北京大學數(shù)學物理方法(下)課件_14 分離變量法.pdf

14分離變量法 本章介紹求解偏微分方程定解問題 數(shù)學物理方程 的最基本方法 分離變量法 Example 14 1求波動方程 2u t2 a2 2u x2 0 的通解 a 為常數(shù) Solution方程可改寫為 t a x t a x u 0 令 x at x at 則 x t a a 可得 u 0 其通解為 u f g f x at g x at 1 其中 f 和 g 是任意函數(shù) 波動方程的通解 由兩個波組成 1 f x at 代表沿 x 軸向右傳播的波 當 t 0 時 波形為 f x 而后以恒定速率 a 向右傳播 而保持波 形不變 2 g x at 則代表沿 x 軸向左傳播的波 當 t 0 時 波形為 g x 而后也以同樣的恒定速率 a 向左傳 播 保持波形不變 單獨的 f x at 和 g x at 也是波動方程的解 它們獨立傳播 互不干擾 這是因為波動方程是線性齊次 方程 具有解的疊加性 對于定解問題 函數(shù) f 和 g 則應該由定解條件確定 Examples 14 1 波動方程的行波解 求解一維無界弦上的定解問題1 2u t2 a2 2u x2 0 x 0 2a u x t t 0 x x 2b u t t 0 x x 2c 1這個定解問題中明顯缺少了邊界條件 嚴格說來 這里的確應該明確寫出無窮遠條件 u x t x 0 1 Solution方程 2a 的通解已由上例給出 現(xiàn)在的問題便是如何根據(jù)初始條件 2b 和 2c 確定函數(shù) f 和 g 為 此 將通解代入初始條件 得 f x g x x 3a a f0 x g0 x x 3b 將 3b 積分 可以得到 f x g x 1 a Z x 0 d C 其中 C 是積分常數(shù) 將這個結(jié)果和 3a 聯(lián)立 即可求得 f x 1 2 x 1 2a Z x 0 d C 2 g x 1 2 x 1 2a Z x 0 d C 2 即得 u x t f x at g x at 1 2 x at x at 1 2a Z x at x at d 4 這樣 就求得了一維無界區(qū)間上波動方程定解問題 2 的解 它稱為一維波動方程定解問題的行波解 或 d Alembert 解 這個解具有清楚的物理意義 第一項表示由初位移激發(fā)的行波 t 0 時波形為 x 以后分成相等的兩部分 獨立地向左右傳播 速率 為 a 第二項表示由初速度激發(fā)的行波 t 0 時在 x 處的速度為 x 在 t 時刻 它將左右對稱地擴展 到 x at x at 的范圍 所以 傳播的速率也是 a 如果是有界弦上的波動問題 毫無疑問 就必須明確地寫出邊界條件 才能構(gòu)成一個適定的定解問題 這一 章將討論這種定解問題的求解方法 盡管這時波動方程的通解仍然可以寫成 1 的形式 但由于邊界條件的出 現(xiàn) 就使得我們不能簡單地模仿上面的求解過程而定出函數(shù) f 和 g 14 1兩端固定弦的自由振動 Example 14 2方程 0 x 0時 2u t2 a2 2u x2 0 5 邊界條件 t 0時 u x 0 0u x l 0 6 初始條件 0 x l時 u t 0 x u t t 0 x 7 Solution1 分離變量 2 求解本征值問題 3 求特解 并疊加出一般解 4 利用本征函數(shù)的正交性定疊加系數(shù) 2 分離變量 設特解 非零解 不恒為零 具有分離變量的形式 u x t X x T t 代入方程 X x T00 t a2X00 x T t 兩端除以 a2X t T t 1 a2 T00 t T t X00 x X x 是一個即與 x 無關 又與 t 無關的常數(shù) 于是 T00 t a2T t 0 X00 x X x 0 再將分離變量解代入邊界條件 X 0 T t 0X l T t 0 因為 T t 不能恒為零 否則 u x t 恒為零 所以 X 0 0X l 0 這樣就得到了 X x 滿足的常微分方程和邊界條件 以及 T t 滿足的常微分方程 求解本征值問題 常微分方程 邊界條件 X00 x X x 0 X 0 0X l 0 構(gòu)成本征值問題 求解本征值問題就是要求它的非零解 的值可以是復數(shù)2 若 0 常微分方程的通解為 X x Ax B 代入邊界條件 X 0 B 0 X l Al B 0 A 0 所以 這時 X x 0 不是非零解 若 6 0 則通解可寫為 X x Asin x B cos x 6 0 代入邊界條件 X 0 B 0 X l Asin l 0 A 6 0 否則又有 X