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如圖,已知拋物線y=ax2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),B(6,1),C(0,2)(1)求此拋物線的解析式,并用配方法把解析式化為頂點(diǎn)式;(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)APCP時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)設(shè)直線BC與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)H是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)E(t,n)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),四邊形OEDC的面積為S當(dāng)S取何值時(shí),滿足條件的點(diǎn)E只有一個(gè)?當(dāng)S取何值時(shí),滿足條件的點(diǎn)E有兩個(gè)?【答案】解:(1)將A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2bxc中,得,解得。y=x2x2=(x)2。(2)設(shè)點(diǎn)P(,m),分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作對(duì)稱(chēng)軸的垂線,垂足為A,C。APCP,AAPPCC。,即,解得m1=,m2=。P(,)或(,)。(3)由B(6,1),C(0,2),得直線BC的解析式為y=x2,D(4,0)。四邊形OEDC只能在x上方,n0。又S=SCDOSEDO=,。點(diǎn)E(t,n)在拋物線上,n =t 2t2,代入,得關(guān)于t的方程t 27 tS=0,方程根的判別式=494S。當(dāng)=0時(shí),S=,此時(shí)方程只有一解,滿足條件的點(diǎn)E只有一個(gè),位于拋物線頂點(diǎn)處(圖1)。當(dāng)0時(shí),S,由S4,所以4S。此時(shí)點(diǎn)E的情況如下:設(shè)B是拋物線上點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),即n =1,S=6。由t 27 t6=0得t=1或t=6。此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,1)或(6,1),即滿足條件的點(diǎn)E與點(diǎn)B或B重合(圖2)。當(dāng)6S時(shí),方程有兩個(gè)不相等的根,此時(shí),1t6,1n,故滿足條件的點(diǎn)E位于直線BB上方的拋物線上。故此時(shí)滿足條件的點(diǎn)E有兩個(gè)(圖3)。當(dāng)4S6時(shí),方程有兩個(gè)不相等的根,此時(shí),0n1,而滿足條件的點(diǎn)E只能在點(diǎn)H與點(diǎn)B之間的拋物線上。故此時(shí)滿足條件的點(diǎn)E只有一個(gè)(圖4)。 綜上所述,當(dāng)4S6或S=時(shí),滿足條件的點(diǎn)E有一個(gè);當(dāng)6S時(shí),滿足條件的點(diǎn)E有兩個(gè)?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,拋物線的對(duì)稱(chēng)性,相似三角形的判定和性質(zhì),一元二次方程根的判別式。【分析】(1)將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中,列方程組求拋物線解析式,再用配方法求頂點(diǎn)式。(2)當(dāng)APCP時(shí),分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作對(duì)稱(chēng)軸的垂線,垂足為A,C,利用互余關(guān)系得角相等,證明AAPPCC,利用相似比求P點(diǎn)坐標(biāo)。(3)分別求出點(diǎn)E為拋物線頂點(diǎn),E,B重合時(shí),圖形的面積,當(dāng)E點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)
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