2013年高考數(shù)學預測新課標數(shù)學考點預測(19)幾何證明選講.pdf

20132013 年高考數(shù)學預測年高考數(shù)學預測新課標數(shù)學考點預測新課標數(shù)學考點預測 幾何證明選講幾何證明選講 一 考點介紹一 考點介紹一 考點介紹一 考點介紹 1 理解相似三角形的定義與性質 了解平行截割定理 2 會證以下定理 直角三角形射影定理 圓周角定理 圓的切線判定定理與 性質定理 相交弦定理 圓內接四邊形的性質定理與判定定理 切割線定理 二 高考真題二 高考真題二 高考真題二 高考真題 2007200720072007 廣東卷理廣東卷理廣東卷理廣東卷理 14 14 14 14 如圖 1 所示 圓O的直徑6AB C為圓周上一點 3BC 過C作圓的切線l 過A作l的垂線AD AD分別與直線l 圓交于點 DE 則DAC 線段AE的長為 解析解析 如右圖所示如右圖所示 因為因為 OCl AD l 所以AD OC 由3BC 知 OBC為等邊三角形 60 0 B 則 30 0 CAB 所以 30 0 ACO 進而 30 0 DAC 60 0 EAO 連接OE 于是 OAE為等邊三 角形 故AE 3 答案答案 30 0 DAC AE 3 2 2007200720072007 海南海南海南海南 寧夏卷理寧夏卷理寧夏卷理寧夏卷理 22222222 如圖 已知AP是 O 的切線 P為切點 AC是 O 的 割線 與 O 交于BC 兩點 圓心O在PAC 的內部 點M是BC的中點 證明APOM 四點共圓 求OAMAPM 的大小 解析解析 證明 連結OPOM 因為AP與 O 相切于點P 所以OPAP 因為M是 O 的弦BC的中點 所以OMBC 于是180OPAOMA 由圓心O在PAC 的內部 可知四邊形APOM的對角互補 所以APOM 四點共圓 解 由 得APOM 四點共圓 所以OAMOPM 由 得OPAP 圖 1 AB C D E O l A P O M C B 由圓心O在PAC 的內部 可知90OPMAPM 所以90OAMAPM 答案答案 90OAMAPM 3 3 3 3 2008200820082008 廣東卷理廣東卷理廣東卷理廣東卷理 15 15 15 15 已知PA是圓O的切線 切點為A 2PA AC是圓O的直徑 PC與圓O交于點B 1PB 則圓O的半徑 R 解析解析 依題意 我們知道 PBA PAC 由相似三角形的性質我們有 2 PAPB RAB 即 22 221 3 22 1 PA AB R PB 答案答案 3 R 4 4 4 4 2008200820082008 海南 寧夏卷理海南 寧夏卷理海南 寧夏卷理海南 寧夏卷理 22222222 如圖 過圓O外一點M作它的一條切線 切點為A 過A點作直線AP垂直直線OM 垂足為P 證明 OA OPOM 2 N為線段AP上一點 直線NB垂直直線ON 且交圓O于B點 過B點的切線交 直線ON于K 證明 90OKM 解析解析 證明 因為MA是圓O的切線 所以OAAM 又因為APOM 在RtOAM 中 由射影定理知 OA OPOM 2 證明 因為BK是圓O的切線 BNOK 同 有OKON OB 2 又OBOA 所以OKONOMOP 即 ONOM OPOK 又NOPMOK 所以ONPOMK 故90OKMOPN 5 5 5 5 2008200820082008 江蘇卷理江蘇卷理江蘇卷理江蘇卷理21 21 21 21 如圖 設 ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點E BAC的平分線與BC交于點D 求證 ECEB ED 2 解析解析 如圖 因為AE是圓的切線 A P O M C B BCED A 所以 ABCCAE 又因為AD是BAC 的平分線 所以BADCAD 從而ABCBADCAECAD 因為ADEABCBAD DAECADCAE 所以ADEDAE 故EAED 因為EA是圓的切線 所以由切割線定理知 2 EAEC EB 而EAED 所以ECEB ED 2 三 名校試題三 名校試題 考點一 考點一 考點一 考點一 相似三角形的定義與性質及相似三角形的定義與性質及圓的切線判定定理與性質定理圓的切線判定定理與性質定理 