自動控制系統(tǒng)的時域頻域分析.doc

摘要摘要 第一章第一章 緒論緒論 1 1 11 1 自動控制理論發(fā)展概述自動控制理論發(fā)展概述 1 1 21 2 MatlabMatlab 簡介簡介 2 第二章第二章 控制系統(tǒng)的時域分析與校正控制系統(tǒng)的時域分析與校正 2 2 12 1 概述概述 2 2 22 2 一階系統(tǒng)的時間響應及動態(tài)性能一階系統(tǒng)的時間響應及動態(tài)性能 3 2 32 3 二階系統(tǒng)的時間響應及動態(tài)性能二階系統(tǒng)的時間響應及動態(tài)性能 4 2 42 4 高階系統(tǒng)的階躍響應 動態(tài)性能及近似高階系統(tǒng)的階躍響應 動態(tài)性能及近似 11 第三章第三章 控制系統(tǒng)的頻域分析與校正控制系統(tǒng)的頻域分析與校正 13 3 13 1 概述概述 13 3 23 2 頻率特性的表示方法頻率特性的表示方法 14 3 33 3 頻率特性的性能指標頻率特性的性能指標 15 3 43 4 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性 17 第四章第四章 結結論論 23 課程設計總結課程設計總結 24 參考文獻參考文獻 25 附錄附錄 26 微機測試技術綜合訓練設計說明書 摘要摘要 系統(tǒng)利用 Matlab 進行控制系統(tǒng)時域與頻域的分析與設計 對控制系統(tǒng)的給定數(shù)學模型 研 究系統(tǒng)性能與系統(tǒng)結構 參數(shù)之間的關系 其仿真過程是以某種算法從初態(tài)出發(fā) 逐步計算系 統(tǒng)的響應 最后繪制出系統(tǒng)的響應曲線 即可分析系統(tǒng)的性能 自動控制系統(tǒng)的計算機仿真是一門涉及到計算機技術 計算數(shù)學與控制理論 系統(tǒng)辨識 控制工程以及系統(tǒng)科學的綜合性學科 控制系統(tǒng)仿真就是以控制系統(tǒng)的模型為基礎 主要用數(shù) 學模型代替實際的控制系統(tǒng) 以計算機為工具 對控制系統(tǒng)進行實驗和研究的一種方法 控制系統(tǒng)最常用的時域分析法 就是在輸入信號的作用下 求出系統(tǒng)的輸出響應 系統(tǒng)采 用單位階躍響應為輸入信號 求出各典型環(huán)節(jié) 一階 二階及高階 的輸出響應 分析各響應 在阻尼比和固有頻率變化時對輸出響應的影響 從而可以選擇最優(yōu)方案 提高系統(tǒng)的快速性 而頻域分析法是應用頻率特性研究控制系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法 以此可直觀的表達出系統(tǒng)的 頻率特性 其主要方法有 Bode 圖 Nyquist 曲線 Nichols 圖 由于編寫 M 文件時三種方法只需 改變固定的命令 所以系統(tǒng)主要研究 Bode 圖 同樣是研究響應的典型環(huán)節(jié) 及比例 微分 積 分 慣性 二階振蕩與高階環(huán)節(jié) 分析其對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性 經(jīng)過對兩種分析方法的對比與分析 得出了時域分析法與頻域分析法的關系與區(qū)別 若已 知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 另外系統(tǒng)的階次不是很高時 采用時域分析法較合適 而如果系 統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)未知 或者系統(tǒng)的階次較高 就需采用頻域分析法 通過對控制系統(tǒng)的仿真 與分析從本質上區(qū)分了時域分析法和頻域分析法的利弊 從而對不同的系統(tǒng)可以快速的找到合 適的方法 達到實驗的預期目的 關鍵詞 自動控制系統(tǒng) 時域關鍵詞 自動控制系統(tǒng) 時域 頻域分析 頻域分析 Matlab 第一章第一章 緒論緒論 1 1 自動控制理論發(fā)展概述 自動控制理論是在人類征服自然地生產(chǎn)實踐活動中孕育 產(chǎn)生 并 隨著社會生產(chǎn)和科學技術的進步而不斷發(fā)展 完善起來的 早在古代 勞動人民就憑借生產(chǎn)實踐中積累的豐富經(jīng)驗和對反饋概 念的直觀認識 發(fā)明了許多閃爍控制理論智慧火花的杰作 我國北宋時 代蘇頌和韓公廉利用天衡裝置制造的水運儀象臺 就是一個按負反饋原 理構成的閉環(huán)非線性自動控制理論 1681 年 Dennis Papin 發(fā)明了用做安 全調節(jié)裝置的鍋爐壓力調節(jié)器 1765 年俄國人普爾佐諾夫發(fā)明了蒸汽鍋 爐水位調節(jié)器 1788 年 英國人瓦特在他發(fā)明的蒸汽機上使用了離心調速器 解決 了蒸汽機的速度控制問題 引起了人們對控制技術的重視 之后 人們 曾經(jīng)試圖改善調速器的準確性 卻常常導致系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩 1868 年 英國物理學家麥克斯韋通過對調速系統(tǒng)線性常微分方程的 建立與分析 解釋了瓦特速度控制系統(tǒng)中出現(xiàn)的不穩(wěn)定問題 開辟了用 數(shù)學方法研究控制系統(tǒng)的途徑 此后 英國數(shù)學家勞斯和德國數(shù)學家古 爾維茨獨立的建立了直接根據(jù)代數(shù)方程的系數(shù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的準則 這些方法奠定了經(jīng)典控制理論中時域分析法的基礎 1932 年 美國物理學家乃奎斯特研究了長距離電話信號傳輸中出現(xiàn) 的失真問題 運用了復變函數(shù)理論建立了以頻率特性為基礎的穩(wěn)定性判 據(jù) 奠定了頻率響應法的基礎 隨后伯德和尼克爾斯進一步將頻率響應 法加以發(fā)展 形成了經(jīng)典控制理論的頻域分析法 之后 以傳遞函數(shù)作為控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 以時域分析法 頻域 分析法為主要分析設計工具 構成了經(jīng)典控制理論的基本框架 到 20 世 紀 60 年代初 一套以狀態(tài)方程作為描述系統(tǒng)的數(shù)學模型 以最優(yōu)控制和 卡爾曼濾波為核心的控制系統(tǒng)分析 設計的新原理和方法基本確定 現(xiàn) 代控制理論應運而生 控制理論目前還在向更深 更廣闊的領域發(fā)展 在信息與控制學科研究中注入了蓬勃的生命力 引導人們?nèi)ヌ接懜鼮樯?