人教B版必修一 3.2.1對數(shù)及其運(yùn)算 教案.doc

3.2.1 對數(shù)及其運(yùn)算教學(xué)分析我們在前面的學(xué)習(xí)過程中，已學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，從本節(jié)開始我們學(xué)習(xí)對數(shù)及其運(yùn)算使學(xué)生認(rèn)識引進(jìn)對數(shù)的必要性，理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，了解對數(shù)換底公式及其簡單應(yīng)用，能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)或自然對數(shù)，通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史及其對簡化運(yùn)算的作用教材注重從現(xiàn)實生活的事例中引出對數(shù)概念，所舉例子比較全面，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思想素質(zhì)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望教學(xué)中要充分發(fā)揮課本的這些材料的作用，并盡可能聯(lián)系一些熟悉的事例，以豐富教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)教師要盡量發(fā)揮電腦繪圖的教學(xué)功能，教材安排了“閱讀與欣賞”的內(nèi)容，有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的教育，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，使學(xué)生進(jìn)一步體會到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，盡量利用計算器和計算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持三維目標(biāo)1理解對數(shù)的概念，了解對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，理解和掌握對數(shù)的性質(zhì)2掌握對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系，通過實例推導(dǎo)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)3準(zhǔn)確地運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，并掌握化簡求值的技能，運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解決有關(guān)問題4通過與指數(shù)式的比較，引出對數(shù)的定義與性質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷并推理出對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并歸納整理本節(jié)所學(xué)的知識5學(xué)會對數(shù)式與指數(shù)式的互化，從而培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納能力；通過對數(shù)的運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)；在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生探究的意識；讓學(xué)生感受對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的重要性，增加學(xué)生的成功感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性重點難點教學(xué)重點：對數(shù)式與指數(shù)式的互化及對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)與對數(shù)知識的應(yīng)用教學(xué)難點：對數(shù)概念的理解，對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)及應(yīng)用課時安排3課時第1課時對數(shù)概念導(dǎo)入新課思路1.(1)莊子：一尺之棰，日取其半，萬世不竭取4次，還有多長？取多少次，還有0.125尺？(2)假設(shè)2002年我國國民生產(chǎn)總值為a億元，如果每年平均增長8%，那么經(jīng)過多少年國民生產(chǎn)總值是2002年的2倍？抽象出：()4？()x0.125x？(18%)x2x？都是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)你能看得出來嗎？怎樣求呢？像上面的式子，已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)，這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的對數(shù)引出對數(shù)的概念，教師板書課題思路2.