蘇教版選修23 1.4　計數(shù)應(yīng)用題 學(xué)案.doc

例13個女生和5個男生排成一排(1)如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？(5)如果甲必須排在乙的右面(可以不相鄰)，有多少種不同的排法？思路點撥本題涉及限制條件，要優(yōu)先考慮有條件限制的元素或位置，相鄰問題可采用捆綁法，不相鄰問題可采用插空法精解詳析(1)(捆綁法)因為3個女生必須排在一起，所以可先把她們看成一個整體，這樣同5個男生合在一起共有6個元素，排成一排有a種不同排法對于其中的每一種排法，3個女生之間又有a種不同的排法，因此共有aa4 320種不同的排法(2)(插空法)要保證女生全分開，可先把5個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空，這樣共有4個空，加上兩邊兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有6個位置，再把3個女生插入這6個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰由于5個男生排成一排有a種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述6個位置中選出3個來讓3個女生插入有a種方法，因此共有aa14 400種不同的排法(3)法一：(特殊位置優(yōu)先法)因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的2個，有a種不同排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有a種排法，所以共有aa14 400種不同的排法法二：(間接法)3個女生和5個男生排成一排共有a種不同的排法，從中扣除女生排在首位的aa種排法和女生排在末位的aa種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位時被扣去一次，在扣除女生排在末位時又被扣去一次，所以還需加一次，由于兩端都是女生有aa種不同的排法，所以共有a2aaaa14 400種不同的排法法三：(特殊元素優(yōu)先法)從中間6個位置中挑選出3個讓3個女生排入，有a種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余5個位置又都有a種不同的排法，所以共有aa14 400種不同的排法(4)法一：因為只要求兩端不能都排女生，所以如果首位排了男生，則末位就不再受條件限制了，這樣可有aa種不同的排法；如果首位排女生，有a種排法，這時末位就只能排男生，這樣可有aaa種不同的排法因此共有aaaaa36 000種不同的排法法二：3個女生和5個男生排成一排有a種排法，從中扣去兩端都是女生的排法有aa種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)因此共有aaa36 000種不同的排法(5)(順序固定問題)因為8人排隊，其中兩人順序固定，共有20 160種不同的排法一點通(1)排列問題的限制條件一般表現(xiàn)為：某些元素不能在某個位置，某個位置只能放某些元素等要先處理特殊元素或先處理特殊位置，再去排其他元素當(dāng)用直接法比較麻煩時，可以用間接法，先不考慮限制條件，把所有的排列數(shù)算出，再從中減去全部不符合條件的排列數(shù)，這種方法也稱為“去雜法”，但必須注意要不重復(fù)，不遺漏(去盡)(2)對于某些特殊問題，可采取相對固定的特殊方法，如相鄰問題，可用“捆綁法”，即將相鄰元素看成一個整體與其他元素排列，再進(jìn)行內(nèi)部排列；不相鄰問題，則用“插空法”，即先排其他元素，再將不相鄰元素排入形成的空位中1(四川高考改編)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有_種解析：當(dāng)最左端排甲時，不同的排法共有a種；當(dāng)最左端排乙時，甲只能排在中間四個位置之一，則不同的排法共有ca種故不同的排法共有aca924216種答案：2162用5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中有且僅有一個奇數(shù)夾在兩個偶數(shù)之間的五位數(shù)的個數(shù)為_種解析：符合題意的五位數(shù)有aca233236.答案：363某天某班的課程表要排入數(shù)學(xué)、語文、英語、物理、化學(xué)、體育六門課程，如果第一節(jié)不排體育，第六節(jié)不排數(shù)學(xué)，一共有多少種不同的排法？解：法一：(位置分析法)依第一節(jié)課和第六節(jié)課的情況進(jìn)行分類；第一節(jié)課排數(shù)學(xué)，第六節(jié)課排體育，共有a種排法；第一節(jié)課排數(shù)學(xué)，第六節(jié)課不排體育，共有aa種排法；第一節(jié)課不排數(shù)學(xué)，第六節(jié)課排體育，共有aa種排法；第一節(jié)課不排數(shù)學(xué)，第六節(jié)課不排體育，共有aa種排法由分類加法計數(shù)原理，所求的不同排法共有a2aaaa504(種)法二：(排除法)不考慮受限條件下的排法有a種，其中包括數(shù)學(xué)課在第六節(jié)的排法有a種，體育課在第一節(jié)的排法有a種，但上面兩種排法中同時含有數(shù)學(xué)課在第六節(jié)，體育課在第一節(jié)的情形有a種故所求的不同排法有a2aa504(種).