數(shù)學(xué)分析 不定積分.doc

數(shù)學(xué)分析教案第八5章 不定積分 教學(xué)要求： 1.積分法是微分法的逆運(yùn)算。要求學(xué)生：深刻理解不定積分的概念，掌握原函數(shù)與不定積分的概念及其之間的區(qū)別；掌握不定積分的線性運(yùn)算法則，熟練掌握不定積分的基本積分公式。2.換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學(xué)生：牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)（或湊微分）的原則，并能恰當(dāng)?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應(yīng)用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數(shù)的不定積分運(yùn)用分部積分公式，并能恰當(dāng)?shù)貙⒈环e表達(dá)式分成兩部分的乘積，熟練地應(yīng)用分部積分公式；獨(dú)立地完成一定數(shù)量的不定積分練習(xí)題，從而逐步達(dá)到快而準(zhǔn)的求出不定積分。3.有理函數(shù)的不定積分是求無(wú)理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的基礎(chǔ)。要求學(xué)生：掌握化有理函數(shù)為分項(xiàng)分式的方法；會(huì)求四種有理最簡(jiǎn)真分式的不定積分，知道有理函數(shù)的不定積分（原函數(shù)）還是初等函數(shù)；學(xué)會(huì)求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；掌握求某些簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認(rèn)識(shí)到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來(lái)。教學(xué)重點(diǎn)：深刻理解不定積分的概念；熟練地應(yīng)用換元積分公式；熟練地應(yīng)用分部積分公式；教學(xué)時(shí)數(shù)：18學(xué)時(shí) 1 不定積分概念與基本公式（ 4學(xué)時(shí) ） 教學(xué)要求： 積分法是微分法的逆運(yùn)算。要求學(xué)生：深刻理解不定積分的概念，掌握原函數(shù)與不定積分的概念及其之間的區(qū)別；掌握不定積分的線性運(yùn)算法則，熟練掌握不定積分的基本積分公式。教學(xué)重點(diǎn)：深刻理解不定積分的概念。一、新課引入： 微分問題的反問題，運(yùn)算的反運(yùn)算.二、講授新課： （一）不定積分的定義: 1.原函數(shù)： 例1 填空: ; ( ; ; ; ;. 定義. 注意 是 的一個(gè)原函數(shù). 原函數(shù)問題的基本內(nèi)容：存在性，個(gè)數(shù)，求法.原函數(shù)的個(gè)數(shù): Th 若 是 在區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù), 則對(duì) ， 都是 在區(qū)間 上的原函數(shù)；若 也是 在區(qū)間 上的原函數(shù)，則必有 . ( 證 )可見，若 有原函數(shù) ，則 的全體原函數(shù)所成集合為 .原函數(shù)的存在性: 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù). ( 下章給出證明 ).可見, 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)有原函數(shù); 若 在區(qū)間 上有原函數(shù), 則 在區(qū)間 上有介值性.例2. 已知 為 的一個(gè)原函數(shù), =5 . 求 . 2.不定積分 原函數(shù)族：定義； 不定積分的記法；幾何意義.例3 ; . （二）不定積分的基本性質(zhì): 以下設(shè) 和 有原函數(shù). .(先積分后求導(dǎo), 形式不變應(yīng)記牢！). . (先求導(dǎo)后積分, 多個(gè)常數(shù)需當(dāng)心！) 時(shí)， （被積函數(shù)乘系數(shù)，積分運(yùn)算往外挪?。?由、可見, 不定積分是線性運(yùn)算, 即對(duì) , 有 ( 當(dāng) 時(shí),上式右端應(yīng)理解為任意常數(shù). )例4 . 求 . ( =2 ). （三）. 不定積分基本公式: 基本積分表. 1P180 公式114. 例5 . （四）利用初等化簡(jiǎn)計(jì)算不定積分: 例6 . 求 .例7 .例8 .例9 .例10 ; 例11 .例12 .三、小結(jié) 2 換元積分法與分部積分法 （1 0 學(xué)時(shí) ） 教學(xué)要求： 換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學(xué)生：牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)（或湊微分）的原則，并能恰當(dāng)?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應(yīng)用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數(shù)的不定積分運(yùn)用分部積分公式，并能恰當(dāng)?shù)貙⒈环e表達(dá)式分成兩部分的乘積，熟練地應(yīng)用分部積分公式；獨(dú)立地完成一定數(shù)量的不定積分練習(xí)題，從而逐步達(dá)到快而準(zhǔn)的求出不定積分。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用換元積分公式；熟練地應(yīng)用分部積分公式；一、新課引入：由直接積分的局限性引入 二、講授新課： （一）. 第一類換元法 湊微分法： 由 引出湊微公式.Th1 若 連續(xù)可導(dǎo), 則 該定理即為：若函數(shù) 能分解為 就有 . 例1 . 例2 . 例3 常見微分湊法： 湊法1 例4 例5 例6 例7 由例47可見，?？捎贸醯然?jiǎn)把被積函數(shù)化為型，然后用湊法1.例8 . . 湊法2 . 特別地, 有 . 和 . 例9 . 例10 例11 . 