2017全國(guó)一卷理科數(shù)學(xué)高考真題及答案20190418084901.doc

2017 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。x1已知集合 A= x| x1000 的最小偶數(shù) n，那么在 和 兩個(gè)空白框中， 可以分別填入AA1 000 和 n=n+1 BA1 000 和 n=n+2 CA 1 000 和 n=n+1 DA 1 000 和 n=n+29已知曲線(xiàn) C1：y=cos x，C2：y=sin (2 x+2) ，則下面結(jié)論正確的是3A把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得6到曲線(xiàn) C2B把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，12得到曲線(xiàn) C2C把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得6到曲線(xiàn) C2D把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，12得到曲線(xiàn) C2210已知 F為拋物線(xiàn) C：y =4x 的焦點(diǎn)，過(guò) F 作兩條互相垂直的直線(xiàn) l 1，l 2，直線(xiàn) l 1 與 C交于 A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn) l 2 與 C交于 D、E兩點(diǎn)，則 | AB|+| DE| 的最小值為A16 B14 C12 D10x y z11設(shè) xyz 為正數(shù)，且 2 3 5，則A2x3y5z B5z2x3y C3y5z2x D3y2x100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為 2 的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是A440 B330 C 220 D110二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。13已知向量 a， b 的夾角為 60， | a|=2 ，| b|=1 ，則| a +2 b |= .x 2y 114設(shè)x，y 滿(mǎn)足約束條件 2x y 1，則z 3x 2y 的最小值為 .x y 015已知雙曲線(xiàn) C：2 2x y2 2 1（a0，b0）的右頂點(diǎn)為 A，以 A為圓心， b 為半徑做圓 A，圓 A與雙曲線(xiàn)a bC的一條漸近線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)。若 MAN=60，則C的離心率為 _。16如圖，圓形紙片的圓心為 O，半徑為 5 cm，該紙片上的等邊三角形 ABC的中心為 O。D、E、F 為圓 O上的點(diǎn)， DBC， ECA， FAB分別是以 BC，CA，AB 為底邊的等腰三角形。沿虛線(xiàn)剪開(kāi)后，分別以BC，CA， AB為折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱錐。當(dāng) ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位： cm 3）的最大值為 _。三、解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第 1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60 分。17（12 分） ABC的內(nèi)角 A，B，C的對(duì)邊分別為 a，b，c，已知 ABC的面積為2a3sinA（1）求 sin Bsin C;（2）若 6cosBcos C=1，a=3，求 ABC的周長(zhǎng).18. （ 12 分）如圖，在四棱錐 P-ABCD中， AB/CD，且 BAP CDP 90 .（1）證明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90 ，求二面角 A- PB-C的余弦值 .19（12 分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取 16 個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位： cm）根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布2N( , ) （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記 X表示一天內(nèi)抽取的 16 個(gè)零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件數(shù)，求 P( X 1)及 X 的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查（）試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；（）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的 16 個(gè)零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95經(jīng)計(jì)算得16 16 161 1 12 2 2 2x x ，9.97 s x x x x ，其中 xi 為抽取( ) ( 16 ) 0.212ii i1616 16i 1i 1 i 1的第 i 個(gè)零件的尺寸， i 1, 2, ,16 用樣本平均數(shù) x 作為 的估計(jì)值 ?，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s作為 的估計(jì)值 ?，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除 ( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的數(shù)據(jù)， 用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì) 和 （精確到 0.01 ）附：若隨機(jī)變量 Z 服從正態(tài)分布 N( , 2 ) ，則 P( 3 Z 3 ) 0.997 4 ，160.997 4 0.959 2 ， 0.008 0.0920. （12 分）已知橢圓 C：2 2x y2 2 =1（ab0），四點(diǎn) P1（1,1 ），P2（0,1 ），P3（1，a b32），P4（1，32）中恰有三點(diǎn)在橢圓 C上.