例2某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷，現(xiàn)要選派劃左舷的3人，劃右舷的3人，共6人參加比賽，則不同的選派方法有多少種？思路點撥既會劃左舷又會劃右舷是特殊元素，可以從他們的參與情況入手分類討論精解詳析選派的3名會劃左舷的選手中，沒有既會劃左舷又會劃右舷的選手時，選派方法有cc種選派方法；選派的3名會劃左舷的選手中，有一人是既會劃左舷又會劃右舷的選手時，選派方法有ccc種選派方法；選派的3名會劃左舷的選手中，有兩人是既會劃左舷又會劃右舷的選手時，選派方法有cc種選派方法故共有ccccccc20601292種選派方法一點通(1)解決簡單的分配問題的一般思路是先選取，后分配(2)如果涉及的元素有限制條件，則一般以特殊元素，特殊位置為分類標(biāo)準(zhǔn)4將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有_種(用數(shù)字作答)解析：分兩步完成：第一步，將4名大學(xué)生按2，1，1分成三組，其分法有種；第二步，將分好的三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有a種，所以滿足條件的分配方案有a36種答案：365將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有_種解析：先安排1名教師和2名學(xué)生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安排到乙地，共有cc12種安排方案答案：126有9本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本解：(1)分3步完成：第1步，從9本不同的書中，任取4本分給甲，有c種方法；第2步，從余下的5本書中，任取3本給乙，有c種方法；第3步，把剩下的書給丙有c種方法所以，共有不同的分法為ccc1 260種(2)分2步完成：第1步，按4本、3本、2本分成三組有ccc種方法；第2步，將分成的三組書分給甲、乙、丙三個人，有a種方法所以，共有ccca7 560種.例3從1到9的9個數(shù)中取3個偶數(shù)和4個奇數(shù)，試問：(1)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中3個偶數(shù)排在一起的有幾個？(3)在(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個？(4)在(1)中任意兩個偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個？思路點撥排數(shù)問題和站隊問題是排列、組合中的兩類典型問題，其解決的思路相似，需考慮特殊元素、特殊位置、相鄰問題、不相鄰問題等的處理方法精解詳析(1)分步完成：第一步，在4個偶數(shù)中取3個，可有c種情況；第二步，在5個奇數(shù)中取4個，可有c種情況；第三步，3個偶數(shù)，4個奇數(shù)進(jìn)行排列，可有a種情況，所以符合題意的七位數(shù)有cca100 800(個)(2)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起的有ccaa14 400(個)(3)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起，4個奇數(shù)也排在一起的有ccaaa5 760(個)(4)上述七位數(shù)中，偶數(shù)都不相鄰，可先把4個奇數(shù)排好，再將3個偶數(shù)分別插入5個空，共有ccaa28 800(個)一點通解決排列、組合綜合問題要遵循兩個原則：(1)按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步；(2)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類解決時通常從三個途徑考慮：以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列或組合數(shù)7將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有_種解析：標(biāo)號1，2的卡片放入同一封信有c種方法；其他四封信放入兩個信封，每個信封兩個有a種方法，共有ca18種答案：188某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲乙兩人至少有一人參加當(dāng)甲乙同時參加時，他們兩人的發(fā)言不能相鄰那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為_解析：若甲乙同時參加，則可以先從剩余的5人中選出2人，先排此兩人，再將甲乙兩人插入其中即可，則共有caa種不同的發(fā)言順序；若甲乙兩人只有一人參加，則共有cca種不同的發(fā)言順序，綜合可得不同的發(fā)言順序有caacca600種答案：6009某種產(chǎn)品有5件不同的正品，4件不同的次品，現(xiàn)在一件件地進(jìn)行檢測，直到4件次品全部測出為止若次品恰好在第6次檢測時被全部選出，則這樣的檢測方案有多少種？