我們前面學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，同時也會利用性質(zhì)解決問題，但僅僅有指數(shù)函數(shù)還不夠，為了解決某些實際問題，還要學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)，為此我們先學(xué)習(xí)對數(shù)引出對數(shù)的概念，教師板書課題推進(jìn)新課活動：學(xué)生討論并作圖，教師適時提示、點撥對問題，回憶計算機(jī)作函數(shù)圖象的方法，抓住關(guān)鍵點對問題，圖象類似于人的照片，從照片上能看出人的特點，當(dāng)然從函數(shù)圖象上就能看出函數(shù)的某些點的坐標(biāo)對問題，定義一種新的運(yùn)算對問題，借助，類比到一般的情形討論結(jié)果：如下圖在所作的圖象上，取點p，測出點p的坐標(biāo)，移動點p，使其縱坐標(biāo)分別接近18、20、30，觀察這時的橫坐標(biāo)，大約分別為32.72、43.29、84.04，這就是說，如果保持年增長率為1個百分點，那么大約經(jīng)過33年、43年、84年，我國人口分別約為18億、20億、30億1.01x，1.01x，1.01x，在這幾個式子中，要求x分別等于多少，目前我們沒學(xué)這種運(yùn)算，可以定義一種新運(yùn)算，用符號“l(fā)og”表示對數(shù)，即若1.01x，則x總以1.01為底的的對數(shù)就可寫成xlog1.01.其他的可類似得到，xlog1.01，xlog1.01，這種運(yùn)算叫做對數(shù)運(yùn)算一般性的結(jié)論就是對數(shù)的定義：一般地，對于指數(shù)式abn，我們把“以a為底n的對數(shù)b”記作logan，即其中，數(shù)a叫做對數(shù)的底數(shù)，n叫做真數(shù)，讀作“b等于以a為底n的對數(shù)”實質(zhì)上，上述對數(shù)表達(dá)式，不過是指數(shù)式nab的另一種表達(dá)形式由此得到對數(shù)和指數(shù)冪之間的關(guān)系：anb指數(shù)式abn底數(shù)冪指數(shù)對數(shù)式loganb對數(shù)的底數(shù)真數(shù)對數(shù)例如：42162log416；1021002log10100；2log42；1020.012log100.01.為什么在對數(shù)定義中規(guī)定a0，且a1？根據(jù)對數(shù)定義求loga1和logaa(a0，且a1)的值.負(fù)數(shù)與零有沒有對數(shù)？alogann與logaabb(a0，且a1)是否成立？什么是常用對數(shù)？討論結(jié)果：這是因為若a0，則n為某些值時，b不存在，如log(2)；若a0，n不為0時，b不存在，如log03，n為0時，b可為任意正數(shù)，是不唯一的，即log00有無數(shù)個值；若a1，n不為1時，b不存在，如log12，n為1時，b可為任意數(shù)，是不唯一的，即log11有無數(shù)個值綜之，就規(guī)定了：a0，且a1.loga10，logaa1.因為對任意a0，且a1，都有a01，所以loga10.同樣易知：logaa1.即1的對數(shù)等于0，底的對數(shù)等于1.因為底數(shù)a0，且a1，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，對任意的br，ab0恒成立，即只有正數(shù)才有對數(shù)，零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)因為abn，所以blogan，abalogann，即alogann.因為abab，所以logaabb.故兩個式子都成立(alogann叫對數(shù)恒等式)常用對數(shù)：我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)為了簡便，n的常用對數(shù)log10n簡記作lgn.例如：log105簡記作lg5；log103.5簡記作lg3.5.例如：loge3簡記作ln3；loge10簡記作ln10.思路1例1求log22，log21，log216，log2.解：因為212，所以log221；因為201，所以log210；因為2416，所以log2164；因為21，所以log21.點評：本題要注意方根的運(yùn)算，同時也可借助對數(shù)恒等式來解變式訓(xùn)練求下列各式的值：(1)log525；(2)log32；(3)3log310；(4)log2.52.5.活動：學(xué)生獨(dú)立解題，教師同時展示學(xué)生的做題情況，要求學(xué)生說明解答的依據(jù)，利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為指數(shù)式求解解：(1)因為5225，所以log5252.(2)因為()532，所以log325.(3)設(shè)3log310n，則log3nlog310，所以n10，即3log31010.(4)因為2.512.5，所以log2.52.51.例2求lg10，lg100，lg0.01.解：因為10110，所以lg101；因為102100，所以lg1002；因為1020.01，所以lg0.012.