19.4線段的垂直平分線.ppt

19 4 4線段的垂直平分線 線段的垂直平分線 PA PB P1 P1A P1B 命題 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 動(dòng)手操作 作線段AB的中垂線MN 垂足為C 在MN上任取一點(diǎn)P 連結(jié)PA PB 量一量 PA PB的長(zhǎng) 你能發(fā)現(xiàn)什么 由此你能得到什么規(guī)律 證明 MN AB 已知 PCA PCB 垂直的定義 在 PCA和 PCB中 PCA PCB SAS PA PB 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 C 命題 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 PA PB 直線MN AB 垂足為C 且AC CB 已知 如圖 點(diǎn)P在MN上 求證 C PA PB 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí) 上述證明有什么缺陷 PCA與 PCB將不存在 PA與PB還相等嗎 相等 此時(shí) PA CA PB CB已知AC CB PA PB 線段的垂直平分線 C 性質(zhì)定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 PA PB 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上 逆命題 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn) 在這條線段的垂直平分線上 A B P 已知 線段AB 且PA PB 求證 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上 過(guò)點(diǎn)P作PC AB垂足為C 在Rt PCA和Rt PCB中PA PB PC PC PCA PCB HL PC是線段AB的垂直平分線 即點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上 證明 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn) 在這條線段的垂直平分線上 逆定理 和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合 線段的垂直平分線可以看作是 如圖 ABC中 邊AB BC的垂直平分線交于點(diǎn)O 1 求證 OA OB OC 2 點(diǎn)O是否也在邊AC的垂直平分線上呢 由此你能得出什么結(jié)論 證明 點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上 OA OB 點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上 OB OC OA OB 點(diǎn)O在線段AC的垂直平分線上 結(jié)論 三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn) 這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 泰安市政府為了方便居民的生活 計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A B C之間修建一個(gè)購(gòu)物中心 試問(wèn) 該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處 才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等 A B C 實(shí)際問(wèn)題1 線段的垂直平分線 1 求作一點(diǎn)P 使它和 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等 實(shí)際問(wèn)題1 高速公路 A B 在某高速公路L的同側(cè) 有兩個(gè)工廠A B 為了便于兩廠的工人看病 市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院 使得兩個(gè)工廠的工人都沒(méi)意見(jiàn) 問(wèn)醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處 你的方案是什么 生活中的數(shù)學(xué) L 1 在 ABC中 ACB 90 AB 8cm BC的垂直平分線DE交AB于D點(diǎn) 則CD 4cm 2 在 ABC PM QN分別垂直平分AB AC 則 1 若BC 10cm則 APQ的周長(zhǎng) cm 2 若 BAC 100 則 PAQ 10 200 3 在 ABC中 AB AC AB的中垂線與AC所在的直線相交所得的銳角為50 則 B 700或200 證明 連結(jié)BC AB AC 已知 A點(diǎn)在線段BC的垂直平分線上 垂直平分線性質(zhì)定理 同理 D點(diǎn)也在線段BC的垂直平分線上 兩點(diǎn)確定一條直線 直線AD是線段BC的垂直平分線 E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn) 已知 BE CE 垂直平分線性質(zhì)定理 例1已知 如圖 AB AC DB DC E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn) 求證 BE CE 證明 連結(jié)MA MN垂直平分線AB 已知 BM AM 垂直平分線性質(zhì)定理 B MAB 等角對(duì)等邊 AB AC 已知 B C 等邊對(duì)等角 BAC 120 B C 30 三角形內(nèi)角和定理 CAM CAB MAB 90 AM CM 直角三角形中 30 所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 CM 2BM 例2已知 如圖 在 ABC中 A 120 AB AC MN垂直平分AB分別交BC AB于M N 求證 CM 2BM A B C M N 例3已知 如圖 AD是 ABC的角平分線 DE AB于E DF AC于F 求證 AD垂直平分EF 證明 AD平分 BAC DE AB于E DF AC于F 已知 AED AFD 90 DE DF 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等 D點(diǎn)在線段EF的垂直平分線上 垂直平分線性質(zhì)定理 在Rt AFD和Rt AED中AD AD 公共邊 DE DF 已證 AFD AED HL AF AE A點(diǎn)在線段EF的垂直平分線上 垂直平分線性質(zhì)定理 AD垂直平分EF 4 如圖 CD EF分別是AB BC的垂直平分線 請(qǐng)你指出圖中相等的線段有哪些 AD BD CF BF AC BC CE BE 1 2 3 CF DF 即 BF CF DF 證明題 5 已知 如圖 線段CD垂直平分AB AB平分 CAD 求證 AD BC 證明 線段CD垂直平分AB 已知 CA CB 線段垂直平分線的性質(zhì)定理 1 3 等邊對(duì)等角 又 AB平分 CAD 已知 1 2 角平分線的定義 2 3 等量代換 AD BC 內(nèi)錯(cuò)角相等 兩直線平行 挑戰(zhàn)自我 駛向勝利的彼岸 1 如圖 已知AB是線段CD的垂直平分線 E是AB上的一點(diǎn) 如果EC 7cm 那么ED cm 如果 ECD 600 那么 EDC 0 7 60 2 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 BC的垂直平分線交斜邊AB于D 交BC于E AB 7 8 AC 3 9 圖中角度等于60 的角有 A 2個(gè) B 3個(gè) C 4個(gè) D 5個(gè) 一 選擇題 練習(xí) D 3 若一個(gè)三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三邊上 則這個(gè)三角形是 A 銳角三角形 B 鈍角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形 C 4 已知 如圖 AB AC DB DC 求證 AD所在直線是BC的垂直平分線 二 解答題 練習(xí) 先證明 ABD ACD 再導(dǎo)出 BAD CAD 根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理推論1即可證出 5 如圖 在 ABC中 已知AC 27 AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D 交AC于點(diǎn)E BCE的周長(zhǎng)等于50 求BC的長(zhǎng) 老師期望 做完題目后 一定要 悟 到點(diǎn)東西 納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去 AD BD DE AB EA EB 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等 AC 27 EA EC 27 EB EC 27 EB EC BC 50 BC 23 例1已知 如圖 在Rt ABC中 B 90 ED垂直平分AC交AC于D 交BC于E BAE BAC 2 5 求 C的度數(shù) 分析 由于ED垂直平分AC 則有EA EC 從而 EAC C 根據(jù) BAE BAC 2 5 可設(shè) BAE 2k BAC 5k 則 EAC C 3k 由直角三角形兩銳角互余 C BAC 90 得3k 5k 90 求出k值即可 點(diǎn)評(píng) 有比例條件的 一般用到設(shè)比例系數(shù) 例2 已知 ABC中 C 90 A 30o BD平分 ABC交AC于D 求證 D點(diǎn)在AB的垂直平分線上 證明 30o C 90o A 30o 已知 ABC 60o 三角形內(nèi)角和定理 A ABD 等量代換 D點(diǎn)在AB的垂直平分線上 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn) 在這條線段的垂直平分線上 AD BD 等角對(duì)等邊 3 已知 如圖 ABC中 M N分別是AB BC的中點(diǎn) DM AB于M DN BC于N BAD 80 求 DAB DCB的度數(shù) 100 定理1在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等 定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn) 在這個(gè)角的平分線上 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合 3 14線段的垂直平分線 定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 逆定理和一