千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題(一)：第20煉-一元不等式的證明-Word版含解析.doc

第20煉 一元不等式的證明 利用函數(shù)性質(zhì)與最值證明一元不等式是導(dǎo)數(shù)綜合題常涉及的一類問(wèn)題，考察學(xué)生構(gòu)造函數(shù)選擇函數(shù)的能力，體現(xiàn)了函數(shù)最值的一個(gè)作用每一個(gè)函數(shù)的最值帶來(lái)一個(gè)恒成立的不等式。此外所證明的不等式也有可能對(duì)后一問(wèn)的解決提供幫助，處于承上啟下的位置。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、證明方法的理論基礎(chǔ)（1）若要證(為常數(shù)）恒成立，則只需證明：，進(jìn)而將不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值（2）已知的公共定義域?yàn)?，若，則證明：對(duì)任意的，有由不等式的傳遞性可得：，即2、證明一元不等式主要的方法有兩個(gè)： 第一個(gè)方法是將含的項(xiàng)或所有項(xiàng)均挪至不等號(hào)的一側(cè)，將一側(cè)的解析式構(gòu)造為函數(shù)，通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性得到最值，從而進(jìn)行證明，其優(yōu)點(diǎn)在于目的明確，構(gòu)造方法簡(jiǎn)單，但對(duì)于移項(xiàng)后較復(fù)雜的解析式則很難分析出單調(diào)性 第二個(gè)方法是利用不等式性質(zhì)對(duì)所證不等式進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化成為的形式，若能證明，即可得：，本方法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)的項(xiàng)進(jìn)行分割變形，可將較復(fù)雜的解析式拆成兩個(gè)簡(jiǎn)單的解析式。但缺點(diǎn)是局限性較強(qiáng)，如果與不滿足，則無(wú)法證明。所以用此類方法解題的情況不多，但是在第一個(gè)方法失效的時(shí)候可以考慮嘗試此法。3、在構(gòu)造函數(shù)時(shí)把握一個(gè)原則：以能夠分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)為準(zhǔn)則。4、若在證明中，解析式可分解為幾個(gè)因式的乘積，則可對(duì)每個(gè)因式的符號(hào)進(jìn)行討論，進(jìn)而簡(jiǎn)化所構(gòu)造函數(shù)的復(fù)雜度。5、合理的利用換元簡(jiǎn)化所分析的解析式。6、判斷解析式符號(hào)的方法：（1）對(duì)解析式進(jìn)行因式分解，將復(fù)雜的式子拆分為一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單的式子，判斷出每個(gè)式子的符號(hào)即可得到解析式的符號(hào)（2）將解析式視為一個(gè)函數(shù)，利用其零點(diǎn)（可猜出）與單調(diào)性（利用導(dǎo)數(shù)）可判斷其符號(hào)（3）將解析式中的項(xiàng)合理分組，達(dá)到分成若干正項(xiàng)的和或者若干負(fù)項(xiàng)的和的結(jié)果，進(jìn)而判斷出解析式符號(hào)二、典型例題：例1：求證：思路：移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)求解即可證明：所證不等式等價(jià)于： 令 則只需證明： 令解得： 即所證不等式成立小煉有話說(shuō)：（1）此題的解法為證明一元不等式的基本方法，即將含的項(xiàng)移至不等號(hào)的一側(cè)，構(gòu)造函數(shù)解決。（2）一些常見(jiàn)不等關(guān)系可記下來(lái)以備使用： 例2：設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，思路：本題依然考慮構(gòu)造函數(shù)解決不等式，但如果僅僅是移項(xiàng)，則所證不等式為，令，其導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜（也可解決此題），所以考慮先對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)變?yōu)樾问捷^為簡(jiǎn)單的不等式，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明證明： ，所以所證不等式等價(jià)于 設(shè) 只需證即可 令在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 故不等式得證小煉有話說(shuō)：本題在證明時(shí)采取先化簡(jiǎn)再證明的策略，這也是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的方法之一，先把問(wèn)題簡(jiǎn)單化再進(jìn)行處理。