函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與典型例題總結(jié).ppt

函數(shù)的復(fù)習(xí)主要抓住兩條主線 1 函數(shù)的概念及其有關(guān)性質(zhì) 2 幾種初等函數(shù)的具體性質(zhì) 函數(shù)的概念 定義 表示 列表法 解析法 圖象法 三要素 定義域 對(duì)應(yīng)關(guān)系 值域 值域與最值 觀察法 判別式法 分離常數(shù)法 單調(diào)性法 最值法 重要不等式 三角法 圖象法 線性規(guī)劃等 函數(shù)的圖象函數(shù)的基本性質(zhì) 單調(diào)性 1 求單調(diào)區(qū)間 定義法 導(dǎo)數(shù)法 用已知函數(shù)的單調(diào)性 2 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性 同增異減 對(duì)稱性 軸對(duì)稱 f a x f a x 中心對(duì)稱 f a x f a x 2b 奇偶性 1 先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 再看f x f x 還是 f x 2 奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 若x 0有意義 則f 0 0 3 偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 反之也成立 周期性 f x T f x 周期為T的奇函數(shù)有f T f T 2 f 0 0 函數(shù)常見的幾種變換 平移變換 對(duì)稱變換 翻折變換 伸縮變換基本初等函數(shù) 正 反 比例函數(shù) 一次 二次 函數(shù) 冪 指數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 定義 圖象 性質(zhì) 應(yīng)用 復(fù)合函數(shù) 單調(diào)性 同增異減 奇偶性 內(nèi)偶則偶 內(nèi)奇同外抽象函數(shù) 賦值法函數(shù)的應(yīng)用 函數(shù)與方程 函數(shù)零點(diǎn) 一元二次方程根的分布 常見函數(shù)模型 冪 指 對(duì)函數(shù)模型 分段函數(shù) 對(duì)勾函數(shù)模型 函數(shù) 函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu) B C x1x2x3x4x5 y1y2y3y4y5 y6 A 函數(shù)的三要素 定義域 值域 對(duì)應(yīng)法則 A B是兩個(gè)非空的數(shù)集 如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f 對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x 在集合B中都有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng) 這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù) 一 函數(shù)的概念 二 映射的概念 設(shè)A B是兩個(gè)非空的集合 如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f 使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x 在集合B中都有唯一確定的元素y于之對(duì)應(yīng) 那么就稱對(duì)應(yīng)f A B為集合A到集合B的一個(gè)映射 映射是函數(shù)的一種推廣 本質(zhì)是 任一對(duì)唯一 函數(shù)的定義域 使函數(shù)有意義的x的取值范圍 求定義域的主要依據(jù) 1 分式的分母不為零 2 偶次方根的被開方數(shù)不小于零 3 零次冪的底數(shù)不為零 4 對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零 5 指 對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不為1 6 實(shí)際問題中函數(shù)的定義域 一 函數(shù)的定義域 1 具體函數(shù)的定義域 1 1 2 2 2 1 1 3 3 4 1 2 抽象函數(shù)的定義域 1 已知函數(shù)y f x 的定義域是 1 3 求f 2x 1 的定義域 2 已知函數(shù)y f x 的定義域是 0 5 求g x f x 1 f x 1 的定義域 3 1 1 2 2 1 4 3 思考 若值域?yàn)镽呢 分析 值域?yàn)镽等價(jià)為真數(shù)N能取 0 每個(gè)數(shù) 當(dāng)a 0時(shí) N 3只是 0 上的一個(gè)數(shù) 不成立 當(dāng)a 0時(shí) 真數(shù)N取 0 每個(gè)數(shù)即 2 函數(shù)的值域 1 在函數(shù)y f x 中 與自變量x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫 叫函數(shù)的值域 2 基本初等函數(shù)的值域 函數(shù)值 函數(shù)值的集合 求值域的一些方法 1 圖像法 2 配方法 3 分離常數(shù)法 4 換元法 5單調(diào)性法 1 2 3 4 三 函數(shù)的表示法 1 解析法2 列表法3 圖象法 例10求下列函數(shù)的解析式 待定系數(shù)法 換元法 賦值法 構(gòu)造方程組法 4 已知 求的解析式 配湊法 1 函數(shù)的單調(diào)性 f x1 f x2 f x1 f x2 上升的 下降的 1 單調(diào)函數(shù)的定義 寫出常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并指明是增區(qū)間還是減區(qū)間 用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟 1 設(shè)元 設(shè)x1 x2是區(qū)間上任意兩個(gè)實(shí)數(shù) 且x1 x2 2 作差 f x1 f x2 3 變形 通過因式分解轉(zhuǎn)化為易于判斷符號(hào)的形式 4 判號(hào) 判斷f x1 f x2 的符號(hào) 5 下結(jié)論 1 函數(shù)f x 2x 1 x 1 x x 1 則f x 的遞減區(qū)間為 A 1 B 1 C 0 D 0 B 2 若函數(shù)f x x2 2 a 1 x 2在區(qū)間 4 上是增函數(shù) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 3判斷函數(shù)的單調(diào)性 拓展提升復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 規(guī)律 當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí) 其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù) 當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不相同時(shí) 其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù) 同增異減 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 例題 求下列函數(shù)的單調(diào)性y log4 x2 4x 3 