（1）求 C的方程；（2）設(shè)直線(xiàn) l 不經(jīng)過(guò) P2 點(diǎn)且與 C相交于 A，B兩點(diǎn)。若直線(xiàn) P2A與直線(xiàn) P2B的斜率的和為 1，證明： l過(guò)定點(diǎn) .21. （12 分）已知函數(shù) （f x) ae 2x+( a2) e2x+( a2) exx.（1）討論 f (x) 的單調(diào)性；（2）若 f (x) 有兩個(gè)零點(diǎn)，求 a 的取值范圍 .（二）選考題：共 10 分。請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （10 分）在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為xy3cos ,sin ,（ 為參數(shù)），直線(xiàn)l 的參數(shù)方程為x a 4t , （t為參數(shù)）. y 1 t,（1）若 a=- 1，求 C與 l 的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若 C上的點(diǎn)到 l 的距離的最大值為 17 ，求 a.23 選修4 5：不等式選講 （10 分）已知函數(shù) f （ x）= x 2+ax+4，g( x)=x+1+ x 1.（ 1）當(dāng) a=1 時(shí)，求不等式 f （ x） g（x）的解集；（ 2）若不等式 f （x） g（x）的解集包含 1，1 ，求 a 的取值范圍.2017 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。19. A 2B 3B 4C 5D 6C7B 8D 9D 10A 11D 12A二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。13 2 3 14-5 152 3316315cm三、解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第 1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60 分。17（12 分） ABC的內(nèi)角 A，B，C的對(duì)邊分別為 a，b，c，已知 ABC的面積為2a3sinA（1）求 sin Bsin C;（2）若 6cosBcos C=1，a=3，求 ABC的周長(zhǎng) .解：（1）由題意可得21 aS bc sin AABC2 3sinA，化簡(jiǎn)可得2 22a 3bc sin A ，根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)可得：2 2 22sin A 3sin B sinCsin A sin B sinC 。3（2）由2sin B sinCcos B cosC1 23cos A cos A B sin B sinC cos B cosC A1 2 36，因此可得B C ，3將之代入2sin B sinC 中可得：33 12sin C sin C sin C cos C sin C 0 ，3 2 2化簡(jiǎn)可得3tan C C ,B ，3 6 6利用正弦定理可得 sin 3 1 3ab Bsin A 2 32，同理可得 c 3，故而三角形的周長(zhǎng)為 3 2 3 。20. （12 分）如圖，在四棱錐 P-ABCD中，AB/CD，且 BAP CDP 90 .（1）證明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90 ，求二面角 A- PB-C的余弦值 .（1）證明：AB / /CD , CD PD AB PD ,又 AB PA, PA PD P , PA、PD都在平面 PAD內(nèi)，故而可得 AB PAD 。又 AB在平面 PAB內(nèi)，故而平面 PAB平面 PAD。（2）解：不妨設(shè) PA PD AB CD 2a ，以 AD中點(diǎn) O為原點(diǎn)， OA為 x 軸，OP為 z 軸建立平面直角坐標(biāo)系。故而可得各點(diǎn)坐標(biāo)： P 0,0, 2a , A 2a,0,0 , B 2a,2 a,0 ,C 2a,2 a,0 ，因此可得 PA 2a,0, 2a ,PB 2a,2 a, 2a , PC 2a,2 a, 2a ，假設(shè)平面 PAB 的法向量n1 x, y,1 ，平面 PBC 的法向量 n2 m, n,1 ，故而可得n PA 2ax 2a 0 x 11n PB 2ax 2ay 2a 0 y 01，即 n1 1,0,1 ，同理可得n PC 2am 2an 2a 0 m 02n PB 2am 2an 2a 0 n222，即2n 0, ,1 。22因此法向量的夾角余弦值：1 3cos n ,n 。1 2 332 2很明顯，這是一個(gè)鈍角，故而可得余弦為33。19（12 分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取 16 個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位： cm）根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布2N( , ) （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記 X表示一天內(nèi)抽取的 16 個(gè)零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件數(shù)，求 P( X 1)及 X 的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查（）試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；（）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的 16 個(gè)零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.27 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95經(jīng)計(jì)算得16 16 1611 12 2 2 2x x ，9.98 s (x x) ( x 16x ) 0.212，其中 xi 為抽取ii i1616 16i 1i 1 i 1的第 i 個(gè)零件的尺寸， i 1, 2, ,16 用樣本平均數(shù) x 作為 的估計(jì)值 ?