三角形五心的證明.doc

學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考三角形五心內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心，即三條角平分線的交點(diǎn)。外心：外切圓的圓心，即三條中垂線的交點(diǎn)。旁心：旁切圓的圓心，即三條角平分線的交點(diǎn)。（類(lèi)似、但不同于內(nèi)心）垂心：三條高的交點(diǎn)。重心：三條中線的交點(diǎn)。注：紅線為所要證明的線，綠線為輔助線。內(nèi)心：三條角平分線的交點(diǎn)證：過(guò)點(diǎn)O作三邊的垂線，垂足分別為D、E、F。由角平分線定理（角平分線上一點(diǎn)到兩邊的距離相等）得：OD=OF，OF=OE OD=OEAO為角BAC的平分線外心：三條中垂線的交點(diǎn)證：連結(jié)OA、OB、OC，并過(guò)O點(diǎn)作OFBC于點(diǎn)F。由線段中垂線定理（線段中垂線上一點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等），得：OA=OB，OA=OC.OB=OC點(diǎn)O在線段BC的中垂線上OF為線段BC的中垂線旁心：證：過(guò)點(diǎn)O作三邊的垂線，垂足分別為D、E、F。由角平分線定理（角平分線上一點(diǎn)到兩邊的距離相等）得：OD=OF，OD=OE OF=OEBO為角ABC的平分線垂心：三條高的交點(diǎn)證：連結(jié)DE，連結(jié)AO交BC于F點(diǎn)。角BDC=角BEC=90B、D、E、C四點(diǎn)共圓（以BC為直徑的圓）。角FBO=角CDE （同弦(弧)所對(duì)圓周角相等）又角ODA=角AEO=90O、D、A、E四點(diǎn)共圓（以AO為直徑的圓）。角AOE=角ADE （同弦(弧)所對(duì)圓周角相等）且 角AOE=角BOF角ADE=角BOF 由可知，角OFB=角ODA=90AF為BC邊上的高。重心：三條中線的交點(diǎn)方法一：證：連結(jié)AO交BC于點(diǎn)F。D為AB的中點(diǎn)SACD=SBCD （S表示三角形的面積） （底相等(AD=BD),高相同(都為點(diǎn)C到AB的距離)） SAOD=SBODSAOC=SBOC 同理可得： SBOC=SAOB 由得，SAOC=SAOB又AOC與AOB底都為AO它們高相等，即：點(diǎn)B和點(diǎn)C到AF的距離相等。對(duì)于AFB和AFC，底相同（為AF），高相等（分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C到AF的距離）。SAFB=SAFC又對(duì)于AFB和AFC，高相同（為點(diǎn)A到BC的距離）。它們底相等，即：BF=CFAF為三角形的中線。方法二：證：連AO交BC于點(diǎn)F，連DE交AF于點(diǎn)N，G，H分別為OB、OC的中點(diǎn)，連DG，EH。連GH交AF于點(diǎn)M。DE為ABC的中位線DE#1/2BC （#表示平行且等于）同理，可得：GH#1/2BCDE#GH 即：四邊形DEHG為平行四邊形。易證，ODNOHM，得HM=DNDG為ABO的中位線DGNM,即四邊形DGMN為平行四邊形DN=GMHM=GM,再由三角形中位線定理得，BF=CF。AF為三角形的中線。三角形有五顆心，重外垂內(nèi)和旁心， 五心性質(zhì)很重要，認(rèn)真掌握莫記混重 心三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧， 交點(diǎn)命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了，重心分割中線段，數(shù)段之比聽(tīng)分曉； 長(zhǎng)短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好外 心三角形有六元素，三個(gè)內(nèi)角有三邊 作三邊的中垂線，三線相交共一點(diǎn)此點(diǎn)定義為外心，用它可作外接圓 內(nèi)心外心莫記混，內(nèi)切外接是關(guān)鍵垂 心三角形上作三高，三高必于垂心交 高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對(duì)整，直角三角形有十二，構(gòu)成六對(duì)相似形，四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清.內(nèi) 心三角對(duì)應(yīng)三頂點(diǎn)，角角都有平分線， 三線相交