微機測試技術綜合訓練設計說明書 刻的運動機理 1 2 Matlab 簡介 Matlab 程序設計語言是美國 MathWorks 公司于 20 世紀 80 年代推出 的高性能數(shù)值計算軟件 其功能強大 適用范圍廣泛 且提供了豐富的 庫函數(shù) M 文件 編程效率高 Matlab 無論作為科學研究與工程運算的 工具 還是作為計算機輔助的教學工具 都是不可多得的 由于 Matlab 如此強大的功能 所以它特別適合用來對控制系統(tǒng)進行 計算與仿真 系統(tǒng)的設計就是基于 Matlab 在正文中再做詳細介紹 第二章第二章 控制系統(tǒng)的時域分析與校正控制系統(tǒng)的時域分析與校正 2 1 概述 2 1 1 時域法的作用與特點 時域法是一種直接在時間域中對系統(tǒng)進行分析與校正的方法 它可 以提供系統(tǒng)的時間相應的全部信息 具有直觀 準確的優(yōu)點 但在研究 系統(tǒng)參數(shù)改變引起系統(tǒng)性能指標變化的趨勢這一類問題 以及對系統(tǒng)進 行校正設計時 時域法不是非常方便的 時域法常用的典型輸入信號有單位階躍信號 單位斜坡信號 等加 速度信號 單位脈沖信號 系統(tǒng)能夠穩(wěn)定工作是研究系統(tǒng)動態(tài)性能與穩(wěn) 態(tài)性能的基本前提 一般情況下 階躍輸入對系統(tǒng)來說是最嚴峻的工作 狀態(tài) 如果系統(tǒng)在階躍信號作用下的動態(tài)性能能夠滿足要求 那么在其 他形式函數(shù)的作用下 其動態(tài)性能也是令人滿意的 固有關系統(tǒng)的動態(tài) 性能的指標均是根據(jù)系統(tǒng)的單位階躍響應來定義的 2 1 2 時域性能指標 對控制系統(tǒng)的一般要求常歸納為穩(wěn) 準 快 工程上為了定量評價 系統(tǒng)性能好壞 必須給出控制系統(tǒng)的性能指標的準確定義和定量計算方 法 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常運行的基本條件 系統(tǒng)穩(wěn)定 其響應工程才能 收斂 研究系統(tǒng)的性能 包括動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能 才有意義 實際物理系統(tǒng)都存在慣性 輸出量的改變是與系統(tǒng)所儲有的能量有 微機測試技術綜合訓練設計說明書 關的 系統(tǒng)所儲有的能量的改變需要一個過程 在外作用激勵下系統(tǒng)從 一種穩(wěn)定狀態(tài)轉換到另一種狀態(tài)需要一定的時間 系統(tǒng)的動態(tài)性能指標 一般有以下幾個 延遲時間 階躍響應第一次達到終值 h 的 50 所需的時間 td 上升時間 階躍響應從終值的 10 上升到終值的 90 所需的時 tr 間 對有振蕩的系統(tǒng) 也可定義為從 0 到第一次達到終值所需的時間 峰值時間 階躍響應越過終值 h 達到第一個峰值所需的時間 tp 調節(jié)時間 階躍響應到達并保持在終值 h 的5 誤差帶內(nèi) ts 所需的最短時間 超調量 峰值 h 超出終值 h 的百分比 即 tp 100 h hht p 2 2 一階系統(tǒng)的時間響應及動態(tài)性能 2 2 1 一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準形式及單位階躍響應 一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標準形式為 s Ks K 1 1 Ts 式中 T 1 K 稱為一階系統(tǒng)的時間常數(shù) 系統(tǒng)特征跟 1 T 2 2 2 一階系統(tǒng)動態(tài)性能分析 一階系統(tǒng)的單位階躍響應是單調的指數(shù)上升曲線 依據(jù)調節(jié)時間的 ts 定義 有 h 1 0 95 tse T ts 解得 3T ts 時間常數(shù)是一階系統(tǒng)的重要特征參數(shù) 固可用時間常數(shù) T 描述一階 系統(tǒng)的響應特性 T 越小 系統(tǒng)極點越遠離虛軸 過渡過程越快 圖 2 1 給出了一階系統(tǒng)階躍響應隨時間常數(shù) T 變化的趨勢 及一階慣性環(huán)節(jié) 微機測試技術綜合訓練設計說明書 012345678910 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 t h t T T 1 T 2 T 3 T 4 圖 2 1 一階系統(tǒng)階躍響應隨 T 的變化趨勢 圖 2 2 為一階積分環(huán)節(jié)的階躍響應 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 2 4 6 8 10 12 Time sec Amplitude 圖 2 2 一階積分環(huán)節(jié)的階躍響應 2 3 二階系統(tǒng)的時間響應及動態(tài)性能 2 3 1 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準形式及分類 常見二階系統(tǒng)結構圖如圖 2 4 a 所示 其中 K 為環(huán)節(jié)參數(shù) T0 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 s Ks K sT 2 0 微機測試技術綜合訓練設計說明書 a 1 ss K T0 R s C s b 2s s n n 2 R s C s 圖 2 4 常見二階系統(tǒng)結構圖 為分析方便起見 常將二階系統(tǒng)結構圖表示成如圖 b 所示的標準 形式 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)標準形式為 s n 2 n 2 2 2 s s n 分別稱為系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率 這兩個參數(shù)完全決 n 定了二階系統(tǒng)的響應特性 是二階系統(tǒng)重要的特征參數(shù) 若系統(tǒng)阻尼比取值范圍不同 則特征根形式不同 響應特性也不同 由此可將二階系統(tǒng)分為以下幾類 當 0 1 時 系統(tǒng)的時域響應具有非周期特性 稱為過阻尼系統(tǒng) 當 1 時 稱為臨界阻尼系統(tǒng) 當 0 時 系統(tǒng)響應為持續(xù)的等幅振蕩 稱為零阻尼系統(tǒng) 微機測試技術綜合訓練設計說明書 Time sec