1 2008200820082008年江蘇省鹽城中學高三上學期第二次調研測試題年江蘇省鹽城中學高三上學期第二次調研測試題年江蘇省鹽城中學高三上學期第二次調研測試題年江蘇省鹽城中學高三上學期第二次調研測試題 如圖 已知 C 是以 AB 為直徑的半圓 O 上一點 CH AB 于點 H 直線 AC 與過 B 點的 切線相交于點 D E 為 CH 中點 連接 AE 并延長交 BD 于點 F 直線 CF 交直線 AB 于點 G 求證 F 是 BD 的中點 求證 CG 是 O 的切線 解析 解析 證 CH AB DB AB AEH AFB ACE ADF FD CE AF AE BF EH HE EC BF FD F 是 BD 中點 AB 是直徑 ACB 90 BCF CBF 90 CBA CAB ACO OCF 90 CG 是 O 的切線 說明 也可證明 OCF OBF 從略 仿上述評分標 準給分 考點二 考點二 考點二 考點二 切割線定理切割線定理 2 2 2 2 2008200820082008 年年年年南通四縣市高三聯(lián)合考試南通四縣市高三聯(lián)合考試南通四縣市高三聯(lián)合考試南通四縣市高三聯(lián)合考試 已知 如圖 O與 P相交于A B兩點 點P在 O上 O的弦BC切 P于點B CP及其延長線交 P于D E兩點 過點E作EF CE交CB延長線于點F 若CD 2 CB 22 求EF的長 解析 解析 連PB BC切 P于點B PB BC CD 2 CB 22 由切割線定理得 CB2 CD CE CE 4 DE 2 BP 1 又 EF CE CPB CFE 得 EFCE PBCB EF 2 B A C D O P E F 考點三 考點三 考點三 考點三 圓內接四邊形的性質定理與判定定理圓內接四邊形的性質定理與判定定理 3 20083 20083 20083 2008 年年年年南師附中南師附中高考數(shù)學模擬試卷 最后一卷 高考數(shù)學模擬試卷 最后一卷 高考數(shù)學模擬試卷 最后一卷 高考數(shù)學模擬試卷 最后一卷 如圖 已知AD是 ABC的外角 EAC的平分線 交BC的延長線于點D 延長DA交 ABC 的外接圓于點F 連結FB FC 1 求證 FB FC 2 求證 FB2 FA FD 3 若AB是 ABC外接圓的直徑 EAC 120 BC 6cm 求AD的長 解析 解析 1 AD平分 EAC EAD DAC 四邊形AFBC內接于圓 DAC FBC EAD FAB FCB FBC FCB FB FC 2 FAB FCB FBC AFB BFD FBA FDB FBFA FDFB FB2 FA FD 3 AB是圓的直徑 ACB 90 EAC 120 DAC 2 1 EAC 60 BAC 60 D 30 BC 6 AC 32 AD 2AC 4 3cm 考點四 考點四 考點四 考點四 相交弦定理相交弦定理相交弦定理相交弦定理 4 如圖 PA 與圓 O 相切于 A PCB 為圓 O 的割線 并且不過圓心 O 已知 BPA 0 30 PA 2 3 PC 1 則圓 O 的半徑等于 解析 解析 由圓的性質 PA 2 PC PB 得 PB 12 連接 OA 并反向延長 交圓于點 E 在直角三角形 APD 中可以求得 PD 4 DA 2 故 CD 3 DB 8 J 記圓的半徑為 R 由于 ED DA CD DB 因此 R 2 3 8 解得 R 7 四 考點預測四 考點預測四 考點預測四 考點預測 高考對這部分知識的考查主要考查相似三角形的性質 圓的切線判定定理與性質定理 以及切割線定理 題型仍以填空題或解答題形式出現(xiàn) 1 已知 C 點在圓 O 直徑 BE 的延長線上 CA 切圓 O 于 A 點 DC 是 ACB 的平分線交 AE 于 點 F 交 AB 于 D 點 1 求ADF 的度數(shù) 2 若 AB AC 求 AC BC 解析 解析 1 AC 為圓 O 的切線 EACB 又知 DC 是ACB 的平分線 F E DCB A O O A A B BC C D D E E F F A E O B P CD D O A B M N D C DCBACD ACDEACDCBB 即AFDADF 