例3利用科學(xué)計算器求對數(shù)(精確到0.000 1)：lg2 001；lg0.061 8；lg0.004 5；lg396.5.解：用科學(xué)計算器計算：按鍵顯示 2001 3.301247089 0.0618 1.209011525 0.0045 2.346787486 396.5 2.598243192所以lg2 0013.301 2，lg0.061 81.209 0，lg0.004 52.346 8，lg395.62.598 2.思路2例1以下四個命題中，屬于真命題的是()(1)若log5x3，則x15(2)若log25x，則x5(3)若logx0，則x(4)若log5x3，則xa(2)(3) b(1)(3) c(2)(4) d(3)(4)活動：學(xué)生觀察，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮對數(shù)的定義解析：對數(shù)式化為指數(shù)式，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)算出結(jié)果對于(1)，因為log5x3，所以x53125，錯誤；對于(2)，因為log25x，所以x255，正確；對于(3)，因為logx0，所以x0，無解，錯誤；對于(4)，因為log5x3，所以x53，正確總之(2)(4)正確答案：c點評：對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù).變式訓(xùn)練1將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：(1)54625；(2)33；(3)816；(4)5a15.解：(1)log56254；(2)log33；(3)log816；(4)alog515.2將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式(1)164；(2)log32435；(3) 3；(4)lg0.11.活動：學(xué)生閱讀題目，獨(dú)立解題，發(fā)表自己的見解，把結(jié)果用多媒體顯示在屏幕上解：根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，得(1)()416；(2)35243；(3)()3；(4)1010.1.例2計算：(1)log927；(2) 81；(3)log(2)(2)；(4) 625.活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶，教師提問，學(xué)生回答，積極交流，學(xué)生展示自己的解題過程，教師及時評價學(xué)生利用對數(shù)的定義或?qū)?shù)恒等式來解求式子的值，首先設(shè)成對數(shù)式，再轉(zhuǎn)化成指數(shù)式或指數(shù)方程求解另外利用對數(shù)恒等式可直接求解，所以有兩種解法解法一：(1)設(shè)xlog927，則9x27,32x33，所以x.(2)設(shè)x81，則()x81,34，所以x16.(3)令xlog(2)(2)log(2)(2)1，所以(2)x(2)1，x1.(4)令x625，所以()x625,54，x3.解法二：(1)log927log933log99.(2) 81()1616.(3)log(2)(2)log(2)(2)11.(4) 625()33.點評：首先將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，進(jìn)一步根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)算出結(jié)果，對數(shù)的定義是轉(zhuǎn)化和對數(shù)恒等式的依據(jù).變式訓(xùn)練本節(jié)練習(xí)a5.1把下列各題的指數(shù)式寫成對數(shù)式：(1)4216；(2)301；(3)4x2；(4)2x0.5；(5)54625；(6)32；(7)()216.解：(1)2log416；(2)0log31；(3)xlog42；(4)xlog20.5；(5)4log5625；(6)2log3；(7)2log16.2把下列各題的對數(shù)式寫成指數(shù)式：(1)xlog527；(2)xlog87；(3)xlog43；(4)xlog7；(5)log2164；(6) 273；(7) x6；(8)logx646；(9)log21287；(10)log327a.解：(1)5x27；(2)8x7；(3)4x3；(4)7x；(5)2416；(6)()327；(7)()6x；(8)x664；(9)27128；(10)3a27.3求下列各式中x的值：(1)log8x；(2)logx27；(3)log2(log5x)1；(4)log3(lgx)0.解：(1)因為log8x，所以x8(23)23()22；(2)因為logx27，所以2733，即x(33)3481；(3)因為log2(log5x)1，所以log5x2，x5225；(4)因為log3(lgx)0，所以lgx1，即x10110.4(1)求log84的值；(2)已知loga2m，loga3n，求a2mn的值解：(1)設(shè)log84x，根據(jù)對數(shù)的定義有8x4，即23x22，所以x，即log84；(2)因為loga2m，loga3n，根據(jù)對數(shù)的定義有am2，an3，所以a2mn(am)2an(2)234312.