在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題中，所謂的“簡(jiǎn)化”的標(biāo)準(zhǔn)就是構(gòu)造的函數(shù)是否易于分析單調(diào)性。例3：已知函數(shù)，證明：思路：若化簡(jiǎn)不等式左邊，則所證不等式等價(jià)于，若將左邊構(gòu)造為函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)性難于分析，此法不可取。考慮原不等式為乘積式，且與0進(jìn)行比較，所以考慮也可分別判斷各因式符號(hào)，只需讓與同號(hào)即可。而的正負(fù)一眼便可得出，的符號(hào)也不難分析，故采取分別判斷符號(hào)的方法解決。解： 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 為增函數(shù) 時(shí)， 時(shí)， 綜上所述，成立小煉有話說(shuō)：與0比較大小也可看做是判斷一側(cè)式子的符號(hào)，當(dāng)不等式的一側(cè)可化為幾個(gè)因式的乘積時(shí)，可分別判斷每一個(gè)因式的符號(hào)（判斷相對(duì)簡(jiǎn)單），再?zèng)Q定乘積的符號(hào)。例4：已知，其中常數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值（2）求證：解：（1）當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的極小值為，無(wú)極大值（2）思路：本題如果直接構(gòu)將左側(cè)構(gòu)造函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)過(guò)于復(fù)雜，不易進(jìn)行分析，所以考慮將所證不等式進(jìn)行變形成“”的形式。由第（1）問(wèn)可得：，即，則所證不等式兩邊同時(shí)除以，即證：，而，所以只需構(gòu)造函數(shù)證明即可解：由（1）得所證不等式： 設(shè)令可解得：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減即例5：已知（1）當(dāng)時(shí)，求在的最值（2）求證：，解： （1）的單調(diào)區(qū)間為 時(shí)，（2）思路：所證不等式，若都移到左邊構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)很難分析單調(diào)性，進(jìn)而無(wú)法求出最值。本題考慮在兩邊分別求出最值，再比較大小即可解：所證不等式等價(jià)于設(shè) 令 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增設(shè) 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 所證不等式成立例6：設(shè)為常數(shù)），曲線與直線在(0，0)點(diǎn)相切. (1)求的值. (2)證明：當(dāng)時(shí)，.解：（1）過(guò)點(diǎn) （2）思路：所證不等式等價(jià)于，若將的表達(dá)式挪至不等號(hào)一側(cè)，則所構(gòu)造的函數(shù)中，求導(dǎo)后結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜。觀察到對(duì)數(shù)與根式均含有，進(jìn)而考慮換元化簡(jiǎn)不等式。另一方面，當(dāng)時(shí)，而是所證的臨界值，進(jìn)而會(huì)對(duì)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)有所影響。解： 所證不等式等價(jià)于：令 則不等式轉(zhuǎn)化為： （若不去分母，導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜，不易分析）令 只需證即可觀察 進(jìn)而考慮的單調(diào)性 （盡管復(fù)雜，但有零點(diǎn)在，就能夠幫助繼續(xù)分析，堅(jiān)持往下進(jìn)行） 單調(diào)遞增，單調(diào)遞減 （是的零點(diǎn)，從而引發(fā)連鎖反應(yīng)）單調(diào)遞減 即所證不等式成立當(dāng)時(shí)，小煉有話說(shuō)：本題有以下兩個(gè)亮點(diǎn)（1）利用換元簡(jiǎn)化所證不等式（2）零點(diǎn)的關(guān)鍵作用：對(duì)于化簡(jiǎn)后的函數(shù)而言，形式依然比較復(fù)雜，其導(dǎo)函數(shù)也很難直接因式分解判斷符號(hào)，但是由于尋找到這個(gè)零點(diǎn)，從而對(duì)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷指引了方向，又因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)也是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，于是才決定在對(duì)導(dǎo)函數(shù)求一次導(dǎo)，在二次導(dǎo)函數(shù)中判斷了符號(hào)，進(jìn)而引發(fā)連鎖反應(yīng)，最終證明不等式?？