Amplitude 051015 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 kosai 0 1 kosai 0 2 kosai 0 3 kosai 0 4 kosai 0 5 kosai 0 6 kosai 0 7 kosai 0 8 kosai 0 9 kosai 1 0 kosai 2 0 System sys Peak amplitude 0 753 Overshoot 50 6 At time sec 0 566 System sys Peak amplitude 0 9 Overshoot 79 9 At time sec 0 566 System sys Peak amplitude 0 522 Overshoot 4 32 At time sec 0 778 圖 2 5 4rad s 時不同阻尼比下的單位階躍響應 n Time sec Amplitude 012345678 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 wn 1 wn 3 wn 5 wn 7 wn 9 wn 10 System sys Peak amplitude 0 584 Overshoot 16 7 At time sec 0 255 System sys Peak amplitude 0 584 Overshoot 16 7 At time sec 0 852 System sys Peak amplitude 0 583 Overshoot 16 7 At time sec 2 52 圖 2 6 0 7 時不同的單位階躍響應 n 由圖 2 5 可以驗證 當 0 1 后 隨阻尼比的增大 響應越來越遲鈍 對于給定的 阻尼比越小 響應的速度越快 如圖 2 6 所示 但 n 階躍響應的快速性指標 調節(jié)時間在 0 1 時隨阻尼比的減小而增 ts 微機測試技術綜合訓練設計說明書 大 可以看出 階躍響應的快速性與 密切相關 對于給定的阻 n 尼比 越大 響應越快 而超調量基本不變 n 2 3 2 過阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標分析 過阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應為 1 t0 h t 1 T T T e 1 2 t 1 1 T T e 2 1 t 2 T 過阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應是無振蕩的單調上升曲線 令 取不同值 可分別 TT21 求解出相應的無量綱調節(jié)時間 如圖 3 7 所示 圖中為參變量 Tts1 2468101214161820 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 T1 T2 Ts T1 圖 2 7 過阻尼二階系統(tǒng) 與的關系曲線 2 3 3 欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標分析 欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應為 1 sin t arctan h t 2 1 e n t 2 1 n 2 1 如圖 2 8 所示 響應曲線位于兩條包絡線 1 之間 e n t 2 1 包絡線收斂速度取決于 特征根實部之模 響應的阻尼振蕩頻率 n 微機測試技術綜合訓練設計說明書 取決于 特征根虛部 響應的初始值 h 0 0 初始斜率 2 1 n h 0 0 終值 h 1 00 511 522 533 54 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 nt h t 圖 2 8 欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應及包絡線 Im Re 0 圖 2 9 系統(tǒng)極點軌跡 對典型欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能而言 當固定 增加 減 n 小 時 系統(tǒng)極點在 s 平面按圖中所示的圓弧軌跡 移動 對應系 統(tǒng)的超調量 減小 同時由于極點遠離虛軸 增加 調節(jié)時間 n 減小 ts 當固定 增加時 系統(tǒng)極點在 s 平面按圖所示的射線軌跡 n 移動 對應的系統(tǒng)超調量 不變 由于極點遠離虛軸 增加 調節(jié)時間減小 nts 一般實際系統(tǒng)中 T0 是系統(tǒng)的固定參數(shù) 不能隨意改變 而開環(huán)增 微機測試技術綜合訓練設計說明書 益 K 是各環(huán)節(jié)總的傳遞系數(shù) 可以調節(jié) K 增大時 系統(tǒng)極點在 s 平面 按圖所示的垂直線 移動 阻尼比變小 超調量 會增加 綜上所述 要獲得滿意的系統(tǒng)動態(tài)性能 應當適當?shù)倪x擇參數(shù) 使 二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點位于 45 線附近 使系統(tǒng)具有合適的超調量 并 根據(jù)情況盡量使其遠離虛軸 以提高系統(tǒng)的快速性 2 3 4 附加閉環(huán)零 極點對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響 對系統(tǒng)附加閉環(huán)零點不會影響閉環(huán)極點 因而不會影響單位階躍響 應中的各模態(tài) 但它會改變單位階躍響應中各模態(tài)的加權系數(shù) 由此影 響系統(tǒng)的動態(tài)性能 附加閉環(huán)零點時通過改變單位階躍響應中各模態(tài)的加權系數(shù)影響閉 環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能的 若二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 s 在其 1 1 s 2 s 基礎上附加閉環(huán)零 極點和同時附加閉環(huán)零 極點后 得出系統(tǒng)階躍響 應的變化趨勢 如圖 2 10 所示 由圖 a 可以看出 閉環(huán)零點的引入帶來了系統(tǒng)超調量的增加 使 系統(tǒng)的平穩(wěn)性變差 同時上升時間縮短 響應速度加快 零點值越接近 閉環(huán)極點實部 對響應的影響就越小 由圖 b 可以看出 當在閉環(huán)傳遞函數(shù)極點右側增加極點時 系統(tǒng) 的響應由周期性響應轉變?yōu)榉侵芷陧憫?