點評：此題不僅是簡單的指數(shù)與對數(shù)的互化，還涉及到常見的冪的運(yùn)算法則的應(yīng)用對于a0，a1，下列結(jié)論正確的是()(1)若mn，則logamlogan(2)若logamlogan，則mn(3)若logam2logan2，則mn(4)若mn，則logam2logan2a(1)(3) b(2)(4)c(2) d(1)(2)(4)活動：學(xué)生思考，討論，交流，回答，教師及時評價回想對數(shù)的有關(guān)規(guī)定對(1)若mn，當(dāng)m為0或負(fù)數(shù)時logamlogan，因此錯誤；對(2)根據(jù)對數(shù)的定義，若logamlogan，則mn，正確；對(3)若logam2logan2，則mn，因此錯誤；對(4)若mn0時，則logam2與logan2都不存在，因此錯誤綜上，(2)正確答案：c點評：0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，一個正數(shù)的平方根有兩個(1)對數(shù)引入的必要性；(2)對數(shù)的定義；(3)幾種特殊數(shù)的對數(shù)；(4)負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)；(5)對數(shù)恒等式；(6)兩種特殊的對數(shù)課本本節(jié)練習(xí)b1、2.本節(jié)課在前面研究了指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的基礎(chǔ)上，為了運(yùn)算的方便，引進(jìn)了對數(shù)的概念，使學(xué)生感受到對數(shù)的現(xiàn)實背景，它有著豐富的內(nèi)涵，和我們的實際生活聯(lián)系密切，也是以后學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，鑒于這種情況，安排教學(xué)時，無論是導(dǎo)入還是概念得出的過程，都比較詳細(xì)，通俗易懂，要反復(fù)練習(xí)，要緊緊抓住它與指數(shù)概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，結(jié)合指數(shù)式理解對數(shù)式，強(qiáng)化對數(shù)是一種運(yùn)算，并注意對數(shù)運(yùn)算符號的理解和記憶，多運(yùn)用信息化的教學(xué)手段，順利完成本堂課的任務(wù)，為下一節(jié)課作準(zhǔn)備備選例題例1將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化，有x的求出x的值(1)；(2) 4x；(3)3x；(4)()x64；(5)lg0.000 1x.解：(1) 化為對數(shù)式是log5；(2)x4化為指數(shù)式是()x4，即22，2，x4；(3)3x化為對數(shù)式是xlog3，因為3x()333，所以x3；(4)()x64化為對數(shù)式是xlog64，因為()x6443，所以x3；(5)lg0.000 1x化為指數(shù)式是10x0.000 1，因為10x0.000 1104，所以x4.例2計算3log3log3的值解：設(shè)xlog3，則3x，(3)x，所以x.所以3log3log3.例3計算alogablogbclogcn(a0，b0，c0，n0)解：alogablogbclogcnblogbclogcnclogcnn.(設(shè)計者：路致芳)第2課時積、商、冪的對數(shù)導(dǎo)入新課思路1.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1對數(shù)的定義2指數(shù)式與對數(shù)式的互化abnloganb.3重要公式：(1)負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)；(2)loga10，logaa1；(3)對數(shù)恒等式alogann.下面我們接著講積、商、冪的對數(shù)教師板書課題思路2.我們在學(xué)習(xí)指數(shù)的時候，知道指數(shù)有相應(yīng)的運(yùn)算法則，即指數(shù)運(yùn)算法則amanamn；amanamn；(am)namn；a.從上節(jié)課我們還知道指數(shù)與對數(shù)都是一種運(yùn)算，而且它們互為逆運(yùn)算，對數(shù)是否也有和指數(shù)相類似的運(yùn)算法則呢？答案是肯定的，這就是本堂課的主要內(nèi)容，點出課題推進(jìn)新課1)在上節(jié)課中，我們知道，對數(shù)運(yùn)算可看作指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，你能從指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，得出相應(yīng)的對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)嗎？2)如我們知道amm，ann，amanamn，那mn如何表示，能用對數(shù)式運(yùn)算嗎？