x 0 故必有 l n n 0 2以后將證明 這個本征值問題為 Sturm Liouville 型本征值問題 只能是實數(shù) 3 n l 2 記為 n n l 2 取 A 13 非零解為 Xn x sin n l x 我們看到本征值問題不同于常微分方程的初值問題 如果是常微分方程的初值問題 方程的解是唯一的 如果 X x 0 是解 就是方程 初值條件的唯一的解 但本征值問題 當 取某些特定值時 除零解外 還有 非零解存在 即解不是唯一的 的這些特定值 n稱為本征值 相應的非零解 Xn x 稱為本征函數(shù) 求特解 并疊加出一般解 對于每一個本征值 n 可由方程 T00 t na2T t 0 求出 Tn t Cnsin n l at Dncos n l at 因此得 un x t Cnsin n l at Dncos n l at sin n l x n 1 2 3 它們都滿足偏微分方程 邊界條件 我們稱之為特解 由于方程和邊界條件都是齊次的 特解的線性疊加仍然滿足方程 邊界條件 把所有的特解疊加起來 u x t X n 1 Cnsin n l at Dncos n l at sin n l x 這種形式的解稱為一般解 利用本征函數(shù)的正交性定疊加系數(shù) 一般解滿足方程和邊界條件 適當選擇疊加系數(shù) Cn和 Dn 使之滿足初始條件 u x 0 X n 1 Dnsin n l x x 8 u t x 0 X n 1 Cn n l a sin n l x x 9 首先求本征函數(shù)之間的正交關系 設 Xn是本征值為 n的本征函數(shù) X00 n x nXn x 0 10 Xn 0 0Xn l 0 11 Xm是本征值為 m的本征函數(shù) X00 m x mXm x 0 12 Xm 0 0Xm l 0 13 Xm x 10 Xn x 12 XmX00 n XnX 00 m n m XnXm 0 3其它解都是線性相關的 可用 A 1 的解表示 4 n m XnXm XnX0 m XmX 0 n 0 積分 并利用邊界條件 11 13 n m Z l 0 Xn x Xm x dx Xn x X0 m x Xm x X 0 n x l 0 0 當 n 6 m 時 n6 m 所以 Z l 0 Xn x Xm x dx 0n 6 m 進一步 當 n m 時 可計算本征函數(shù)的模方 kXnk2 Z l 0 X2 n x dx l 2 8 兩端乘以 sin m l x 并逐項積分 Z l 0 x sin m l xdx Z l 0 X n 1 Dnsin n l xsin m l xdx DmkXmk Dm l 2 所以 Dn 2 l Z l 0 x sin n l xdx 同樣由 9 可以得到 Cn 2 n a Z l 0 x sin n l xdx 給定 x 和 x 就可以積分定出疊加系數(shù) Cn和 Dn 代入一般解 就得到了整個問題的解 分離變量法的基本步驟 1 分離變量 必要條件 偏微分方程和邊界條件都是齊次的 結(jié)果 得到每一個一元函數(shù)滿足的常微分方程 其中包括齊次常微分方程 齊次邊界條件的本征值問題 2 求解本征值問題 即求非零解 3 求特解 并疊加出一般解 還是因為偏微分方程和邊界條件都是齊次的 另外 本征函數(shù)的全體是完備的 任何滿足同樣邊界條件的 足夠 好 一般要求連續(xù) 分段光滑 的函 數(shù)都可以展開為 f x X n 1 CnXn x 這樣 定解問題的解一定可以按照本征函數(shù)展開 4 定疊加系數(shù) 利用本征函數(shù)的正交性 5 14 2分離變量法的物理詮釋 現(xiàn)在討論分離變量法解的物理意義 特解 un x t Cnsin n l at Dncos n l at sin n l x 代表一個駐波 行波的波形是以波速沿著波的傳播方向行進的 而駐波的波形永不前進 而是在原地變化 n n l a 是駐波的角頻率 稱為兩端固定弦的固有頻率或本征頻率 與初始條件無關 kn n l 稱為波數(shù) 是單位長度上波的周期數(shù) 在 knx m 即 x m kn m n l m 0 1 2 3 n 的各點上 振動的振幅恒為0 稱為波節(jié) 包 括弦的兩個端點在內(nèi) 波節(jié)點共有 n 1 個 整個問題的解則是這些駐波的疊加 正是因為這個原因 這種解法也稱為駐波法 駐波解和行波解的關系 可以把分離變量法得到的駐波解表示為行波解的形式 為此 先將初始條件 x 和 x 作奇延拓 在區(qū) 間 l x l 定義奇函數(shù) x x l x 0 x 0 x l x x l x 0 x 