響應平穩(wěn)性變好 但過渡過程 調節(jié)時間變長 快速性下降 隨著增加的極點越來越靠近虛軸 對系統(tǒng) 響應逐漸起主導作用 02468101214161820 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 overshoot 16 6753 tp 3 4s tr 2 3s ts 0 2s overshoot 19 0976 tp 3s tr 1 9s ts 0 2s overshoot 29 8385 tp 2 4s tr 1 3s ts 0 2s overshoot 69 929 tp 1 8s tr 0 7s ts 0 2s overshoot 171 219 tp 1 5s tr 0 3s ts 0 2s t s h t 微機測試技術綜合訓練設計說明書 a 附加閉環(huán)零點對系統(tǒng)階躍響應的影響 02468101214161820 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 overshoot 15 9212 tp 3 8s tr 2 4s ts 0 2s overshoot 13 8994 tp 4 2s tr 2 7s ts 0 2s overshoot 8 1443 tp 4 9s tr 3 3s ts 0 2s overshoot 0 0033713 tp 20s tr 4 8s ts 0 2s overshoot 0 82823 tp 20s tr 10 2s ts 0 2s t s h t b 附加閉環(huán)極點對系統(tǒng)階躍響應的影響 024681012 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 t s h t c 同時附加閉環(huán)零 極點時系統(tǒng)的階躍響應 圖 2 10 附加零 極點對系統(tǒng)的影響 2 4 高階系統(tǒng)的階躍響應 動態(tài)性能及近似 高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)一般可以表示為 s R s Y s n i i i m i i i sa sb rn j r k kk k j m i i i ss ss sb 2 1 22 2 其單位階躍響應為 微機測試技術綜合訓練設計說明書 s s h s 1 s A rn j j j s A s 2 r k kk k k kkk k k s s s CB 22 2 2 1 0 s A Aj 式中 分別是與閉環(huán)復數(shù)極點 BkCks2 1 處的留數(shù)有關的常系數(shù) 對上式進行拉式逆變換 2 1 k kk k j 后 得到高階系統(tǒng)在零初始條件下的單位階躍響應為 A h t 2r n j jA e t sj r k kkkk t tt CBe k k 1sin1cos 22 可以看出 高階系統(tǒng)的單位階躍響應實際上是由一階慣性環(huán)節(jié) 二 階振蕩環(huán)節(jié)的響應疊加而成 當所有極點均具有負實部時 除常數(shù)項外 其他各項隨時間 t 而衰減為零 對于系統(tǒng)極點而言 如果負實部遠離虛軸 及或值較大 Sj k k 則該極點對應的響應衰減快 對系統(tǒng)整個過渡過程的影響小 因此響應 的主要特征取決于靠近虛軸的極點 經(jīng)驗證明 若極點與虛軸的距離大 于最靠近虛軸的極點與虛軸距離的 5 倍以上時 該極點稱為遠極點 對 應的瞬態(tài)分量對過渡過程的影響可忽略 對穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng) 遠離虛軸的極點對應的模態(tài)因為收斂較快 只 影響階躍響應的起始段 而距虛軸近的極點對應的模態(tài)衰減緩慢 系統(tǒng) 動態(tài)性能主要取決于這些極點對應的響應分量 此外 各瞬態(tài)分量的具 體值還與起系數(shù)的大小有關 系數(shù)大而且衰減慢的分量在瞬態(tài)響應中起 主要作用 因此 距離虛軸最近而且附近沒有零點的極點對系統(tǒng)的動態(tài) 性能起主導作用 稱相應極點為主導極點 微機測試技術綜合訓練設計說明書 Time sec Amplitude 02468101214161820 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 System sys Peak amplitude 1 21 Overshoot 20 6 At time sec 2 21 System sys Peak amplitude 1 1 Overshoot 10 4 At time sec 2 4 System sys Peak amplitude 1 03 Overshoot 3 35 At time sec 2 6 System sys Peak amplitude 1 Overshoot 0 175 At time sec 6 2 圖 2 11 三階系統(tǒng)單位階躍響應曲線 Time sec Amplitude 024681012141618 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 System sys Peak amplitude 0 977 Overshoot 95 5 At time sec 0 141 System sys Peak amplitude 0 834 Overshoot 66 8 At time sec 0 141 System sys Peak amplitude 0 652 Overshoot 30 5 At time sec 0 15 System sys Peak amplitude 0 524 Overshoot 4 88 At time sec 0 194 圖 2 12 四階系統(tǒng)單位階躍響應曲線 一般規(guī)定 若極點的實部大于主導極點實部的 5 6 倍以上時 則可 以忽略相應分量的影響 若兩相鄰零 極點間的距離比他們本身的模值 小一個數(shù)量級時 則稱該零 極點為 偶極子 其作用近似抵消 可以 忽略相應分量的影響 閉環(huán)主導極點常取共軛復數(shù)極點 于是相應的系 統(tǒng)近似為二階系統(tǒng) 但應注意的是 應使簡化后的系統(tǒng)與高階系統(tǒng)具有 相同的閉 環(huán)增益 以保證階躍響應終值相同 第三章第三章 控制系統(tǒng)的頻域分析與校正控制系統(tǒng)的頻域分析與校正 微機測試技術綜合訓練設計說明書 3 1 概述 時域響應法是一種直接法 