3)在上述(2)的條件下，類比指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)能得出其他對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)嗎？(4)你能否用最簡練的語言描述上述結(jié)論？如果能，請描述.,5)上述運(yùn)算性質(zhì)中的字母的取值有什么限制嗎？(6)上述結(jié)論能否推廣呢？,(7)學(xué)習(xí)這些性質(zhì)能對我們進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算帶來哪些方便呢？討論結(jié)果：(1)通過問題(2)來說明(2)如amanamn，設(shè)mam，nan，于是mnamn，由對數(shù)的定義得到mammlogam，nannlogan，mnamnmnlogamn，loga(mn)logamlogan.因此mn可以用對數(shù)式表示(3)令mam，nan，則amanamn，所以mnloga.又由mam，nan，所以mlogam，nlogan.所以logamloganmnloga，即logalogamlogan.設(shè)mam，則mn(am)namn.由對數(shù)的定義，所以logamm，logamnmn.所以logamnmnnlogam，即logamnnlogam.這樣我們得到對數(shù)的三個運(yùn)算性質(zhì)：如果a0，a1，m0，n0，則有l(wèi)oga(mn)logamlogan，logalogamlogan，logamnnlogam(nr)(4)以上三個性質(zhì)可以歸納為：性質(zhì)：兩數(shù)積的對數(shù)，等于各數(shù)的對數(shù)的和；性質(zhì)：兩數(shù)商的對數(shù)，等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；性質(zhì)：冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘底數(shù)的對數(shù)(5)利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，所以要求a0，a1，m0，n0.(6)性質(zhì)可以推廣到n個數(shù)的情形：即loga(m1m2m3mn)logam1logam2logam3logamn(其中a0，a1，m1、m2、m3、mn均大于0)(7)縱觀這三個性質(zhì)我們知道，性質(zhì)的等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是一個降級運(yùn)算性質(zhì)的等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個降級運(yùn)算，從右往左是一個升級運(yùn)算性質(zhì)從左往右仍然是降級運(yùn)算利用對數(shù)的性質(zhì)可以使兩正數(shù)的積、商的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩正數(shù)的各自的對數(shù)的和、差運(yùn)算，大大的方便了對數(shù)式的化簡和求值思路1例1用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)loga；(2)loga(x3y5)；(3)loga；(4)loga.解：(1)logaloga(xy)logazlogaxlogaylogaz；(2)loga(x3y5)logax3logay53logax5logay；(3)logalogaloga(yz)loga(logaylogaz)logaxlogaylogaz；(4)logaloga(x2)logax2logaloga2logaxlogaylogaz.點評：對數(shù)的運(yùn)算實質(zhì)上是把積、商、冪的對數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減的運(yùn)算.變式訓(xùn)練1用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)loga(x2yz)；(2)loga；(3)loga.活動：學(xué)生思考觀察，教師巡視，檢查學(xué)生解題情況，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，把整體分解成部分對(1)可先利用性質(zhì)1，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的和，再利用性質(zhì)3，把冪的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的積對(2)(3)可先利用性質(zhì)2，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的差，再利用性質(zhì)1，把積的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的和，最后利用性質(zhì)3，轉(zhuǎn)化為冪指數(shù)與底數(shù)的對數(shù)的積.解：(1)loga(x2yz)logax2logaylogaz2logaxlogaylogaz.(2)logalogax2loga(yz)2logaxlogaylogaz.(3)logalogaloga(y2z)logax2logaylogaz.