又因為 BE 為圓 O 的直徑 90DAE 45 180 2 1 DAEADF 2 EACB ACBACB ACE ABC AB AE BC AC 又 AB AC 30ACBB 在RT ABE中 3 3 30tantan B AB AE BC AC 2 如圖 AD是 O的直徑 AB是 O的切線 直線BMN交AD的延長線于點C BM NC AB 2 求BC 的長度和 O的半徑 解析 解析 AD 是 O的直徑 AB是 O的切線 直線BMN是 O的割線 90 BAC BNBMAB 2 233 2 42 2 2 BMBCBMBMABNCMNBM 222 BCACAB 184 2 AC 14 AC 14 7 2 14222 CDCDCACDCMCN O的半徑為14 14 5 2 1 CDCA 3 江蘇省 2008 年百所高中樣本分析考試數(shù)學試題 已知 如圖 ABC 中 AB AC BAC 90 AE 3 1 AC BD 3 1 AB 點 F 在 BC 上 且 CF 3 1 BC 求證 1 EF BC 2 ADE EBC 解析 解析 設 AB AC 3a 則 AE BD a CF 2a 1 3 2 3 2 3 2 23 2 a a CA CF a a CB CE 又 C 公共 故 BAC EFC 由 BAC 90 EFC 90 EF BC 2 由 1 得 2 2 22 2 2 2 2 2 a a BF AD a a EF AE aEF故 BF AD EF AE DAE BFE 90 ADE FBE ADE EBC 4 4 2008200820082008 屆屆屆屆蘇北三市高三年級第一次聯(lián)合調研蘇北三市高三年級第一次聯(lián)合調研蘇北三市高三年級第一次聯(lián)合調研蘇北三市高三年級第一次聯(lián)合調研 如圖 O 的半徑OB垂直于直徑AC M為AO上一點 BM的延長線交 O 于N 過N點的切線交CA的延長線于P 1 求證 2 PMPA PC 2 若 O 的半徑為32 OMOA3 求MN的長 A M O B P N C 解析 解析 1 連接ON 因為PN切 O 于N 所以90ONP 所以90ONBBNP 因為OB ON 所以ONBOBN 因為ACOB 于O 所以90OBNBMO 故PMNBMOBNP PNPM 所以 22 PMPNPA PC 2 2 2 3 4 OMBOBM 因為 2 322 328BM MNCM MA 所以2 MN 5 5 5 5 江蘇省泰興市江蘇省泰興市2007200720072007 2008200820082008學年第一學期高三調研學年第一學期高三調研 如圖所示 已知PA與 O相切 A為切 點 PBC為割線 弦CD AP AD BC相交于E點 F為CE上一點 且DE2 EF EC 1 求證 P EDF 2 求證 CE EB EF EP 3 若 CE BE 3 2 DE 6 EF 4 求 PA的長 解析 解析 1 DE2 EF EC DE CE EF ED DEF 是公共角 DEF CED EDF C CD AP C P P EDF 2 P EDF DEF PEA DEF PEA DE PE EF EA 即 EF EP DE EA 弦 AD BC 相交于點 E DE EA CE EB CE EB EF EP 3 DE2 EF EC DE 6 EF 4 EC 9 CE BE 3 2 BE 6 CE EB EF EP 9 6 4 EP 解得 EP 2 27 PB PE BE 2 15 PC PE EC 2 45 由切割線定理 得 PA2 PB PC PA2 2 15 2 45 PA 3 2 15 6 如圖 已知 O 的直徑 AB 垂直于弦 CD 于 E 連結 AD BD OC OD 且 OD 5 1 若sin BAD 3 5 求 CD 的長 2 若 ADO EDO 4 1 求扇形 OAC 陰影部分 的面積 結果保留 P E O D C B A F 6 1 因為AB是 O 的直徑 OD 5 所以 ADB 90 AB 10 在 Rt ABD中 AB BD BAD sin 又sin BAD 3 5 所以 BD 10 3 5 所以BD 6 ADABBD 2222 1068 因為 ADB 90 A