它以傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的數(shù)學模型 以拉氏 變換為數(shù)學工具 直接求出變量的解析解 這種方法雖然直觀 分析時 域時十分有用 但是方法的應用需要兩個前提 一是必須已知控制系統(tǒng) 的開環(huán)傳遞函數(shù) 另外系統(tǒng)的階次不能很高 如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 未知 或者系統(tǒng)的階次較高 就不能采用上述方法進行分析 頻域分析 法不僅是一種通過開環(huán)傳遞函數(shù)研究系統(tǒng)閉環(huán)性能的分析方法 而且當 系統(tǒng)的數(shù)學模型未知時 還可以通過實驗的方法建立 此外 大量豐富 的圖型方法使得頻域分析法分析高階系統(tǒng)時 分析的復雜性并不隨階次 的增加而顯著增加 當線性系統(tǒng)受正弦信號作用時 其輸出特性隨正弦信號的頻率變化而 變化 這種描述系統(tǒng)性能與正弦信號頻率之間關系的方法就稱為頻率特 性法 或稱頻域響應法 之所以將正弦信號作為研究信號 是因為周期 信號可以通過傅里葉級數(shù)展開成正弦信號的疊加 而非周期信號可將其 看做周期 T 的周期信號 為了進一步弄清楚頻率特性的概念 看一個實驗 圖 3 1 所示為一個 線性系統(tǒng) 傳遞函數(shù)為 G s 當給系統(tǒng)輸入一個正弦信號時 系統(tǒng)的 輸出穩(wěn)定后是與輸入同頻率的正弦信號 如果記輸入信號為 r t sin wt 則穩(wěn)態(tài)輸出信號可表示為 Ar c t sin wt 與輸入信號相比 輸出信號的幅值和相位發(fā)生了變 Ac 化 當輸入信號幅值不變而頻率變化時 輸出信號的幅值和相位也會隨 頻率變化而變化 頻率特新就是指輸出 輸入信號幅值比 A Ac 和 Ar 微機測試技術綜合訓練設計說明書 r t r t Arsin wt G s C s c t sin wt Ac Ar 0 t Ac c t 0 R s 圖 3 1 正弦信號作用下的系統(tǒng)輸入輸出 相位差隨頻率變化的規(guī)律 定義 正弦信號作用下 線性定常系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入的幅 值比和相位差隨頻率變化的規(guī)律稱為頻率特性 其中幅值比的變化規(guī)律 A w 稱為頻率特性 相位差的變化規(guī)律 w 稱為相頻特性 或者定義為 正弦信號作用下 線性定常系統(tǒng) 穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復數(shù)比為系統(tǒng)的頻率特性 記為 G j 3 2 頻率特性的表示方法 由于頻率特性是復變函數(shù) 因此既可以表示為實部 虛部的形式 G j U jV 也可以將幅頻和相頻分別表示為 A G j jV U G j arctan U V 當以矢量形式表示時 有 G j A e j 頻率特性是頻率的函數(shù) 如果在相應的坐標紙上繪制成曲線 就 可以直觀地分析系統(tǒng)的輸出和輸入之比相位隨頻率變化的情況 并且可 以通過分析這些曲線的某些特點來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性與動態(tài)品質 并對 微機測試技術綜合訓練設計說明書 系統(tǒng)進行分析和綜合 通常頻率特性采用下面三種曲線形式表示 1 幅相頻率特性 當頻率由零變化到無窮大時 式表示的矢量末端在復數(shù)平面內(nèi)變 化的軌跡為幅相頻率特性曲線 也稱為極坐標圖或乃奎斯特曲線 由式 可知 向量 G j 的長度 A 等于 由正實軸方向逆時針繞原 G j 點轉動的角度 等于 G j 2 對數(shù)頻率特性 對數(shù)頻率特性是由對數(shù)幅頻特性曲線與對數(shù)相頻特性曲線兩條曲線 組成 橫坐標采用對數(shù)坐標 即頻率按對數(shù)分度 單位是 rad s 縱坐 標線性分度 幅頻值以 L 20lgA 即 dB 為單位 相頻以度 或 rad 為單位 是目前應用較為廣泛的一種頻率響應圖 又稱伯德圖 采用伯德圖表示對數(shù)頻率特性時 具有以下優(yōu)點 1 化乘除運算為加減運算 當系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)構成時 利用漸進 幅頻的概念 系統(tǒng)的幅頻特可以由各環(huán)節(jié)的幅頻特性折線疊加而成 簡 潔方便 2 對數(shù)坐標拓寬了圖形所能表示的頻率范圍 3 如果系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)時 其對數(shù)頻率特性曲線 關于零分貝線對稱 相頻特性曲線關于零度線對稱 4 將實驗獲得的頻率特性數(shù)據(jù)繪制成對數(shù)頻率特性曲線 可以方 便地確定系統(tǒng)的出傳遞函數(shù) 3 對數(shù)幅相頻率特性 在所需要的頻率范圍內(nèi) 以頻率作為參變量來表示的對數(shù)幅值和相 位關系的圖 稱為對數(shù)幅相頻率特性 也稱為尼克爾斯圖 3 3 頻率特性的性能指標 采用頻域方法進行線性控制系統(tǒng)設計時 時域內(nèi)采用的諸如超調量 調整時間等描述系統(tǒng)性能的指標不能直接使用 需要在頻域內(nèi)定義頻域 性能指標 1 諧振峰值Mr 微機測試技術綜合訓練設計說明書 諧振峰值為幅頻特性曲線的 A 的最大值 一般說來 Mr 的大小表明閉環(huán)控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞 越大 表明系統(tǒng) MrMr 對某個頻率的正弦信號反映強烈 有共振傾向 系統(tǒng)的平穩(wěn)性較差 相 應階躍響應的超調量越大 對應的為諧振頻率 r 2 帶寬 b 幅頻特性下降至零頻幅比的 70 7 或下降 3dB 時對應的頻率稱為 帶寬 也成為閉環(huán)截止頻率 帶寬用于衡量控制系統(tǒng)的快速性 帶寬越 寬 表明系統(tǒng)復現(xiàn)快速變化信號的能力越強 階躍響應的上升時間和調 節(jié)時間就越短 帶寬是控制系統(tǒng)及控制元件的重要性能指標 3 相頻寬 b 相頻寬為相頻衰減 90 時對應的頻率 與一樣 也用 b b b 于衡量系統(tǒng)的快速性 相頻寬高 表明輸入信號的頻率越高 變化較快 是輸出才能落后 90 即系統(tǒng)反映快速 快速性好 4 零頻幅比 A 0 零頻幅比 A 0 為頻率為零時的振幅比 零頻信號為直流或常值信 號 A 0 1 表明系統(tǒng)階躍響應的終值等于輸入值 