例2計算：(1)lg；(2)lg4lg25；(3)(lg2)2lg20lg5.解：(1)lglg100；(2)lg4lg25lg(425)lg1002；(3)(lg2)2lg20lg5(lg2)2(1lg2)(1lg2)(lg2)21(lg2)21.點評：此例題體現(xiàn)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用，應(yīng)注意掌握變形技巧，如變形要化到最簡形式，同時注意分子、分母的聯(lián)系；要避免錯用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，特別是對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用，運(yùn)算性質(zhì)的逆用常被學(xué)生所忽視.變式訓(xùn)練計算：(1)lg142lglg7lg18；(2)；(3).解：(1)解法一：lg142lglg7lg18lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322)lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20.解法二：lg142lglg7lg18lg14lg()2lg7lg18lglg10.(2).(3).思路2例1：求下列各式的值(1)log525；(2)log0.41；(3)log2(4725)解法一：(1)log525log5522；(2)log0.410；(3)log2(4725)log247log225log2227log22527519.解法二：(1)設(shè)log525x，則5x2552，所以x2；(2)設(shè)log0.41x，則0.4x10.40，所以x0；(3)log2(4725)log2(21425)log221919，或log2(4725)log247log2257log222log22527519.點評：此題關(guān)鍵是要記住對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的形式.變式訓(xùn)練計算：(1)log3(9235)；(2)lg.解：(1)log3(9235)log392log335log3345log33459.(2)lglg1022.例2計算下列各式的值：(1)lglglg；(2)lg52lg8lg5lg20(lg2)2；(3).活動：學(xué)生思考、交流，觀察題目特點，教師可以提示引導(dǎo)：將真數(shù)中的積、商、冪化為對數(shù)的和、差、積；再就是逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)先利用對數(shù)的性質(zhì)把積、商、冪化為對數(shù)的和、差、積進(jìn)行計算再就是逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，把對數(shù)的和、差、積轉(zhuǎn)化為真數(shù)的積、商、冪再計算(1)解法一：lglglg(5lg22lg7)lg2(2lg7lg5)lg2lg72lg2lg7lg5lg2lg5(lg2lg5)lg10.解法二：lglglglglg7lglg()lg.(2)解法一：lg52lg8lg5lg20(lg2)22lg52lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)22lg10(lg2lg5)22(lg10)2213.解法二：lg52lg8lg5lg20(lg2)22lg52lg2lg5(2lg2lg5)(1lg5)22lg10lg52(1lg5)lg5(1lg5)22lg5(2lg5)(1lg5)222lg5(lg5)212lg5(lg5)23.(3)解法一：.解法二：.點評：這類問題一般有以下幾種處理方法：一是將真數(shù)中的積、商、冪運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則化為對數(shù)的和、差、積，然后化簡求值；二是將式中對數(shù)的和、差、積運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則化為真數(shù)的積、商、冪，然后化簡求值；三是上述兩種方法靈活運(yùn)用，化簡求值.變式訓(xùn)練計算：(1)2log510log50.25；(2)2log5253log264；(3)log2(log216)解：(1)因為2log510log5102log5100，所以2log510log50.25log5100log50.25log5(1000.25)log5522log552.(2)因為2log5252log5524log554,3log2643log22618log2218，所以2log5253log26422.(3)因為log216log2244，所以log2(log216)log24log2222.1用logax，logay，logaz，loga(xy)，loga(xy)表示下列各式：(1)loga；(2)loga(x)；(3)loga(xyz)；(4)loga；(5)loga(y)；(6)loga3.解：(1)logalogalogay2zlogax(2logaylogaz)logax2logaylogaz.(2)loga(x)logaxlogalogax(logaz3logay2)logaxlogaylogazlogaxlogaylogaz.