0 x l 然后 再延拓為周期為 2l 的周期函數(shù) 因此 x 和 x 可以展開為 Fourier 級數(shù) x X n 1 nsin n l x x X n 1 nsin n l x 其中 n 1 l Z l l x sin n l xdx 2 l Z l 0 x sin n l xdx n 1 l Z l l x sin n l xdx 2 l Z l 0 x sin n l xdx 與分離變量法的解比較 n Dn n n a l Cn u x t X n 1 nl n a sin n l at ncos n l at sin n l x 6 u 1 2 X n 1 n h sin n l x at sin n l x at i 1 2 X n 1 nl n a h cos n l x at cos n l x at i 1 2 x at x at 1 2a Z x at x at x dx 正是行波解的形式 只是這里的 x 和 x 是由初始條件 x 和 x 延拓而得 14 3矩形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定問題 分離變量法具有普遍意義 也適用于熱傳導方程和穩(wěn)定問題 下面舉例再用分離變量法求解矩形區(qū)域 中 Laplace 方程的邊值問題 Example 14 3均勻薄板占據(jù)的面積為一矩形區(qū)域 0 x a 0 y b 邊界上的溫度為u x 0 0 u y 0 f x 另兩邊絕熱 u x x a 0 u y y b 0 圖略 求解板的穩(wěn)定溫度分布 SolutionLaplace方程 2u x2 2u y2 0 邊界條件 u x 0 0 u x x a 0 u y 0 f x u y y b 0 為方程 邊界條件的穩(wěn)定問題 邊值問題 由于方程和 x 方向的邊界條件為齊次 仍可用分離變量法求解 令 u x y X x Y y 代入方程 分離變量 X00 x Y y X x Y 00 y X00 x X x Y 00 y Y y X00 x X x 0 Y 00 y Y y 0 代入關于 x 的一對齊次邊界條件 X 0 Y y 0X0 a Y y 0 得 X 0 0X0 a 0 得到關于 x 的一個本征值問題 X00 x X x 0 X 0 0X0 a 0 7 0 時 方程通解 A x Ax B 代入邊界條件 X 0 B 0X0 a A 0 所以無非零解 0 不是本征值 6 0 時 方程通解可寫為 X x Asin x B cos x 代入邊界條件 X 0 B 0 X0 a A cos a 0 非零解 A 6 0 又 6 0 所以 cos a 0 a n 1 2 本征值 n 2n 1 2a 2 n 0 1 2 3 本征函數(shù) Xn x sin 2n 1 2a x 代入 Y 方程 求解并用雙曲正弦和雙曲余弦表示 Yn y Cnsinh 2n 1 2a y Dncosh 2n 1 2a y 于是得到既滿足 Laplace 方程 又滿足齊次邊界條件的特解 un x y Cnsinh 2n 1 2a y Dncosh 2n 1 2a y sin 2n 1 2a x 疊加得一般解 u x y X n 0 Cnsinh 2n 1 2a y Dncosh 2n 1 2a y sin 2n 1 2a x 代入關于 Y 的一對邊界條件 得疊加系數(shù)必須滿足 u y 0 X n 0 Dnsin 2n 1 2a x f x u y y b X n 0 2n 1 2a Cncosh 2n 1 2a b Dnsinh 2n 1 2a b sin 2n 1 2a x 0 8 仍然先求本征函數(shù)的正交關系 m n Z a 0 XnXmdx XmX0 n XnX 0 m a 0 由 X 滿足的邊界條件 仍然 XmX0 n XnX 0 m a 0 0 所以 Z a 0 XnXmdx 0m 6 n m n 時 求出模方 kXnk2 Z a 0 X2 ndx a 2 就可以求得 Dn sin 2n 1 2a x 2 Z a 0 f x sin 2n 1 2a xdx Dn 2 a Z a 0 f x sin 2n 1 2a xdx 2n 1 2a Cncosh 2n 1 2a b Dnsinh 2n 1 2a b sin 2n 1 2a x 2 0 Cn Dntanh 2n 1 2a b 在穩(wěn)定問題中 沒有初始條件 都是邊界條件 用分離變量法求解時 采用一對 關于 x 的 齊次的邊界條 件構(gòu)成本征值問題 而用另一對 關于 y 的 邊界條件定疊加系數(shù) 問題中方程是齊次的 