第1章1.2回歸分析.docx

學習目標1.會建立線性回歸模型分析兩個變量間的相關關系.2.能通過相關系數(shù)判斷兩個變量間的線性相關程度.3.了解非線性回歸分析.知識點一線性回歸方程思考某電腦公司有5名產品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表：推銷員編號12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬元23345請問如何表示推銷金額y與工作年限x之間的相關關系？y關于x的線性回歸方程是什么？答畫出散點圖，由圖可知，樣本點散布在一條直線附近，因此可用回歸方程直線表示變量之間的相關關系.設所求的線性回歸方程為x，則0.5，0.4.所以年推銷金額y關于工作年限x的線性回歸方程為0.5x0.4.1.函數(shù)關系是一種確定性關系， 而相關關系是一種非確定性關系.2.回歸分析是對具有線性相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.3.對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，回歸直線ybxa的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.知識點二相關系數(shù)1.相關系數(shù)的計算公式對于x，y隨機取到的n對數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2,3，n)，樣本相關系數(shù)r的計算公式為r.2.相關系數(shù)r的性質(1)|r|1；(2)|r|越接近于1，x，y的線性相關程度越強；(3)|r|越接近于0，x，y的線性相關程度越弱.知識點三非線性回歸分析1.常見的非線性回歸模型冪函數(shù)曲線yaxb，指數(shù)曲線yaebx.倒指數(shù)曲線y，對數(shù)曲線yabln x.2.非線性函數(shù)可以通過變換轉化成線性函數(shù)，得到線性回歸方程，再通過相應變換得到非線性回歸方程.類型一求線性回歸方程例1某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖(要求：點要描粗)；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程x；(3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力.(相關公式：，)解(1)如圖：(2)xiyi6283105126158，9，4，x6282102122344，0.7，40.792.3，故線性回歸方程為0.7x2.3.(3)由(2)中線性回歸方程知，當x9時，0.792.34，預測記憶力為9的同學的判斷力約為4.反思與感悟(1)求線性回歸方程的基本步驟：列出散點圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關關系；計算：，iyi；代入公式求出x中參數(shù)，的值；寫出線性回歸方程并對實際問題作出估計.(2)需特別注意的是，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸方程才有實際意義，否則求出的回歸方程毫無意義.跟蹤訓練1(1)三點(3,10)，(7,20)，(11,24)的線性回歸方程為_.1.75x5.75；1.75x5.75；1.75x5.75；1.75x5.75.答案解析回歸直線恒過(，)，7，18.則，四條回歸直線中只有過點(7,18).(2)某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9求y關于t的線性回歸方程；利用中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.解由所給數(shù)據(jù)計算得(1234567)4，(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，(ti)2941014928，(ti)(yi)(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614，0.5，4.30.542.3.所求回歸方程為0.5t2.3.由知，0.50，故2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.將2015年的年份代號t9代入中的回歸方程，得0.592.36.8，故預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入為6.8千元.類型二相關性檢驗例2下面的數(shù)據(jù)是從年齡在40到60歲的男子中隨機抽出的6個樣本，分別測定了心臟的功能水平y(tǒng)(滿分100)以及每天花在看電視上的平均時間x(小時).看電視的平均時間x(小時)4.44.62.75.80.24.6心臟的功能水平y(tǒng)(分)525369578965(1)求心臟的功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時間x之間的樣本相關系數(shù)r；(2)求心臟的功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時間x的線性回歸方程，并討論方程是否有意義；(3)估計平均每天看電視3小時的男子的心臟的功能水平.