(3)loga(xyz)logaxlogaylogazlogaxlogaylogaz.(4)logalogaxyloga(x2y2)logaxlogayloga(xy)(xy)logaxlogayloga(xy)loga(xy)(5)loga(y)logalogayloga(xy)loga(xy)logay.(6)loga33logaylogaxloga(xy)3logay3logax3loga(xy)2已知f(x6)log2x，則f(8)等于()a. b8 c18 d.解析：因為f(x6)log2x，x0，令x68，得x，所以f(8)log2.另解：因為f(x6)log2xlog2x6，所以f(x)log2x.所以f(8)log28log223.答案：d3若a0，a1，x0，y0，xy，下列式子正確的個數(shù)為()logaxlogayloga(xy)logaxlogayloga(xy)logalogaxlogayloga(xy)logaxlogaya0 b1 c2 d3答案：a4若a0，a1，xy0，nn，下列式子正確的個數(shù)為()(logax)nnlogax(logax)nlogaxnlogaxlogalogalogaxlogaxlogalogaxnnlogaxlogalogaa3 b4 c5 d6答案：b5科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強(qiáng)度若設(shè)i為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級r可定義為r0.6lgi，試比較6.9級和7.8級地震的相對能量程度解：設(shè)6.9級和7.8級地震的相對能量程度分別為i1和i2，由題意，得因此0.6(lgi2lgi1)0.9，即lg1.5.所以101.532.因此，7.8級地震的相對能量程度約為6.9級地震的相對能量程度的32倍已知x、y、z0，且lgxlgylgz0，求xyz的值活動：學(xué)生討論、交流、思考，教師可以引導(dǎo)大膽設(shè)想，運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)由于所求的式子是三項積的形式，每一項都有指數(shù)，指數(shù)中又有對數(shù)，因此想到用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，如果能對所求式子取對數(shù)，那可能會好解決些，故想到用參數(shù)法，設(shè)所求式子的值為t.解：令xyzt，則lgt()lgx()lgy()lgz3，所以t103即為所求1對數(shù)的運(yùn)算法則2對數(shù)的運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用，特別是公式的逆向使用3對數(shù)與指數(shù)形式比較：式子abnloganb名稱a冪的底數(shù)b冪的指數(shù)n冪值a對數(shù)的底數(shù)b以a為底的n的對數(shù)n真數(shù)運(yùn)算性質(zhì)amanamn；amanamn；(am)namn(a0，a1，m、nr)loga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam(nr)(a0，a1，m0，n0)課本本節(jié)練習(xí)b1、2、3.在前面研究了對數(shù)概念的基礎(chǔ)上，為了運(yùn)算的方便，本節(jié)課我們借助指數(shù)的運(yùn)算法則，推出了對數(shù)的運(yùn)算法則，引導(dǎo)學(xué)生自己完成推導(dǎo)過程，加深對公式的理解和記憶，對運(yùn)算性質(zhì)的認(rèn)識類比指數(shù)的運(yùn)算法則來理解記憶，強(qiáng)化法則的使用條件，注意對數(shù)式中每一個字母的取值范圍，由于它是以后學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，所以安排教學(xué)時，要反復(fù)練習(xí)，加大練習(xí)的量，多結(jié)合信息化的教學(xué)手段，順利完成本堂課的任務(wù)備選例題 例 已知a、b、c均為正數(shù)，3a4b6c，求證：.活動：學(xué)生思考觀察，教師引導(dǎo)，及時評價學(xué)生的思考過程從求證的結(jié)論看，解題的關(guān)鍵是設(shè)法把a(bǔ)、b、c從連等號式中分離出來，為便于找出a、b、c的關(guān)系，不妨設(shè)3a4b6ck(k0)，則a、b、c就可用這一變量k表示出來，再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)就可證得結(jié)論證法一：設(shè)3a4b6ck，則k0.由對數(shù)的定義得alog3k，blog4k，clog6k，則左邊2logk3logk4logk9logk4logk36，右邊2logk6logk36，所以.證法二：對3a4b6c同時兩邊取常用對數(shù)得lg3alg4blg6c，alg3blg4clg6.所以log63，log64.又log6(94)2，所以.點評：本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的定義及其運(yùn)算性質(zhì)靈活運(yùn)用指數(shù)、對數(shù)的概念及性質(zhì)解題，適時轉(zhuǎn)化(設(shè)計者：盧巖冰)第3課時換底公式與自然對數(shù)導(dǎo)入新課思路1.