，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s作為 的估計(jì)值 ?，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除 ( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的數(shù)據(jù)， 用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì) 和 （精確到 0.01 ）附：若隨機(jī)變量 Z 服從正態(tài)分布2N ，則 P( 3 Z 3 ) 0.997 4 ，( , )160.998 4 0.959 2 ， 0.008 0.09解：（1）16P X 1 1 P X 0 1 0.9974 1 0.9592 0.0408由題意可得， X滿(mǎn)足二項(xiàng)分布 X B 16,0.0016 ，因此可得 EX 16,0.0016 16 0.0016 0.0256（2）1 由（ 1）可得 P X 1 0.0408 5% ，屬于小概率事件，故而如果出現(xiàn) ( 3 , 3 ) 的零件，需要進(jìn)行檢查。2 由題意可得 9.97, 0.212 3 9.334, 3 10.606，故而在 9.334,10.606 范圍外存在 9.22 這一個(gè)數(shù)據(jù)，因此需要進(jìn)行檢查。此時(shí)：21. 16 9.22x 10.02 ，1515115 i1x x 0.09 。10.28 （12 分）已知橢圓 C：2 2x y2 2 =1（ab0），四點(diǎn) P1（1,1 ），P2（0,1 ），P3（1，a b32），P4（1，32）中恰有三點(diǎn)在橢圓 C上.（1）求 C的方程；（2）設(shè)直線(xiàn) l 不經(jīng)過(guò) P2 點(diǎn)且與 C相交于 A，B兩點(diǎn)。若直線(xiàn) P2A與直線(xiàn) P2B的斜率的和為 1，證明： l過(guò)定點(diǎn) .解：（1）根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性可得， P1（1,1 ）P4（1，32）不可能同時(shí)在橢圓上，P3（1，32），P4（1，32）一定同時(shí)在橢圓上，因此可得橢圓經(jīng)過(guò) P2（0,1 ），P3（1，32），P4（1，32），代入橢圓方程可得：1 3b 1, 1 a 22a 4，故而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2x42 1y 。（2）由題意可得直線(xiàn) P2A與直線(xiàn) P2B的斜率一定存在，不妨設(shè)直線(xiàn) P2A為： y kx 1, P2B為： y 1 k x 1.y kx 1聯(lián)立2x42y 12 24k 1 x 8kx 0，假設(shè)A x1, y1 ， B x2, y2 此時(shí)可得：228k 1 4k 8 1 k 1 4 1 kA , ,B ,2 2 2 24k 1 4k 1 4 1 k 1 4 1 k 1，2 21 4 1 k 1 4k此時(shí)可求得直線(xiàn)的斜率為：kAB2 24k 1y y4 1 k 12 1x x 8 1 k 8k2 12 24k 14 1 k 1，化簡(jiǎn)可得kAB11 2k2，此時(shí)滿(mǎn)足 1k 。 21 當(dāng)1k 時(shí)，AB兩點(diǎn)重合，不合題意。22 當(dāng)1k 時(shí)，直線(xiàn)方程為：221 8k 1 4ky x2 2 24k 1 4k 11 2k，即y24k 4k 1 x21 2k，當(dāng) x 2時(shí)， y 1，因此直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn) 2, 1 。22. （12 分）已知函數(shù) （f x) ae 2x+( a2) e2x+( a2) exx.（1）討論 f (x) 的單調(diào)性；（2）若 f (x) 有兩個(gè)零點(diǎn)，求 a 的取值范圍 .解：（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得2x x x xf x 2ae a 2 e 1 ae 1 e 1 。x x1 當(dāng) a 0 時(shí)， f x ae 1 e 1 0恒成立，故而函數(shù)恒遞減2 當(dāng) a 0 時(shí)，x xf x ae 1 e 1 0 x ln1a，故而可得函數(shù)在,ln1a上單調(diào)遞減，在1ln ,a上單調(diào)遞增。（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故而可得 a 0，此時(shí)函數(shù)有極小值1 1f ln ln a 1，a a要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，亦即極小值小于 0，故而可得1ln a 1 0 a 0a，令1g a ln a 1a，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)即可得到a 1g a 02a，故而函數(shù)恒遞增，又g 1 0，1g a ln a 1 0 a 1a，因此可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的范圍為 a 0,1 。（二）選考題：共10 分。請(qǐng)考生在第22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （10 分）在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線(xiàn) C的參數(shù)方程為xy3cos ,sin ,（ 為參數(shù)），直線(xiàn) l 的參數(shù)方程為x a 4t , （t為參數(shù)）. y 1 t,（1）若 a=- 1，求 C與 l 的交點(diǎn)坐