有一對齊次邊界條 件 這仍是分離變量的關鍵 14 4多于兩個自變量的定解問題 Example 14 4考慮矩形介質(zhì)的熱傳導問題 假設介質(zhì)四周絕熱 初始溫度為 x y Solution現(xiàn)在的定解問題是 方程為熱傳導方程 設 0 x a 0 y b u t 2u x2 2u y2 0 邊界條件 u x x 0 0 u x x a 0 u y y 0 0 u y y b 0 初始條件 u t 0 x y 9 分離變量 設 u x y t X x Y y T t 代入方程 X x Y y T0 t X00 x Y y T t X x Y 00 y T t 0 除以 XY T 1 T0 t T t X00 x X x Y 00 y Y y X00 x X x Y 00 y Y y 得到三個常微分方程 令 T0 t T t 0 X00 x X x 0 Y 00 y Y y 0 代入齊次的邊界條件 T t X0 0 Y y 0T t X0 a Y y 0 T t X x Y 0 0 0 T t X x Y 0 b 0 所以 X0 0 0X0 a 0 Y 0 0 0 Y 0 b 0 關于 X x 的齊次方程和齊次邊界條件及關于 Y y 的齊次方程和齊次邊界條件 分別構(gòu)成了關于 X 及 Y 的兩個本征值問題 我們需要求解兩個本征值問題 先看 X X00 X 0 X0 0 0X0 a 0 0 時 X Ax B X0 0 A 0X0 a A 0 B 任意 所以 0 0 為本征值 取 X0 1 為本征函數(shù) 6 0 時 X Asin x B cos x 代入邊界條件 X0 0 A 0 A 0 X0 a B sin a 0 sin a 0 a n 所以 n n a 2 n 1 2 3 取 B 1 Xn cos n a x 10 把 0 和 6 0 結(jié)果合并 可以統(tǒng)一寫成 本征值 n n a 2 n 0 1 2 3 本征函數(shù) Xn x cos n a x 同樣對 Y Y 00 Y 0 Y 0 0 0 Y 0 b 0 本征值 m m b 2 m 0 1 2 3 本征函數(shù) Ym y cos m b y 對于給定的 n 和 m nm n m n a 2 m b 2 代入 T 方程 T0 nm nm Tnm 0 Tnm Anme nm t 因此 就求得整個定解問題的特解 unm x y t Xn x Ym y Tnm t Anmcos n a xcos m b y e nm t 一般解 u x y t X n 0 X m 0 Anmcos n a xcos m b y e nm t X n 0 X m 0 Anmcos n a xcos m b y exp n a 2 m b 2 t 代入初始條件 定系數(shù) Anm 有 u x y 0 X n 0 X m 0 Anmcos n a xcos m b y x y 由本征函數(shù)正交性 不推 Z a 0 Xn x Xn0 x dx a 2 1 n0 nn0 Z a 0 Ym y Ym0 y dy b 2 1 m0 mm 0 注意 n0 m0代表 n m 0 與 n m 6 0 的本征函數(shù)的模方不相等 11 先乘以 Xn0 x 對 x 積分 X m 0 a 2 1 n0 Anmcos m b y Z a 0 x y cos n a xdx 再乘以 Ym0 y 對 y 積分 ab 4 1 n0 1 m0 Anm Z a 0 Z b 0 x y cos n a xcos m b ydxdy 于是 Anm 4 ab 1 1 n0 1 m0 Z a 0 Z b 0 x y cos n a xcos m b ydxdy 14 5兩端固定弦的強迫振動 非齊次方程或非齊次邊界條件 在前面 我們特別強調(diào)了齊次偏微分方程和齊次邊界條件在分離變量法中的關鍵作用 如果定解問題中的 方程或邊界條件不是齊次的 也可應用分離變量法 這一節(jié)先討論方程是非齊次的情形 我們研究由外力引起的兩端固定弦的強迫振動 Example 14 5假設弦的初位移和初速度分別為 x 和 x 定解問題為 2u t2 a2 2u x2 f x t u x 0 0u x l 0 u t 0 x u t t 0 x 方程齊次化方法首先想到 按照求解非齊次方程的一慣做法 不妨先求得非齊次方程的一個特解 v x t 2v t2 a2 2v x2 f x t 這樣 如果設 u x t v x t w x t 則 w x t 是相應齊次方程的解 2w t2 a2 2w x2 0 但要注意 為能應用分離變量法 w x t 還需滿足齊次邊界條件 w x t x 