即系統(tǒng)的靜差為 0 A 0 1 則表明系統(tǒng)有靜差 其與 1 的差值大小反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精 度 因此 A 0 越接近于 1 系統(tǒng)的精度越高 諧振峰值小 帶寬寬 相頻寬高 系統(tǒng)的過渡過程性 Mr b b 能好 A 0 越接近于 1 系統(tǒng)的精度高 這是頻域法分析系統(tǒng)性能的一 般準則 微機測試技術綜合訓練設計說明書 90 Mr A 0 r 0 707 A 0 b b 圖 3 2 系統(tǒng)幅頻 相頻特性曲線及性能指標 3 4 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 3 4 1 比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 s K 頻率特性為 j K 于是幅相特性為 j K Ke 0j 對數(shù)幅頻特性與相頻特性分別為 L j 20LgK 0 39 39 2 39 4 39 6 39 8 40 40 2 40 4 40 6 40 8 41 Magnitude dB 10 0 10 1 1 0 5 0 0 5 1 Phase deg Bode Diagram Gm Inf Pm Inf Frequency rad sec 圖 3 3 比例環(huán)節(jié)的伯德圖 于是伯德圖如圖 3 3 所示 微機測試技術綜合訓練設計說明書 3 4 2 積分環(huán)節(jié) 5 0 5 10 15 20 Magnitude dB 10 1 10 2 10 3 91 90 5 90 89 5 89 Phase deg Bode Diagram Gm Inf Pm 90 deg at 100 rad sec Frequency rad sec 圖 3 4 積分環(huán)節(jié)的伯德圖 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G 其頻率特性為 j s 1 j 1 于是幅相特性為 j j 1 1 e 2j 對數(shù)幅頻特性與相頻特性為 L j 20lg 90 于是伯德圖如圖 3 4 所示 在伯德圖中 積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線每 十倍頻程衰減 20dB 常表示為 20dB dec 3 4 3 微分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G s s 頻率特性為 j j 其幅相特性為 j j e 2j 對數(shù)幅頻特性與相頻特性為 L j 20lg 90 伯德圖如圖 3 5 所示 微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線每十倍頻程增加 20dB 故表示為 20dB dec 與積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線關于 0dB 線 對稱 微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻曲線與積分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻曲線關于 0 線 對稱 微機測試技術綜合訓練設計說明書 20 15 10 5 0 5 Magnitude dB 10 1 10 2 10 3 89 89 5 90 90 5 91 Phase deg Bode Diagram Gm Inf Pm 90 deg at 100 rad sec Frequency rad sec 圖 3 5 微分環(huán)節(jié)的伯德圖 3 4 4 慣性環(huán)節(jié) 一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G s 頻率特性為 1Ts 1 G j 1Tj 1 其幅相特性為 G j A 1Tj 1 1 1 T 22 e Tj arctan e j 對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為 L 20lgA 20lg 1 T 22 arctan T 由于對數(shù)幅頻特性曲線 L 為曲線 實際分析中常采用簡化的 漸近曲線來近似 漸近的原則是以 點為界 即 T 1 當 即T 即T 1 時 有 T 1 L 20lgA 20lg 20lg T 1 T 22 即 L 為 lg的線性函數(shù) 可以證明 對數(shù)相頻曲線關于 45 線具 有奇對稱性 以直線代替曲線 給作圖帶來較大方便 對于慣性環(huán)節(jié)而 微機測試技術綜合訓練設計說明書 言 采用漸進對數(shù)幅頻曲線代替理論曲線 最大誤差點出現(xiàn)在轉折頻率 處 誤差值為 3dB T 1 60 50 40 30 20 10 0 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 90 45 0 Phase deg rad sec rad sec 圖 3 6 慣性環(huán)節(jié)的伯德圖 3 4 5 一階微分環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G s s 1 頻率特性為 G j j 1 0 10 20 30 40 50 60 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 0 45 90 Phase deg rad sec rad sec 圖 3 7 一階微分環(huán)節(jié)伯德圖 其幅相特性曲線為 G j j 1 1 22 e jarctan 對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為 微機測試技術綜合訓練設計說明書 L 20lgA 20lg 1 22 arctan 一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù) 根據(jù)對數(shù)頻率特性 的特點 一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線關于 0dB 線對稱 相頻特性曲線關于 0 線對稱 3 4 6 二階振蕩環(huán)節(jié) 二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G s 其頻率特性 12 1 22 T Ts s 為G j Tj2 1 1 22 T 