梢哉f(shuō)，本題能堅(jiān)持對(duì)進(jìn)行分析的一個(gè)重要原因就是這個(gè)零點(diǎn)。例7：（2015，福建，20）已知函數(shù)（1）求證：當(dāng)時(shí)，（2）求證：當(dāng)時(shí)，存在，使得對(duì)任意的，恒有解：（1）思路：所證不等式為：，只需將含的項(xiàng)移植不等號(hào)一側(cè)，構(gòu)造函數(shù)即可證明證明：所證不等式等價(jià)于：，設(shè)在單調(diào)遞減 時(shí)，即得證（2）思路：本題的目標(biāo)是要找到與相關(guān)的，因?yàn)楹瘮?shù)形式較為簡(jiǎn)單，所以可以考慮移至不等號(hào)一側(cè)：，設(shè)，因?yàn)?，所以只需在單增即可?？蓪?duì)進(jìn)行和分類討論。證明：設(shè) 則且令，即 當(dāng)時(shí)，解得 恒成立在單調(diào)遞增 可取任意正數(shù) 當(dāng)時(shí)，當(dāng)，故可取任意正數(shù) 當(dāng)時(shí)，解得，而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，均有，只需取即可綜上所述：存在，使得對(duì)任意的，恒有例8：已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在處的切線與軸平行（1）求的值（2）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)。證明：對(duì)解：（1）處的切線與軸平行 :（2）所證不等式等價(jià)于：設(shè) 令在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即若要證，只需證設(shè) ，令解得：在單調(diào)遞增 ，即原不等式得證例9：已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于，求證： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，沒(méi)有極值； 當(dāng)時(shí)，令在單調(diào)增，在單調(diào)遞減有極大值，無(wú)極小值（2）當(dāng)時(shí)，令，即，則在上為增函數(shù) 在上為增函數(shù)時(shí)， 時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， ，由可知 即例10：設(shè)函數(shù).（1）證明：時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）證明：.解：（1） 只需證即可令 在單調(diào)遞增即 函數(shù)在上單調(diào)遞增（2）思路：對(duì)所證不等式，若直接將左側(cè)構(gòu)造函數(shù)，則無(wú)法求出單調(diào)區(qū)間和最值。（導(dǎo)函數(shù)中含有無(wú)法進(jìn)一步運(yùn)算），所以考慮將左側(cè)的一部分挪至不等號(hào)另一側(cè)，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行比較。 (右邊,考慮能否恒大于4，,在處單調(diào)減，在單調(diào)遞增， 故為增函數(shù)，但無(wú)法求的最小值。無(wú)法用證明?？紤]其他思路。所證不等式也可變?yōu)?，在第一?wèn)中令可得,只需證明即可）解：所證不等式等價(jià)于設(shè) 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增即 由（1）問(wèn)可得： 原不等式得證小煉有話說(shuō)：（1）前兩種嘗試是最容易想到的，但是嘗試后為什么放棄？第一種嘗試是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)中項(xiàng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，無(wú)法判斷單調(diào)區(qū)間。而第二種嘗試局限性較大，即必須左端最小大于右端最大才可，盡管新的函數(shù)單調(diào)性能夠分析，但是無(wú)法確定其最小值，所以放棄。在構(gòu)造函數(shù)證不等式時(shí)，一要看構(gòu)造的函數(shù)能否進(jìn)行分析（即單調(diào)性，最值），二要看是否吻合預(yù)期的結(jié)果。否則便要考慮從其他角度入手。（2）對(duì)于第二種嘗試，求單調(diào)區(qū)間比較麻煩。有能力的同學(xué)可以嘗試特殊值法來(lái)