解設(shè)y log4u 外函數(shù) u x2 4x 3 內(nèi)函數(shù) 由u 0 u x2 4x 3 解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?x x 1或x 3 當(dāng)x 1 時(shí) u x2 4x 3為減函數(shù) 而y log4u為增函數(shù) 所以 1 是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間 當(dāng)x 3 時(shí) u x2 4x 3為增函數(shù)y log4u為增函數(shù) 所以 3 是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間 例4 求的單調(diào)區(qū)間 解 設(shè)由u R u x2 2x 1 解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)閤 R 因?yàn)樵诙x域R內(nèi)為減函數(shù) 所以由二次函數(shù)u x2 2x 1的單調(diào)性易知 u x2 2x 1 x 1 2 2在x 1時(shí)單調(diào)減 由x R 復(fù)合函數(shù)定義域 x 1 u減 解得x 1 所以 1 是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間 同理 1 是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性小結(jié) 復(fù)合函數(shù)y f g x 的單調(diào)性可按下列步驟判斷 1 將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) y f u 與u g x 其中y f u 又稱為外層函數(shù) u g x 稱為內(nèi)層函數(shù) 2 確定函數(shù)的定義域 3 分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性 4 若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同 即都是增函數(shù) 或都是減函數(shù) 則復(fù)合后的函數(shù)y f g x 為增函數(shù) 5 若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異 即一個(gè)是增函數(shù) 而另一個(gè)是減函數(shù) 則復(fù)合后的函數(shù)y f g x 為減函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可概括為一句話 同增異減 四 函數(shù)的奇偶性 1 奇函數(shù) 對(duì)任意的 都有 2 偶函數(shù) 對(duì)任意的 都有 3 奇函數(shù)和偶函數(shù)的必要條件 注 要判斷函數(shù)的奇偶性 首先要看其定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 奇 偶 函數(shù)的一些特征 1 若函數(shù)f x 是奇函數(shù) 且在x 0處有定義 則f 0 0 2 奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 且在對(duì)稱的區(qū)間上不改變單調(diào)性 3 偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 且在對(duì)稱的區(qū)間上改變單調(diào)性 一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù) 它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù) 它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 3 性質(zhì) 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性 偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性 2 在定義域的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的公共區(qū)間內(nèi) 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 偶 非奇非偶 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 奇 奇 1 奇函數(shù) 偶函數(shù)的圖象特點(diǎn) 3 奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系 1 周期函數(shù) 對(duì)于函數(shù)y f x 如果存在一個(gè)非零常數(shù)T 使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí) 都有f x T 那么就稱函數(shù)y f x 為周期函數(shù) 稱T為這個(gè)函數(shù)的周期 2 最小正周期 如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中 的正數(shù) 那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f x 的最小正周期 3 周期性 存在一個(gè)最小 f x 例12判斷下列函數(shù)的奇偶性 函數(shù)的奇偶性與周期性 函數(shù)的圖象 1 用學(xué)過的圖像畫圖 2 用某種函數(shù)的圖象變形而成 1 關(guān)于x軸 y軸 原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)系 2 平移關(guān)系 3 絕對(duì)值關(guān)系 反比例函數(shù) 1 定義域 2 值域 3 圖象 k 0 k 0 1 二次函數(shù)的定義與解析式 一般式 頂點(diǎn)式 頂點(diǎn)為 零點(diǎn)式 其中 是方程ax2 bx c 0的兩根 y ax2 bx c a 0 y a x m 2 n a 0 y a x x1 x x2 a 0 m n 1 二次函數(shù)的定義形如 f x ax2 bx c a 0 的函數(shù)叫做二次函數(shù) 2 二次函數(shù)解析式的三種形式 x1 x2 對(duì)稱軸 頂點(diǎn) 2 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 上遞減 上遞增 上遞增 上遞減 3 二次函數(shù)f x ax2 bx c a 0 與軸兩交點(diǎn)的距離 當(dāng) b2 4ac 0時(shí) 圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M1 x1 0 M2 x2 0 4 二次函數(shù)f x ax2 bx c a 0 在 m n 上的最值 2 若 m n 則 當(dāng)x0 m時(shí) f x min f m f x max f n 當(dāng)x0 n時(shí) f x min f n f x max f m 1 若 m n 則 f x min f x0 有兩不等實(shí)根x1 x2 x xx2 有兩相等實(shí)根x1 x2 無實(shí)根 x x x1 R 3 二次函數(shù) 一元二次方程 一元二次不等式三者之間的關(guān)系 x x1 x x2 4 不等式ax2 bx c 0恒成立問題 ax2 bx c 0在R上恒成立 f x ax2 bx c 0 a 0 在 m n 上恒成立 