(jié)果組成的基本事件空間 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3 用 D 表示 無放回地從債券中任取 2 張 取出的 2 張都不是中獎債券 則 表示 無 D 放回地從債券中任取 2 次 取出的 2 張至少有 1 張是中獎債券 則 P 1 P D 1 D 2 12 5 6 題型三 古典概型與幾何概型 例 3 某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標分別為 x y z 用綜合指標 S x y z 評價該產(chǎn)品的等 級 若 S 4 則該產(chǎn)品為一等品 現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中 隨機抽取 10 件產(chǎn)品作為樣本 其質(zhì)量指標列表如下 產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5 質(zhì)量指標 x y z 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 產(chǎn)品編號A6A7A8A9A10 質(zhì)量指標 x y z 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率 2 在該樣本的一等品中 隨機抽取 2 件產(chǎn)品 用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果 設(shè)事件 B 為 在取出的 2 件產(chǎn)品中 每件產(chǎn)品的綜合指標 S 都等于 4 求事件 B 發(fā) 生的概率 解 1 計算 10 件產(chǎn)品的綜合指標 S 如下表 產(chǎn)品 編號 A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 S4463454535 其中 S 4 的有 A1 A2 A4 A5 A7 A9 共 6 件 故該樣本的一等品率為 0 6 從而可 6 10 估計該批產(chǎn)品的一等品率為 0 6 2 在該樣本的一等品中 隨機抽取 2 件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為 A1 A2 A1 A4 A1 A5 A1 A7 A1 A9 A2 A4 A2 A5 A2 A7 A2 A9 A4 A5 A4 A7 A4 A9 A5 A7 A5 A9 A7 A9 共 15 種 在該樣本的一等品中 綜合指標 S 等于 4 的產(chǎn)品編號分別為 A1 A2 A5 A7 則事件 B 發(fā)生的所有可能結(jié)果為 A1 A2 A1 A5 A1 A7 A2 A5 A2 A7 A5 A7 共 6 種 所以 P B 6 15 2 5 跟蹤訓(xùn)練 3 如圖所示的大正方形面積為 13 四個全等的直角三角形圍成一個陰影小正方 形 較短的直角邊長為 2 向大正方形內(nèi)投擲飛鏢 飛鏢落在陰影部分的概率為 A B C D 4 13 2 13 1 13 3 13 答案 C 解析 設(shè)陰影小正方形邊長為 x 則在直角三角形中 有 22 x 2 2 2 13 解得 x 1 或 x 5 舍 陰影部分面積為 1 飛鏢落在陰影部分的概率為 1 13 題型四 數(shù)形結(jié)合的思想在求概率中的運用 例 4 三個人玩?zhèn)髑蛴螒?每個人都等可能地傳給另兩人 不自傳 若從 A 發(fā)球算起 經(jīng) 4 次傳球又回到 A 手中的概率是多少 解 記三人為 A B C 則 4 次傳球的所有可能可用樹狀圖方式列出 如右圖 每一個分支為一種傳球方案 則基本事件的總數(shù)為 16 而又回到 A 手中的事件個數(shù)為 6 個 根據(jù)古典概型概率公式得 P 6 16 3 8 反思與感悟 事件個數(shù)沒有很明顯的規(guī)律 而且涉及的基本事件又不是太多時 我們可 借助樹狀圖法直觀地將其表示出來 有利于條理地思考和表達 跟蹤訓(xùn)練 4 設(shè) M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 任取 x y M x y 求 x y 是 3 的倍數(shù)的概 率 解 利用平面直角坐標系列舉 如圖所示 由此可知 基本事件總數(shù) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45 而 x y 是 3 的倍數(shù)的情 況有 m 1 2 4 4 3 1 15 種 故所求事件的概率 m n 1 3 呈重點 現(xiàn)規(guī)律 1 兩個事件互斥 它們未必對立 反之 兩個事件對立 它們一定互斥 若事件 A1 A2 A3 An彼此互斥 則 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 2 關(guān)于古典概型 必須要解決好下面三個方面的問題 1 本試驗是否是等可能的 2 本試驗的基本事件有多少個 3 事件 A 是什么 它包含多少個基本事件 只有回答好了這三方面的問題 解題才不會出錯 3 幾何概型的試驗中 事件 A 的概率 P A 只與子區(qū)域 A 的幾何度量 長度 面積或體積 成 正比 而與 A 的位置和形狀無關(guān) 求試驗為幾何概型的概率 關(guān)鍵是求得事件所占區(qū) 域和整個區(qū)域 的幾何度量 然后代入公式即可求解 4 關(guān)于隨機數(shù)與