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第20煉 一元不等式的證明 利用函數(shù)性質(zhì)與最值證明一元不等式是導(dǎo)數(shù)綜合題常涉及的一類問(wèn)題,考察學(xué)生構(gòu)造函數(shù)選擇函數(shù)的能力,體現(xiàn)了函數(shù)最值的一個(gè)作用每一個(gè)函數(shù)的最值帶來(lái)一個(gè)恒成立的不等式。此外所證明的不等式也有可能對(duì)后一問(wèn)的解決提供幫助,處于承上啟下的位置。一、基礎(chǔ)知識(shí):1、證明方法的理論基礎(chǔ)(1)若要證(為常數(shù))恒成立,則只需證明:,進(jìn)而將不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值(2)已知的公共定義域?yàn)?,若,則證明:對(duì)任意的,有由不等式的傳遞性可得:,即2、證明一元不等式主要的方法有兩個(gè): 第一個(gè)方法是將含的項(xiàng)或所有項(xiàng)均挪至不等號(hào)的一側(cè),將一側(cè)的解析式構(gòu)造為函數(shù),通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性得到最值,從而進(jìn)行證明,其優(yōu)點(diǎn)在于目的明確,構(gòu)造方法簡(jiǎn)單,但對(duì)于移項(xiàng)后較復(fù)雜的解析式則很難分析出單調(diào)性 第二個(gè)方法是利用不等式性質(zhì)對(duì)所證不等式進(jìn)行等價(jià)變形,轉(zhuǎn)化成為的形式,若能證明,即可得:,本方法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)的項(xiàng)進(jìn)行分割變形,可將較復(fù)雜的解析式拆成兩個(gè)簡(jiǎn)單的解析式。但缺點(diǎn)是局限性較強(qiáng),如果與不滿足,則無(wú)法證明。所以用此類方法解題的情況不多,但是在第一個(gè)方法失效的時(shí)候可以考慮嘗試此法。3、在構(gòu)造函數(shù)時(shí)把握一個(gè)原則:以能夠分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)為準(zhǔn)則。4、若在證明中,解析式可分解為幾個(gè)因式的乘積,則可對(duì)每個(gè)因式的符號(hào)進(jìn)行討論,進(jìn)而簡(jiǎn)化所構(gòu)造函數(shù)的復(fù)雜度。5、合理的利用換元簡(jiǎn)化所分析的解析式。6、判斷解析式符號(hào)的方法:(1)對(duì)解析式進(jìn)行因式分解,將復(fù)雜的式子拆分為一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單的式子,判斷出每個(gè)式子的符號(hào)即可得到解析式的符號(hào)(2)將解析式視為一個(gè)函數(shù),利用其零點(diǎn)(可猜出)與單調(diào)性(利用導(dǎo)數(shù))可判斷其符號(hào)(3)將解析式中的項(xiàng)合理分組,達(dá)到分成若干正項(xiàng)的和或者若干負(fù)項(xiàng)的和的結(jié)果,進(jìn)而判斷出解析式符號(hào)二、典型例題:例1:求證:思路:移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)求解即可證明:所證不等式等價(jià)于: 令 則只需證明: 令解得: 即所證不等式成立小煉有話說(shuō):(1)此題的解法為證明一元不等式的基本方法,即將含的項(xiàng)移至不等號(hào)的一側(cè),構(gòu)造函數(shù)解決。(2)一些常見(jiàn)不等關(guān)系可記下來(lái)以備使用: 例2:設(shè)函數(shù),證明:當(dāng)時(shí),思路:本題依然考慮構(gòu)造函數(shù)解決不等式,但如果僅僅是移項(xiàng),則所證不等式為,令,其導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜(也可解決此題),所以考慮先對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)變形,轉(zhuǎn)變?yōu)樾问捷^為簡(jiǎn)單的不等式,再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明證明: ,所以所證不等式等價(jià)于 設(shè) 只需證即可 令在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增 故不等式得證小煉有話說(shuō):本題在證明時(shí)采取先化簡(jiǎn)再證明的策略,這也是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的方法之一,先把問(wèn)題簡(jiǎn)單化再進(jìn)行處理。