解n6，(4.44.64.6)3.716 7，(525365)64.166 7，6()2(4.424.624.62)63.716 7219.766 8，6()2(522532652)664.166 72964.807 7，iyi6 (4.4524.6534.665)63.716 764.166 7124.630 2.(1)心臟的功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時間x之間的相關系數(shù) (2)6.305 0，64.166 76.305 03.716 787.600 5，所以心臟的功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時間x的線性回歸方程為6.305 0x87.600 5.查表n24，r0.050.811，因為|r|0.902 50.811，所以有95%以上的把握認為y與x之間有線性關系，這個方程是有意義的.(3)將x3代入線性回歸方程6.305 0x87.600 5可得69(分).因此估計平均每天看電視3小時的男子的心臟的功能水平為69分.反思與感悟解決這一類問題時，首先應對問題進行必要的相關性檢驗，如果不作相關性檢驗，我們仍然可以求出x與y的線性回歸方程，但不知道這時的線性回歸方程是否有意義，也就不知道能否反映變量x與y之間的變化規(guī)律，只有在x與y之間具有相關關系時，求得的線性回歸方程才有意義.跟蹤訓練2觀察兩個變量x，y，得到的數(shù)據(jù)如下表：x246810y64138205285360(1)對變量y與x進行相關性檢驗；(2)如果y與x之間具有線性相關關系，求回歸直線方程.解(1)由相關系數(shù)的計算公式得r0.999 7，由r0.050.878得rr0.05，故y與x之間顯然具有線性相關關系.(2)設回歸直線方程x，根據(jù)公式得36.95x11.3.類型三非線性回歸分析例3下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點圖，并猜測x與y之間的關系；(2)建立x與y的關系，預報回歸模型；(3)利用所得模型，預報x40時y的值.解(1)作出散點圖如圖，從散點圖可以看出x與y不具有線性相關關系，根據(jù)已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線y的周圍，其中c1、c2為特定的參數(shù).(2)對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關系變?yōu)榫€性關系，令zln y，則有變換后的樣本點應分布在直線zbxa，aln c1，bc2的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線型回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉換為：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回歸直線方程為0.272x3.849，e0.272x3.849.(3)當x40時，ye0.272x3.8491 131.反思與感悟非線型回歸問題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型yebxa函數(shù)yebxa的圖象：處理方法：兩邊取對數(shù)得ln yln ebxa，即ln ybxa，令zln y，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對數(shù)函數(shù)型ybln xa函數(shù)ybln xa的圖象：處理方法：設xln x，原方程可化為ybxa，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)ybx2a型處理方法：設xx2，原方程可化為ybxa，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓練3某電容器充電后，電壓達到100 v，然后開始放電，由經驗知道，此后電壓u隨時間t變化的規(guī)律用公式uaebt(b0)表示，現(xiàn)測得時間t(s)時的電壓u(v)如下表：t/s012345678910u/(v)100755540302015101055試求：電壓u對時間t的回歸方程.(提示：對公式兩邊取自然對數(shù)，把問題轉化為線性回歸分析問題)解對uaebt兩邊取對數(shù)得ln uln abt，令yln u，aln a，xt，則yabx，y與x的數(shù)據(jù)如下表：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖所示，從圖中可以看出，y與x具有較好的線性相關關系，由表中數(shù)據(jù)求得5，3.045，由公式計算得0.313，4.61，所以y對x的線性回歸方程為0.313x4.61.所以ln 0.313t4.61，即e0.313t4.61e0.313te4.61，因此電壓u對時間t的回歸方程為e0.313te4.61.1.關于回歸分析，下列說法錯誤的是_.(填序號)在回歸分析中，變量間的關系若是非確定性關系，那么因變量不能由自變量唯一確定；散點圖反映變量間的線性相關關系，誤差較大；散點圖中，解釋變量在x軸，預報變量在y軸；散點圖能明確反映變量間的關系.答案2.如圖四個散點圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是_.答案解析由圖易知兩個圖中樣本點在一條直線附近，因此適合用線性回歸模型.3.下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關于x的回歸方程必過點_.x1234y1357答案(2.5,4)解析回歸方程必過樣本點的中心(，)，即(2.5,4).4.