定積分的近似計算(數(shù)學(xué)實驗報告matlab版).docVIP

數(shù)學(xué)實驗報告實驗序號：2日期：2013年 12月 5日班級2011應(yīng)數(shù)一班姓名孫婉婉學(xué)號1101114143實驗名稱定積分的近似計算問題背景描述： 牛頓萊布尼茲公式僅使用于被積函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表達(dá)出來的情形。如果這點辦不到或者不容易辦到，就有必要考慮近似計算的方法。在定積分的許多應(yīng)用問題中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達(dá)式，可能只是一條實驗記錄曲線，或者是一組離散的采樣值，這時應(yīng)用近似方法去計算相應(yīng)的定積分,以便更好地熟練地掌握定積分的近似計算. 實驗?zāi)康?1 加深理解積分理論中分割、近似、求和、取極限的思想方法；2 了解定積分近似計算的矩形法、梯形法與拋物線法；3 會用MATLAB語言編寫求定積分近似值的程序，會用MALAB中的命令求定積分。實驗內(nèi)容1 分別用梯形法與拋物線法，計算，取n=120.要求使用函數(shù)trapz( )、quad( )進(jìn)行計算求解，并比較結(jié)果的差異；2 試計算定積分.（注意：可以運用trapz( )、quad( )或附錄程序求解嗎？為什么？）；3 學(xué)習(xí)fuluBsum.m的程序設(shè)計方法，嘗試用函數(shù)sum改寫附錄C的程序，避免for循環(huán)。實驗原理與數(shù)學(xué)模型:實驗原理與數(shù)學(xué)模型： 1 矩形法：根據(jù)定積分的定義，每一個積分和都可以看作是定積分的一個近似值，即在幾何意義上，這是用一系列小矩形面積近似小曲邊梯形的結(jié)果，所以把這個近似計算方法稱為矩形法不過，只有當(dāng)積分區(qū)間被分割得很細(xì)時，矩形法才有一定的精確度針對不同的取法，計算結(jié)果會有不同。（1） 左點法：對等分區(qū)間，在區(qū)間上取左端點，即取。（2）右點法：同（1）中劃分區(qū)間，在區(qū)間上取右端點，即取。（3）中點法：同（1）中劃分區(qū)間，在區(qū)間上取中點，即取。2 梯形法等分區(qū)間，相應(yīng)函數(shù)值為 （）曲線上相應(yīng)的點為 （）將曲線的每一段弧用過點，的弦（線性函數(shù)）來代替，這使得每個上的曲邊梯形成為真正的梯形，其面積為，于是各個小梯形面積之和就是曲邊梯形面積的近似值，即 ，稱此式為梯形公式。3 拋物線法將積分區(qū)間作等分，分點依次為，對應(yīng)函數(shù)值為（），曲線上相應(yīng)點為（）現(xiàn)把區(qū)間上的曲線段用通過三點，的拋物線來近似代替，然后求函數(shù)從到的定積分：由于，代入上式整理后得同樣也有將這個積分相加即得原來所要計算的定積分的近似值：，即這就是拋物線法公式，也稱為辛卜生（Simpson）公式 實驗所用軟件及版本：2012B主要內(nèi)容： 1，分別用梯形法與拋物線法，計算，將積分區(qū)間1,2作120等分。并嘗試用函數(shù)trapz(),quad()進(jìn)行算求解，比較結(jié)果的差異。2，試計算定積分.(注意：可以運用trapz()、quad()、或附錄程序求解嗎？為什么？) 3，學(xué)習(xí)fuluBsum.m的程序設(shè)計方法，嘗試用函數(shù)sum改寫矩形法和拋物線法的程序，避免for循環(huán)。實驗過程記錄（含基本步驟、主要程序清單及異常情況記錄等）：1、（1）梯形法：、format longn=120;a=1;b=2;inum=0;syms x fxfx=1/x; for i=1:n xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n; fxj=subs(fx,x,xj); fxi=subs(fx,x,xi); inum=inum+(fxj+fxi)*(b-a)/(2*n);endinumx=1:1/120:2;y=1./x;trapz(x,y)（2）拋物線法： format longn=120;a=1;b=2;inum=0;syms x fxfx=1/x;for i=1:n xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n; xk=(xi+xj)/2; fxj=subs(fx,x,xj); fxi=subs(fx,x,xi); fxk=subs(fx,x,xk); inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinum quad(1./x,1,2)2、（1）符號求積分：int(sin(x)/x,x,0,inf)（2）quad(sin(x)./x,0,inf)3 ex2zhi2tixingfa.m format long n=120;a=1;b=2;inum=0;syms x fxfx=1./x;for i=1:n xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n; fxj=subs(fx,x,xj); fxi=subs(fx,x,xi); inum=inum+(fxj+fxi)*(b-a)/(2*n);end