在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題中,所謂的“簡(jiǎn)化”的標(biāo)準(zhǔn)就是構(gòu)造的函數(shù)是否易于分析單調(diào)性。例3:已知函數(shù),證明:思路:若化簡(jiǎn)不等式左邊,則所證不等式等價(jià)于,若將左邊構(gòu)造為函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)性難于分析,此法不可取。考慮原不等式為乘積式,且與0進(jìn)行比較,所以考慮也可分別判斷各因式符號(hào),只需讓與同號(hào)即可。而的正負(fù)一眼便可得出,的符號(hào)也不難分析,故采取分別判斷符號(hào)的方法解決。解: 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增 為增函數(shù) 時(shí), 時(shí), 綜上所述,成立小煉有話說(shuō):與0比較大小也可看做是判斷一側(cè)式子的符號(hào),當(dāng)不等式的一側(cè)可化為幾個(gè)因式的乘積時(shí),可分別判斷每一個(gè)因式的符號(hào)(判斷相對(duì)簡(jiǎn)單),再?zèng)Q定乘積的符號(hào)。例4:已知,其中常數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值(2)求證:解:(1)當(dāng)時(shí), 在單調(diào)遞增時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的極小值為,無(wú)極大值(2)思路:本題如果直接構(gòu)將左側(cè)構(gòu)造函數(shù),則導(dǎo)數(shù)過(guò)于復(fù)雜,不易進(jìn)行分析,所以考慮將所證不等式進(jìn)行變形成“”的形式。由第(1)問(wèn)可得:,即,則所證不等式兩邊同時(shí)除以,即證:,而,所以只需構(gòu)造函數(shù)證明即可解:由(1)得所證不等式: 設(shè)令可解得:在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減即例5:已知(1)當(dāng)時(shí),求在的最值(2)求證:,解: (1)的單調(diào)區(qū)間為 時(shí),(2)思路:所證不等式,若都移到左邊構(gòu)造函數(shù),則函數(shù)很難分析單調(diào)性,進(jìn)而無(wú)法求出最值。本題考慮在兩邊分別求出最值,再比較大小即可解:所證不等式等價(jià)于設(shè) 令 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增設(shè) 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減 所證不等式成立例6:設(shè)為常數(shù)),曲線與直線在(0,0)點(diǎn)相切. (1)求的值. (2)證明:當(dāng)時(shí),.解:(1)過(guò)點(diǎn) (2)思路:所證不等式等價(jià)于,若將的表達(dá)式挪至不等號(hào)一側(cè),則所構(gòu)造的函數(shù)中,求導(dǎo)后結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜。觀察到對(duì)數(shù)與根式均含有,進(jìn)而考慮換元化簡(jiǎn)不等式。另一方面,當(dāng)時(shí),而是所證的臨界值,進(jìn)而會(huì)對(duì)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)有所影響。解: 所證不等式等價(jià)于:令 則不等式轉(zhuǎn)化為: (若不去分母,導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜,不易分析)令 只需證即可觀察 進(jìn)而考慮的單調(diào)性 (盡管復(fù)雜,但有零點(diǎn)在,就能夠幫助繼續(xù)分析,堅(jiān)持往下進(jìn)行) 單調(diào)遞增,單調(diào)遞減 (是的零點(diǎn),從而引發(fā)連鎖反應(yīng))單調(diào)遞減 即所證不等式成立當(dāng)時(shí),小煉有話說(shuō):本題有以下兩個(gè)亮點(diǎn)(1)利用換元簡(jiǎn)化所證不等式(2)零點(diǎn)的關(guān)鍵作用:對(duì)于化簡(jiǎn)后的函數(shù)而言,形式依然比較復(fù)雜,其導(dǎo)函數(shù)也很難直接因式分解判斷符號(hào),但是由于尋找到這個(gè)零點(diǎn),從而對(duì)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷指引了方向,又因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)也是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),于是才決定在對(duì)導(dǎo)函數(shù)求一次導(dǎo),在二次導(dǎo)函數(shù)中判斷了符號(hào),進(jìn)而引發(fā)連鎖反應(yīng),最終證明不等式??