其幅頻特性和相頻特性分別為 A 2 T 1 2 2 22 1 T 1 1 2 arctan 1 1 2 arctan 22 22 T T T T T T 012345678910 0 1 2 3 4 5 6 rad sec dB 0 10 1 012345678910 200 150 100 50 0 rad sec deg 0 1 2 0 0 1 2 0 圖3 8 二階振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖 可以看出 當由0趨于無窮變化時 幅值A 由1衰減為0 相位 由0 滯后為 180 由3 8可見 當較小時 由于曲線存在諧振 對數(shù)幅頻特性漸近線 Gm 2 2222 Pm 38 8302 wcg 0 8164 wcp 0 4530 微機測試技術綜合訓練設計說明書 與實際幅頻特性曲線存在較大的誤差 當漸近誤差不超過3dB 可直接使 用漸近線近似對數(shù)幅頻特性 否則應使用準確的對數(shù)幅頻曲線 3 4 7 高階系統(tǒng)的伯德圖 高階系統(tǒng)的伯德圖 隨各指標的變化呈現(xiàn)不穩(wěn)定的狀態(tài) 圖 3 9 3 10 3 11分別表示出了三階 四階 五階的伯德圖 以做參考 012345678910 0 0 5 1 1 5 2 2 5 rad sec dB 012345678910 300 250 200 150 100 50 0 rad sec deg 圖3 9 三階系統(tǒng)的伯德圖 10 1 10 0 10 1 100 80 60 40 20 0 20 dB 10 1 10 0 10 1 350 300 250 200 150 100 圖3 10 四階系統(tǒng)的伯德圖 微機測試技術綜合訓練設計說明書 200 150 100 50 0 50 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 450 360 270 180 90 Phase deg Bode Diagram Gm 22 8 dB at 0 309 rad sec Pm 85 2 deg at 0 528 rad sec Frequency rad sec 圖3 11 五階系統(tǒng)的伯德圖 第四章第四章 結論結論 對控制系統(tǒng)進行分析 時域響應法是一種直接法 它以傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的數(shù)學模型 以拉氏變換為數(shù)學工具 直接可以求出變量的解析解 這種方法雖然直觀 分析時域性能十分有用 但是方法的應用需要兩個 前提 一是必須已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 另外系統(tǒng)的階次不能很 高 如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)未知 或者系統(tǒng)的階次較高 就需采用頻 域分析法 頻域分析法不僅是一種通過開環(huán)傳遞函數(shù)研究系統(tǒng)閉環(huán)傳遞 函數(shù)性能的分析方法 而且當系統(tǒng)的數(shù)學模型未知時 還可以通過實驗 的方法建立 此外 大量豐富的圖形方法使得頻域分析法分析高階系統(tǒng) 時 分析的復雜性并不隨階次的增加而顯著增加 固在進行控制系統(tǒng)分析時 可以根據(jù)實際情況 針對不同數(shù)學模型 選用最簡潔 最合適的方法 從而使用相應的分析方法 達到預期的實 驗目的 微機測試技術綜合訓練設計說明書 課程設計總結課程設計總結 三周短暫的課程設計已然結束 此次微機測試技術綜合訓練是測控技術與儀器專業(yè)非常重 要的一項教育環(huán)節(jié) 是對我們所學 自動控制原理 課程的進一步提高與總結 雖然很多知識 尚還一知半解 但其中的收獲對我而言還是受益匪淺 首先 非常感謝我們的指導老師張立強老師對我們的悉心指導 課設期間張老師始終寸步 不離的陪伴我們進行完了所有的實驗課程 為我們精心的答疑解惑 使我們的課設進行的非常 順利 在張老師為我們指導的過程中 我被他的學識淵博和人格魅力所深深折服 張老師對自 動控制這門課程的理解與研究甚是深入 我們對這門課程的學習只是蜻蜓點水般停留在應試的 層面上 經(jīng)過張老師的指點 使我對控制系統(tǒng)的動態(tài)性能與其影響參數(shù)的關系有了一個臺階式 的飛躍 其次 此次課設的完成得益于我們小組成員的共同合作 大家明確分工 使得整個課設的 過程有序而有效率 課程設計的題目是 控制系統(tǒng)的時域 頻域分析 我們主要通過 Matlab 實現(xiàn)了分析的全過 程 通過查閱網(wǎng)絡資料 借閱相關的書籍 以及向老師請教 掌握了簡單的 Matlab 軟件的使用 方法 使用 Matlab 做時域分析時 使用了求取連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應函數(shù) step 繪制出了相 應的階躍響應曲線 從得到的曲線中研究了阻尼比和固有頻率對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響 同時還 擴展到附加零點 極點對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響 對時域分析基本有了很全面的認識與體會 在 做頻域分析時 使用了 margin sys mag pha bode num den w 等函數(shù) 繪制出了相應的 Bode 圖 由 Bode 圖可以編程計算出其相對應的幅值裕度和相角裕度 通過對相同系統(tǒng)下時域 法和頻域法的對比 最終得出了對各種情況所要使用的分析方法 鄧志杰 2011 年 1 月 12 日 參考文獻參考文獻 1 盧京潮 自動控制理論 西北工業(yè)大學出版社 2009 年 2 張若青 控制工程基礎及 Matlab 實踐 高等教育出版社 2008 年 3 黃忠霖 控制系統(tǒng) Matlab 計算及仿真 國防工業(yè)出版社 2009 年 4 劉振全 Matlab 語言與控制系統(tǒng)仿真實訓教程 化學工業(yè)出版社 2009 年 微機測試技術綜合訓練設計說明書 5 何衍慶 控制系統(tǒng)分析 設計和應用 Matlab 語言的應用 化學工業(yè)出版社 2004 年 附錄附錄 程序 2 1 t 0 0 1 10 T 1 0 for i 1 4 num 0 1 den i T 1 c x t step num den t 微機測試技術綜合訓練設計說明書 plot t c k hold on end xlabel t ylabel h t