inum integrate=int(fx,1,2)integrate=double(integrate)fprintf(The relative error between inum and real-value is about:%gnn,.abs(inum-integrate)/integrate)ex2zhi2paowuxianfa.mformat long n=120;a=1;b=2;m=0;p=0;syms x fxfx=1./x;for k=1:n i=2*k-1; j=2*k; xi=a+(b-a)*i/(2*n); xj=a+(b-a)*j/(2*n); fxi=subs(fx,x,xi); fxj=subs(fx,x,xj); m=m+fxi;p=p+fxj;end fxa=subs(fx,x,a); fxb=subs(fx,x,b); inum=(b-a)*(fxa+fxb+4*m+2*p)/(6*n)integrate=int(fx,1,2)integrate=double(integrate)fprintf(The relative error between inum and real-value is about:%gnn,.abs(inum-integrate)/integrate)ex2zhi2paowuxianfa.mformat long n=120;a=1;b=2;m=0;p=0;syms x fxfx=1./x;for k=1:n i=2*k-1; j=2*k; xi=a+(b-a)*i/(2*n); xj=a+(b-a)*j/(2*n); fxi=subs(fx,x,xi); fxj=subs(fx,x,xj); m=m+fxi;p=p+fxj;end fxa=subs(fx,x,a); fxb=subs(fx,x,b); inum=(b-a)*(fxa+fxb+4*m+2*p)/(6*n)integrate=int(fx,1,2)integrate=double(integrate)fprintf(The relative error between inum and real-value is about:%gnn,.abs(inum-integrate)/integrate)改寫矩形法ex6gaixiejuxingfa.mformat long n=100;a=0;b=1; syms x fxfx=1/(1+x2);i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);fxij=(fxi+fxj)/2;m=fxj*(b-a)/n;p=fxi*(b-a)/n;k=fxij*(b-a)/n;inum1=sum(m)inum2=sum(p)inum3=sum(k)改寫拋物線法 ex6gaixiepaowuxianfa.mformat long n=100;a=0;b=1; syms x fxfx=1/(1+x2);i=0:(n-1);xj=a+(2*i)*(b-a)/(2*n);xi=a+(2*i+1)*(b-a)/(2*n);xk=a+(2*i+2)*(b-a)/(2*n);fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);fxk=subs(fx,x,xk);m=(fxj+4*fxi+fxk)*(b-a)/(6*n);inum=sum(m)實驗結(jié)果報告與實驗總結(jié)：run(E:matlabex2zhi2tixingfa.m)inum = 0.69315152080005integrate =log(2)integrate =0.69314718055995The relative error between inum and real-value is about:6.26164e-006 0.69315152080005integrate =log(2)integrate =0.69314718055995The relative error between inum and real-value is about:6.26164e-006run(E:matlabex2zhi2paowuxianfa.m)inum = 0.69453606945825integrate =log(2)integrate = 0.69314718055995The relative error between inum and real-value is about:0.00200374run(E:matlabex2zhi2trapz.m)inum = 0.69315152080005integrate =log(2) integrate = 0.69314718055995The relative error between inum and real-value is about:6.26164e-006、（1）梯形法 inum = 0.693151520800048 ans = 0.693151520800048(2)拋物線法 inum = 0.693147180569364 ans = 0.6931471998629702、（1）ans =pi/21， 求定積分時用quad()求解相對精確，trap