0 0w x t x l 0 所以 我們所要尋找的特解 v x t 應該同時滿足齊次邊界條件 v x t x 0 0v x t x l 0 12 一旦求得這樣的特解 則 w x t 滿足齊次方程和齊次邊界條件 其初始條件則為 w t 0 x v t 0 w t t 0 x v t t 0 重復第一節(jié)的步驟 可以求出 u x t v x t X n 1 Cnsin n l at Dncos n l at sin n l x 這種解法可以稱為方程齊次化方法 注意 在將非齊次方程齊次化的同時 必須保持原有齊次邊界條件不 變 先舉一個簡單的例子 方程的非齊次項只是 x 的函數(shù) Example 14 6求解定解問題 2u t2 a2 2u x2 f x 0 x 0 u x 0 0u x l 0t 0 u t 0 0 u t t 0 00 x l Solution因為方程的非齊次項只是 x 的函數(shù) 所以先假設特解也只是 x 的函數(shù) 于是 u x t v x w x t 其中 v x 由常微分方程的邊值問題求出 v00 x 1 a2 f x v 0 0v l 0 而 w x t 則滿足定解問題 2w t2 a2 2w x2 00 x 0 w x 0 0w x l 0t 0 w t 0 v x w t t 0 00 x l 都不難求解 再舉一個比較復雜的例子 Example 14 7求解定解問題 2u t2 a2 2u x2 A0sin t0 x 0 u x 0 0u x l 0t 0 u t 0 0 u t t 0 00 x l 其中 a A0及 均為已知常數(shù) 13 Solution設 u x t v x t w x t 其中的齊次化函數(shù) v x t 取為 v x t f x sin t v x t 滿足非齊次方程 得 2f x a2f00 x A0 v x t 滿足齊次邊界條件 即 f 0 0f l 0 非齊次常微分方程的通解是 f x A0 2 Asin a x B cos a x 利用齊次邊界條件 定出 B A0 2 A A0 2 tan l 2a 這樣 就求出了 f x 及 v x t f x A0 2 1 cos a x tan l 2a sin a x A0 2 1 cos x l 2 a cos l 2a 而 w x t 所滿足的定解問題為 2w t2 a2 2w x2 00 x 0 w x 0 0w x l 0t 0 w t 0 0 w t t 0 f x 0 x l 此定解問題的一般解為 w x t X n 1 h Cnsin n l at Dncos n l at i sin n l x 利用上面的初始條件就可以定出 Dn 0 Cn 2 n a Z l 0 f x sin n l xdx 2A0 l3 2a 1 1 n n2 1 n a 2 l 2 所以 只有 n 為奇數(shù)時 Cn才不等于 0 最后求出 w x t 4A0 l3 2a X n 0 1 2n 1 2 1 2n 1 a 2 l 2 sin 2n 1 l xsin 2n 1 l at 14 和 u x t A0 2 1 cos x l 2 a cos l 2a sin t 4A0 l3 2a X n 0 1 2n 1 2 1 2n 1 a 2 l 2 sin 2n 1 l xsin 2n 1 l at 共振現(xiàn)象 在上面的解題過程中 忽略了一個重要的特殊情形 當驅(qū)動力的角頻率 正好是弦的某個固有頻率時 例 如 2k 1 2k 1 a l 時 弦在驅(qū)動力的作用下會發(fā)生共振現(xiàn)象 容易看出 在求解過程中 上述常微分方程邊值問題的解失去意義 所以嚴格從數(shù)學上說 應該找新的特 解 事實上 共振時的解可以由非共振時的解取 2k 1的極限得到 簡單的作法是將 f x 也按本征函數(shù)組 sin n l x 展開 得 f x X n 1 n a l Cnsin n l x 于是 u x t 4A0l 2 2a X n 0 1 2n 1 2 1 2n 1 a 2 l 2 sin 2n 1 l x 2n 1 asin t l sin 2n 1 l at 很清楚 當 2k 1時 此和式中的 n k 項為不定式 應單獨提出 而用 L Hopital 法則求出極限值 lim 2k 1 1 2k 1l 2 l 2 2k 1l sin t l sin 2k 1t 1 2 2k 1l 2k 1tcos 2k 1t sin 2k 1t 15 最后 u x t 4A0l 2 2a X n 0 0 1 2n 1 2 1 2n 1 a 2 l 2 sin 2n 1 l x 2n 