梢哉f(shuō),本題能堅(jiān)持對(duì)進(jìn)行分析的一個(gè)重要原因就是這個(gè)零點(diǎn)。例7:(2015,福建,20)已知函數(shù)(1)求證:當(dāng)時(shí),(2)求證:當(dāng)時(shí),存在,使得對(duì)任意的,恒有解:(1)思路:所證不等式為:,只需將含的項(xiàng)移植不等號(hào)一側(cè),構(gòu)造函數(shù)即可證明證明:所證不等式等價(jià)于:,設(shè)在單調(diào)遞減 時(shí),即得證(2)思路:本題的目標(biāo)是要找到與相關(guān)的,因?yàn)楹瘮?shù)形式較為簡(jiǎn)單,所以可以考慮移至不等號(hào)一側(cè):,設(shè),因?yàn)?,所以只需在單增即可??蓪?duì)進(jìn)行和分類討論。證明:設(shè) 則且令,即 當(dāng)時(shí),解得 恒成立在單調(diào)遞增 可取任意正數(shù) 當(dāng)時(shí),當(dāng),故可取任意正數(shù) 當(dāng)時(shí),解得,而在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,均有,只需取即可綜上所述:存在,使得對(duì)任意的,恒有例8:已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在處的切線與軸平行(1)求的值(2)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù)。證明:對(duì)解:(1)處的切線與軸平行 :(2)所證不等式等價(jià)于:設(shè) 令在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,即若要證,只需證設(shè) ,令解得:在單調(diào)遞增 ,即原不等式得證例9:已知函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)求的極值;(2)當(dāng)時(shí),對(duì)于,求證: 解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí),在上為增函數(shù),沒(méi)有極值; 當(dāng)時(shí),令在單調(diào)增,在單調(diào)遞減有極大值,無(wú)極小值(2)當(dāng)時(shí),令,即,則在上為增函數(shù) 在上為增函數(shù)時(shí), 時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增, ,由可知 即例10:設(shè)函數(shù).(1)證明:時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;(2)證明:.解:(1) 只需證即可令 在單調(diào)遞增即 函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)思路:對(duì)所證不等式,若直接將左側(cè)構(gòu)造函數(shù),則無(wú)法求出單調(diào)區(qū)間和最值。(導(dǎo)函數(shù)中含有無(wú)法進(jìn)一步運(yùn)算),所以考慮將左側(cè)的一部分挪至不等號(hào)另一側(cè),構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行比較。 (右邊,考慮能否恒大于4,,在處單調(diào)減,在單調(diào)遞增, 故為增函數(shù),但無(wú)法求的最小值。無(wú)法用證明??紤]其他思路。所證不等式也可變?yōu)?,在第一?wèn)中令可得,只需證明即可)解:所證不等式等價(jià)于設(shè) 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增即 由(1)問(wèn)可得: 原不等式得證小煉有話說(shuō):(1)前兩種嘗試是最容易想到的,但是嘗試后為什么放棄?第一種嘗試是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)中項(xiàng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,無(wú)法判斷單調(diào)區(qū)間。而第二種嘗試局限性較大,即必須左端最小大于右端最大才可,盡管新的函數(shù)單調(diào)性能夠分析,但是無(wú)法確定其最小值,所以放棄。在構(gòu)造函數(shù)證不等式時(shí),一要看構(gòu)造的函數(shù)能否進(jìn)行分析(即單調(diào)性,最值),二要看是否吻合預(yù)期的結(jié)果。否則便要考慮從其他角度入手。(2)對(duì)于第二種嘗試,求單調(diào)區(qū)間比較麻煩。有能力的同學(xué)可以嘗試特殊值法來(lái)
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