title 一階系統(tǒng)階躍響應隨T的變化趨勢 grid on gtext T 1 gtext T 2 gtext T 3 gtext T 4 程序 2 2 T 0 1 0 1 1 2 figure 2 hold on for i T num 1 den i 0 H tf num den Step H hold on end title 一階積分環(huán)節(jié)階躍響應 grid on 程序 2 5 wn 4 kosai 0 1 0 1 1 2 figure 1 hold on for i kosai num wn 2 den 1 2 i wn wn 2 Gk tf num den sys feedback Gk 1 1 微機測試技術綜合訓練設計說明書 step sys end title 二階系統(tǒng)單位階躍響應 gtext kosai 0 1 gtext kosai 0 2 gtext kosai 0 3 gtext kosai 0 4 gtext kosai 0 5 gtext kosai 0 6 gtext kosai 0 7 gtext kosai 0 8 gtext kosai 0 9 gtext kosai 1 0 gtext kosai 2 0 程序 2 6 wn 4 kosai 0 1 0 1 1 2 figure 1 hold on for i kosai num wn 2 den 1 2 i wn wn 2 Gk tf num den sys feedback Gk 1 1 step sys end title 二階系統(tǒng)單位階躍響應 gtext kosai 0 1 gtext kosai 0 2 gtext kosai 0 3 gtext kosai 0 4 微機測試技術綜合訓練設計說明書 gtext kosai 0 5 gtext kosai 0 6 gtext kosai 0 7 gtext kosai 0 8 gtext kosai 0 9 gtext kosai 1 0 gtext kosai 2 0 程序 2 7 Tb Ts t 0 0 01 50 T2 10 T1 T2 0 1 T2 20 T2 for j 1 length T1 Tb Tb T1 j T2 num 1 T1 j T2 den 1 1 T1 j 1 T2 1 T1 j T2 y step num den t for k length y 1 1 if abs y k 1 0 05 Ts Ts k 0 01 T1 j break end end end plot Tb Ts grid on xlim 1 20 xlabel T1 T2 ylabel Ts T1 gtext title 過阻尼二階系統(tǒng)的調節(jié)時間特性 程序 2 8 wn 2 5 xi 0 4 t 0 0 05 4 t1 acos xi ones 1 length t a1 1 sqrt 1 xi 2 h1 1 a1 exp xi wn t sin wn sqrt 1 xi 2 t t1 微機測試技術綜合訓練設計說明書 bu a1 exp xi wn t 1 b1 2 bu plot t h1 k t bu t b1 t ones size t legend 階躍輸入 上包線 下包線 階躍響應 xlabel omega nt ylabel h t grid on 程序 2 10 a t 0 0 1 20 r ones size t lamd 5 2 1 0 5 0 25 h l size lamd num0 1 den0 1 1 1 tf0 tf num0 den0 c step tf0 t plot t r b t c r hold on for i 1 l tf1 tf 1 lamd i 1 1 tfa tf0 tf1 c step tfa t 0 plot t c g hold on y c r 1 while y r 0 95end ts r 1 0 1 plot tr tr 0 0 1 plot tp tp 0 ymax plot 0 20 1 05 1 05 plot 0 20 0 95 0 95 plot ts ts 0 0 95 b num2str overshoot 100 ot char overshoot b b num2str tp tpchar char tp b s b num2str tr trchar char tr b s b num2str ts tschar char ts b s text tp 0 2 ymax ot text tp 0 5 ymax 0 1 tpchar text tr 0 2 0 8 trchar text ts 0 2 0 9 tschar 微機測試技術綜合訓練設計說明書 end xlabel t s ylabel h t title 附加閉環(huán)零點的影響 b t 0 0 1 20 r ones size t im 1 xi 0 5 z 5 2 1 0 5 0 25 h l size z num0 1 den0 1 1 1 tf0 tf num0 den0 c step tf0 t figure plot t r b t c r hold on for i 1 l tf1 tf z i 1 z i tfa tf0 tf1 c step tfa t plot t c g hold on grid on y c r 1 while y r 0 95end ts r 1 0 1 plot tr tr 0 0 1 plot tp tp 0 ymax plot 0 20 1 05 1 05 plot 0 20 0 95 0 95 plot ts ts 0 0 95 b num2str overshoot 100 ot char overshoot b b num2str tp tpchar char tp b s b num2str tr trchar char tr b s b num2str ts tschar char ts b s text tp 0 2 ymax ot text tp 0 5 ymax 0 1 tpchar text tr 0 2 0 8 trchar text ts 0 2 0 9 tschar end xlabel t s ylabel h t title 附加閉環(huán)極點的影響 grid on 微機測試技術綜合訓練設計說明書 程序 2 11 wn 2 kosai 0 1 0 1 1 0 figure 1 hold on for i kosai num wn 2 den 1 2 wn i 1 wn 2 2 wn i wn 2 sys tf num den step sys end title 三階系統(tǒng)單位階躍響應曲線 程序 2 12 wn 4 kosa