1 asin t l sin 2n 1 l at 2A0l 2a 1 2k 1 2 sin 2k 1 l x tcos 2k 1 l at l 2k 1 a sin 2k 1 l at 其中 P 0 表示求和不含 n k 項 本征函數(shù)展開方法理論上 方程齊次化法總是可以應用的 實際上 u x t 自己就滿足非齊次方程和齊次的 邊界條件 但如果方程非齊次項 f x t 的形式過于復雜 難以猜得非齊次方程的特解的形式 則總可以采用 下面的本征函數(shù)展開方法 注意到 u x t 滿足與相應齊次問題相同的齊次邊界條件 由本征函數(shù)的完備性 可以將 u x t 按相應齊 次問題的本征函數(shù)展開 u x t X n 1 un t Xn x 問題歸結(jié)于求系數(shù)函數(shù) un t 此即本征函數(shù)展開方法 為此 將非齊次項也按相應齊次問題的本征函數(shù)展開 f x t X n 1 fn t Xn x fn t 由本征函數(shù)正交性由 f x t 求出 代入方程 并逐項求導 X n 1 u00 n t Xn x a 2 X n 1 un t X00 n X n 1 fn t Xn x 利用 Xn x 所滿足的線性齊次常微分方程 X00 n x nXn x 0 得 X n 1 u00 n t Xn x a 2 X n 1 nun t Xn x X n 1 fn t Xn x 再根據(jù)本征函數(shù)的正交性 u00 n t na 2un t fn t 對于邊界條件 因為 Xn x 滿足齊次邊界條件 所以它們的線性疊加 u x t 已經(jīng)滿足齊次的邊界條件 將 u x t 的展開式代入初始條件 X n 1 un 0 Xn x x X n 1 u0n 0 Xn x x 16 將 x 和 x 也用本征函數(shù)展開 x X n 1 nXn x x X n 1 nXn x 展開系數(shù)仍可用本征函數(shù)正交性求出 則 un 0 nu0n 0 n 由非齊次常微分方程 初始條件 可求出 un Example 14 8例14 7 另解 先求相應齊次問題的本征值問題 考慮齊次偏微分方程 2u t2 a2 2u x2 0 和齊次邊界條件 u x 0 0u x l 0 分離變量得到本征值問題 u x t X x T t X00 x X x 0 X 0 0X l 0 n n l 2 n 1 2 3 Xn sin n l x 正交關系及模方 Z l 0 Xn x Xm x dx l 2 mn 設 u x t X n 1 un t sin n l x 將非齊次項也按本征函數(shù)展開 A0sin t X n 1 fn t sin n l x fn t 2 l Z l 0 A0sin tsin n l xdx 2A0 1 1 n n sin t 17 代入方程 X n 1 u00 n t sin n l x a2 X n 1 un t n l 2 sin n l x X n 1 fn t sin n l x u00 n t n l a 2 un t 2A0 1 1 n n sin t 由初始條件 X n 1 un 0 sin n l x 0 X n 1 u0n 0 sin n l x 0 得 un 0 0u0n 0 0 解之 特解 nsin t n 2A0l2 1 1 n n 1 n a 2 l 2 通解 un t nsin t Ansin n l at Bncos n l at 由初始條件 定出 A B An 2A0 l 3 2a 1 1 n n2 1 n a 2 l 2 Bn 0 最后 u x t 4A0l2 X n 0 1 2n 1 1 2n 1 a 2 l 2 sin t l 2n 1 a sin 2n 1 l at sin 2n 1 l x 14 6非齊次邊界條件的齊次化 這時為了應用分離變量法 別無選擇 只有先將非齊次的邊界條件齊次化 仍以波動方程的定解問題為例 18 Example 14 9 2u t2 a2 2u x2 f x t 0 x 0 u x 0 t u x l t t 0 u t 0 x u t t 0 x 0 x l Solution先將非齊次邊界條件齊次化 u x t v x t w x t 適當選擇 v x t 使之滿足 v x t x 0 t v x t x l t 則 w x t 滿足方程 2w t2 a2 2w x2 f x t 2v t2 a2 2v x2 滿足齊次邊界條件 w x t x 0 0v x t x l 0 初始條件為 w t 0 x v t 0 w t t 0 x v t t 0 采用上節(jié)的方法 就可