已知x、y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x0123y1357試：(1)分別計算：、x1y1x2y2x3y3x4y4、xxxx；(2)求出回歸方程.解(1)1.5，4，x1y1x2y2x3y3x4y40113253734，xxxx0212223214；(2)2，421.51，故2x1.1.對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析，可從散點圖觀察大致呈條狀分布，可以求線性回歸方程并進行預報.2.通過計算相關系數(shù)可以判定兩個變量的線性相關程度，進行相關性檢驗.一、填空題1.設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為0.85x85.71，則下列結論中不正確的是_.(填序號)y與x具有正的線性相關關系；回歸直線過點(，)；若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg；若該大學某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg.答案解析回歸方程中x的系數(shù)為0.850，因此y與x具有正的線性相關關系，正確；由回歸方程系數(shù)的意義可知回歸直線過點(，)，正確；依據(jù)回歸方程中的含義可知 ，x每變化1個單位，相應變化約0.85個單位，正確；用回歸方程對總體進行估計不能得到肯定的結論，故錯誤.2.若線性回歸方程的斜率的估計值是1.23，4，5，則線性回歸方程為_.答案1.23x0.08解析線性回歸方程x，1.23，即1.23x，線性回歸直線一定經過樣本點的中心(4,5)，代入可得51.234，所以0.08，故線性回歸方程為1.23x0.08.3.對于回歸分析，下列說法正確的是_.(填序號)在回歸分析中，若r0，則兩個變量線性不相關；線性相關系數(shù)可以是正的，也可以是負的；回歸分析中，如果r21，說明x與y之間完全相關；樣本相關系數(shù)r(1,1).答案解析樣本的相關系數(shù)應滿足1r1.4.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的線性回歸方程為x，則_0，_0.(填“，”)答案解析由散點圖知0，0.5.某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程x中的為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為_萬元.答案65.5解析回歸方程過點(3.5,42)，則429.43.59.1，所以回歸直線方程是9.4x9.1，把x6代入得65.5.6.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i1,2，n)都在直線yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為_.答案1解析根據(jù)樣本相關系數(shù)的定義可知，當所有樣本點都在直線上時，相關系數(shù)為1.7.在研究兩個變量的相關關系時，觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條指數(shù)曲線yebxa的周圍，令zln y，求得線性回歸方程為0.25x2.58，則該模型的回歸方程為_.答案e0.25x2.58解析0.25x2.58，zln y，e0.25x2.58.8.四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸方程，分別得到以下四個結論：y與x負相關且2.347x6.423；y與x負相關且3.476x5.648；y與x正相關且5.437x8.493；y與x正相關且4.326x4.578.其中一定不正確的結論的序號是_.答案解析中，回歸方程中x的系數(shù)為正，不是負相關；中，回歸方程中的x的系數(shù)為負，不是正相關，一定不正確.9.若線性回歸方程中的回歸系數(shù)0，則相關系數(shù)r_.答案0解析，r，若0，則r0.10.面對競爭日益激烈的消費市場，眾多商家不斷擴大自己的銷售市場，以降低生產成本.某白酒釀造企業(yè)市場部對該企業(yè)9月份的產品銷量(單位：千箱)與單位成本(單位：元)的資料進行線性回歸分析，結果如下：，71，79，iyi1 481.則銷量每增加1 000箱，單位成本下降_元.答案1.818 2解析由題意知，1.818 2，71(1.818 2)77.36，1.818 2x77.36，銷量每增加1千箱，則單位成本下降1.818 2元.二、解答題11.某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到數(shù)據(jù)如下：零件的個數(shù)x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5(1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求出y關于x的線性回歸方程x，并在坐標系中畫出回歸直線；(3)試預測加工10個零件需要多少時間？(注：，)解(1)散點圖如圖所示：(2)由表中數(shù)據(jù)得iyi52.5，3.5，3.5，x54，0.7.1.05.0.7x1.05.回歸直線如圖中所示.(3)將x10代入回歸直線方程，得0.7101.058.05(小時)，預測加工10個零件需要8.05小時.12.一機器可以按各種不同的速度運轉，其生產物件有一些會有缺點，每