f x min 0 x m n ax2 bx c 0在R上恒成立 f x ax2 bx c0 在 m n 上恒成立 求二次函數(shù)的解析式 例1 已知二次函數(shù)f x 滿足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 試確定此二次函數(shù) 二次函數(shù)的解析式有三種形式 1 一般式 f x ax2 bx c a 0 2 頂點(diǎn)式 f x a x h 2 k a 0 3 兩根式 f x a x x1 x x2 a 0 已知函數(shù)的類型 模型 求其解析式 用待定系數(shù)法 根據(jù)題設(shè)恰當(dāng)選用二次函數(shù)解析式的形式 可使解法簡(jiǎn)捷 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 例2 已知函數(shù)f x x2 2ax 3 x 4 6 1 當(dāng)a 2時(shí) 求f x 的最值 2 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 使y f x 在區(qū)間 4 6 上是單調(diào)函數(shù) 3 當(dāng)a 1時(shí) 求f x 的單調(diào)區(qū)間 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 例3 若二次函數(shù)f x ax2 bx c a 0 滿足f x 1 f x 2x 且f 0 1 1 求f x 的解析式 2 若在區(qū)間 1 1 上 不等式f x 2x m恒成立 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 例1 已知函數(shù)在區(qū)間 0 1 上的最大值是2 求實(shí)數(shù)a的值 例2 設(shè)不等式mx2 2x m 1 0對(duì)于滿足 m 2的一切值都恒成立 求實(shí)數(shù)x的取值范圍 解 設(shè)f m mx2 2x m 1 點(diǎn)評(píng) 解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量 誰是參數(shù) 一般地 知道誰的范圍 誰就是變量 求誰的范圍 誰就是參數(shù) 則f m 是一個(gè)以m為自變量的一次函數(shù) 其圖象是直線 由題意知該直線當(dāng) 2 m 2時(shí) 線段在x軸下方 所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是 則問題轉(zhuǎn)化為 m g x min 解 m 2x2 9x在區(qū)間 2 3 上恒成立 1 變量分離法 分離參數(shù) 例4 關(guān)于x的不等式在區(qū)間 2 3 上恒成立 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 評(píng)注 對(duì)于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題 如果能夠?qū)⒉坏仁街械淖兞亢蛥?shù)進(jìn)行剝離 即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左 右兩邊 然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題 不等式恒成立問題 問題等價(jià)于f x max 0 解 構(gòu)造函數(shù) 2 轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值 例4 關(guān)于x的不等式在區(qū)間 2 3 上恒成立 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 不等式恒成立問題 則 解 構(gòu)造函數(shù) 例4 關(guān)于x的不等式在區(qū)間 2 3 上恒成立 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 數(shù)形結(jié)合思想 不等式恒成立問題 解 據(jù)題意 由已知得 不等式解集為 2 3 例4 關(guān)于x的不等式在區(qū)間 2 3 上恒成立 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 不等式解集法 不等式恒成立問題 二次方程的實(shí)根分布問題 一 函數(shù)零點(diǎn) 一般地 對(duì)于函數(shù)y f x 我們把使f x 0的實(shí)數(shù)x就做函數(shù)y f x 的零點(diǎn) 由此得出以下三個(gè)結(jié)論等價(jià) 方程f x 0有實(shí)根函數(shù)y f x 的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y f x 有零點(diǎn) 涉及方程f x ax2 bx c 0 a 0 的實(shí)根分布問題 一般情況下要從四個(gè)方面考慮 f x 圖象的開口方向 方程f x 0的判別式 區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào) f x 圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系 1 二次方程ax2 bx c 0 a 0 實(shí)根分布問題 實(shí)根分布問題 一元二次方程 1 當(dāng)x為全體實(shí)數(shù)時(shí)的根 一元二次方程在某個(gè)區(qū)間上有實(shí)根 求其中字母系數(shù)的問題稱為實(shí)根分布問題 實(shí)根分布問題一般考慮四個(gè)方面 即 1 開口方向 2 判別式 3 對(duì)稱軸 4 端點(diǎn)值的符號(hào) 2 當(dāng)x在某個(gè)范圍內(nèi)的實(shí)根分布 可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫條件 也可 可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫條件 也可 可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫 ac 0 解 尋求等價(jià)條件 例1 m為何實(shí)數(shù)值時(shí) 關(guān)于x的方程 1 有實(shí)根 2 有兩正根 3 一正一負(fù) 轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù) 借助于圖像 解不等式組 法二 轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理的不等式組 變式題 m為何實(shí)數(shù)值時(shí) 關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的根 法三 由求根公式 轉(zhuǎn)化成含根式的不等式組 解不等式組 得 變式題 m為何實(shí)數(shù)值時(shí) 關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的根 例3 就實(shí)數(shù)k的取值 討論下列關(guān)于x的方程解的情況 結(jié)論 一元二次方程在區(qū)間上的實(shí)根分布問題 注 前提m n不是方程 1 的根 3 用二分法求方程的近似解求解步驟 1 確定區(qū)間 a b 驗(yàn)證f a f b 0 給定精確度 2 求區(qū)間 a b 的中點(diǎn)x1 3 計(jì)算f x1 若f x1 0 則x1就是函數(shù)的零點(diǎn) 若f a f x1 0 則令