解：問題相當(dāng)于從9件產(chǎn)品中取出6件的一個排列，第6位為次品，前五位有其余3件次品. 可分三步，先從4件產(chǎn)品中留出1件次品排第6位，有4種方法，再從5件正品中取2件，有c種方法，再把另3件次品和取出的2件正品排在前5位有a種方法，所以檢測方案種數(shù)為4ca4 800.解決排列組合問題的常用方法(1)位置分析法：以位置為主，特殊(受限)的位置優(yōu)先考慮有兩個以上的約束條件時，往往是考慮一個條件的同時，也要兼顧其他條件考慮兩個條件之間是否有影響(2)元素分析法：以元素為主，先滿足特殊(受限)元素的要求，再處理其他元素有兩個以上的約束條件時，往往是考慮一個元素的同時，也要兼顧其他元素(3)間接法：也叫排異法直接考慮時情況較多，但其對立面情況較少，相對來講比直接解答簡捷，可先考慮逆向思考問題，在此方法中，對立面要“不重不漏”(4)插空法：先把無限制的元素排好，然后將不能相鄰的元素插入排好的元素的空中，要注意無限制元素的排列數(shù)及所形成空的個數(shù)此方法適用于含有“不相鄰”的問題(5)捆綁法：把要求在一起的“小集團(tuán)”看作一個整體，與其他元素進(jìn)行排列，同時不要忘記“小集團(tuán)”內(nèi)也要排列此法比較適合“必須在一起”的問題課下能力提升(七)一、填空題1甲組有男同學(xué)5名，女同學(xué)3名，乙組有6名男同學(xué)，2名女同學(xué)，從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法有_種解析：第一類，選出的1名女生出自甲組，選法為ccc225(種)；第二類，1名女生出自乙組，選法為ccc120(種)共有225120345(種)答案：3452某公司招聘了8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有_種解析：據(jù)題意可先將兩名英語翻譯人員分到兩個部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有c種分法，然后再分到兩部門去共有ca種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有c種方法，由分步計數(shù)原理得共有2cac36(種)分配方案答案：363從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不能放入1號瓶內(nèi)，那么不同的放法共有_種解析：分步完成：第一步，從甲、乙以外的8種種子中選1種放入1號瓶內(nèi)；第二步，從剩下的9種種子中選5種放入余下的5個瓶子內(nèi)；故不同的放法種數(shù)為ca120 960(種)答案：120 9604如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有_種解析：先安排甲學(xué)校的參觀時間，一周內(nèi)兩天連排的方法一共有6種：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，任選一種為c，然后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學(xué)校參觀，安排方法有a種，按照分步計數(shù)原理可知共有不同的安排方法ca120種答案：1205甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是_種解析：根據(jù)題意，每級臺階最多站2人，所以，分兩類：第一類，有2人站在同一級臺階，共有ca種不同的站法；第二類，一級臺階站1人，共有a種不同的站法根據(jù)分類計數(shù)原理，得共有caa336種不同的站法答案：336二、解答題6有一排8個發(fā)光二極管，每個二極管點亮?xí)r可發(fā)出紅光或綠光，若每次恰有3個二極管點亮，但相鄰的兩個二極管不能同時點亮，根據(jù)這三個點亮的二極管的不同位置和不同顏色來表示不同的信息，求這排二極管能表示的信息種數(shù)共有多少種？解：因為相鄰的兩個二極管不能同時點亮，所以需要把3個點亮的二極管插放在未點亮的5個二極管之間及兩端的6個空上，共有c種亮燈辦法然后分步確定每個二極管發(fā)光顏色有2228(種)方法，所以這排二極管能表示的信息種數(shù)共有c222160(種)7現(xiàn)有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)，(1)共有幾種放法？(2)若恰有1個空盒，有幾種放法？(3)若恰有2個盒子不放球，有幾種放法？解：(1)44256(種)(2)先從4個小球中取2個放在一起，有c種不同的取法，再把取出的兩個小球與另外2個小球看作三堆，并分別放入4個盒子中的3個盒子里，有a種不同的放法根據(jù)分步計數(shù)原理，共有ca144種不同的放法(3)恰有2個盒子不放球，也就是把4個不同的小球只放入2個盒子中，有兩類