例12 = .湊法3 例13 例14 例15 . 例16 湊法4 . 例17 湊法5 例18 湊法6 . 例19 .其他湊法舉例: 例20 .例21 例22 .例23 . 例24 . 例25 例26 .三、小結(jié) （二）第二類換元法 拆微法：從積分 出發(fā)，從兩個(gè)方向用湊微法計(jì)算，即 = = = 引出拆微原理.Th2 設(shè) 是單調(diào)的可微函數(shù),并且 又 具有原函數(shù). 則有換元公式 (證)常用代換有所謂無(wú)理代換, 三角代換, 雙曲代換, 倒代換, 萬(wàn)能代換, Euler代換等.我們著重介紹三角代換和無(wú)理代換.1. 三角代換: 正弦代換: 正弦代換簡(jiǎn)稱為“弦換”. 是針對(duì)型如 的根式施行的, 目的是去掉根號(hào). 方法是: 令 , 則 例27 解法一 直接積分; 解法二 用弦換.例28 . 例29 . 正切代換: 正切代換簡(jiǎn)稱為“切換”. 是針對(duì)型如 的根式施行的, 目的是去掉根號(hào). 方法是: 利用三角公式 即 令 . 此時(shí)有 變量還原時(shí), 常用所謂輔助三角形法.例30 . 解 令 有 . 利用例22的結(jié)果, 并用輔助三角形, 有 = = 例31 正割代換: 正割代換簡(jiǎn)稱為“割換”. 是針對(duì)型如 的根式施行的, 目的是去掉根號(hào). 方法是: 利用三角公式 令 有變量還愿時(shí), 常用輔助三角形法. 例32 解 .例33 .解法一 （ 用割換 ） 解法二 （ 湊微 ） 2.無(wú)理代換:若被積函數(shù)是 的有理式時(shí), 設(shè) 為 的最小公倍數(shù),作代換 , 有 .可化被積函數(shù)為 的有理函數(shù).例34 .例35 .若被積函數(shù)中只有一種根式 或 可試作代換 或. 從中解出 來(lái).例36 . 例37 例38 (給出兩種解法)例39 . 本題還可用割換計(jì)算, 但較繁. 3.雙曲代換: 利用雙曲函數(shù)恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式. . 化簡(jiǎn)時(shí)常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式, 如: 例40 .本題可用切換計(jì)算,但歸結(jié)為積分 , 該積分計(jì)算較繁. 參閱后面習(xí)題課例3.例41 解 .例42 .解 4.倒代換: 當(dāng)分母次數(shù)高于分子次數(shù), 且分子分母均為“因式”時(shí), 可試用倒代換 例43 .5.萬(wàn)能代換: 萬(wàn)能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分(參1P261). 令 ， 就有 ， ， 例44 .解法一 ( 用萬(wàn)能代換 ) .解法二 ( 用初等化簡(jiǎn) ) .解法三 ( 用初等化簡(jiǎn), 并湊微 ) 例45 解 = .代換法是一種很靈活的方法.三、小結(jié) （三）. 分部積分法:導(dǎo)出分部積分公式.介紹使用分部積分公式的一般原則. 1. 冪 X 型函數(shù)的積分: 分部積分追求的目標(biāo)之一是: 對(duì)被積函數(shù)兩因子之一爭(zhēng)取求導(dǎo), 以使該因子有較大簡(jiǎn)化, 特別是能降冪或變成代數(shù)函數(shù). 代價(jià)是另一因子用其原函數(shù)代替( 一般會(huì)變繁 ), 但總體上應(yīng)使積分簡(jiǎn)化或能直接積出. 對(duì)“冪 ” 型的積分, 使用分部積分法可使“冪”降次, 或?qū)Α?”求導(dǎo)以使其成為代數(shù)函數(shù).例46 (冪對(duì)搭配，取對(duì)為u) 例47 (冪三搭配，取冪為u) 例48 (冪指搭配，取冪為u) 例49 (冪指搭配，取冪為u) 例50 例51 (冪反搭配，取反為u) 例52 2建立所求積分的方程求積分: 分部積分追求的另一個(gè)目標(biāo)是: 對(duì)被積函數(shù)兩因子之一求導(dǎo), 進(jìn)行分部積分若干次后, 使原積分重新出現(xiàn), 且積分前的符號(hào)不為 1. 于是得到關(guān)于原積分的一個(gè)方程. 從該方程中解出原積分來(lái). 例53 例54 求 和 解 解得 例55 解 = = （參閱例41）解得 例56 = ，解得 .例57 = = ,解得 .三、小結(jié) 3 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分( 2學(xué)時(shí) ) 教學(xué)要求：有理函數(shù)的不定積分是求無(wú)理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的基礎(chǔ)。要求學(xué)生：掌握化有理函數(shù)為分項(xiàng)分式的方法；會(huì)求四種有理最簡(jiǎn)真分式的不定積分，知道有理函數(shù)的不定積分（原函數(shù)）還是初等函數(shù)；學(xué)會(huì)求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；掌握求某些簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認(rèn)識(shí)到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來(lái)。教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生掌握化有理函數(shù)為分項(xiàng)分式的方法；求四種有理最簡(jiǎn)真分式的不定積分，學(xué)會(huì)求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；求某些簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認(rèn)識(shí)到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來(lái)。一、新課引入：由積分應(yīng)用的廣泛性引入 二、講授新課： （一）有理函數(shù)的積分: 1. 代數(shù)知識(shí): 1P190例1 1P190， 2. 部分分式的積分: 1P192 例2 1P192 例3 2P260 E3. （二）. 三角函數(shù)有理