問題：你能根據(jù)對數(shù)的定義推導(dǎo)出下面的換底公式嗎？a0，且a1，c0，且c1，b0，logab.教師直接點出課題思路2.前兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1.對數(shù)的定義及性質(zhì)；2.對數(shù)恒等式；3.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及應(yīng)用我們能就同底數(shù)的對數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么不同底數(shù)的對數(shù)集中在一起，如何解決呢？這就是本堂課的主要內(nèi)容教師板書課題思路3.從對數(shù)的定義可以知道，任意不等于1的正數(shù)都可作為對數(shù)的底，數(shù)學(xué)史上，人們經(jīng)過大量的努力，制作了常用對數(shù)表和自然對數(shù)表，只要通過查表就能求出任意正數(shù)的常用對數(shù)或自然對數(shù)，這樣，如果能將其他底的對數(shù)轉(zhuǎn)換為以10為底或以e為底的對數(shù)就能方便地求出任意不等于1的正數(shù)為底的對數(shù)，那么，怎么轉(zhuǎn)化呢？這就需要一個公式，即對數(shù)的換底公式，從而引出課題推進(jìn)新課活動：學(xué)生針對提出的問題，交流討論，回顧所學(xué)，力求轉(zhuǎn)化，教師適時指導(dǎo)，必要時提示學(xué)生解題的思路，給學(xué)生創(chuàng)造一個互動的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力對目前還沒有學(xué)習(xí)對數(shù)的換底公式，它們又不是同底，因此可考慮對數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成方程來解；對參考的思路和結(jié)果的形式，借助對數(shù)的定義可以表示；對借助的思路，利用對數(shù)的定義來證明；對根據(jù)證明的過程來說明；對抓住問題的實質(zhì)，用準(zhǔn)確的語言描述出來，一般是按照從左到右的形式；對換底公式的意義就在于對數(shù)的底數(shù)變了，與我們的要求接近了；自然對數(shù)與常用對數(shù)是兩種特殊的對數(shù)，它們對科學(xué)研究和了解自然起了巨大的作用討論結(jié)果：因為lg20.301 0，lg30.477 1，根據(jù)對數(shù)的定義，所以100.301 02,100.477 13.不妨設(shè)log23x，則2x3，所以(100.301 0)x100.477 1,100.301 0x100.477 1，即0.301 0x0.477 1，x.因此log231.585 1.根據(jù)我們看到，最后的結(jié)果是log23用lg2與lg3表示，是通過對數(shù)的定義轉(zhuǎn)化的，這就給我們以啟發(fā)，本來是以2為底的對數(shù)轉(zhuǎn)換成了以10為底的對數(shù)，不妨設(shè)log23x，由對數(shù)定義知道，2x3，兩邊都取以a為底的對數(shù)，得loga2xloga3，xloga2loga3，x，也就是log23.這樣log23就表示成了以a為底的3的對數(shù)與以a為底的2的對數(shù)的商證明logab.證明：設(shè)logabx，由對數(shù)定義知道，axb；兩邊取c為底的對數(shù)，得logcaxlogcbxlogcalogcb；所以x，即logab.一般地，logab(a0，a1，b0，c0，c1)稱為對數(shù)換底公式由的證明過程來看，換底公式的證明要緊扣對數(shù)的定義，證明的依據(jù)是：若m0，n0，mn，則logamlogan.一個數(shù)的對數(shù)，等于同一底數(shù)的真數(shù)的對數(shù)與底數(shù)的對數(shù)的商，這樣就把一個對數(shù)變成了與原來對數(shù)的底數(shù)不同的兩個對數(shù)的商換底公式的意義就在于把對數(shù)式的底數(shù)改變，把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題，為使用運(yùn)算法則創(chuàng)造條件，更方便化簡求值說明：我們使用的計算器中，“l(fā)og”通常是常用對數(shù)，因此要使用計算器計算對數(shù)，一定要先用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)如log23，即計算log23的值的按鍵順序為：“l(fā)og”“3”“”“l(fā)og”“2”“”再如：在前面要求我國人口達(dá)到18億的年份，就是要計算xlog1.01，所以xlog1.0132.883 733年可以看到運(yùn)用對數(shù)換底公式，有時要方便得多在科學(xué)技術(shù)中，常常使用以無理數(shù)e2.718 28為底的對數(shù)以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)logen通常記作lnn.根據(jù)對數(shù)的換底公式，可以得到自然對數(shù)與常用對數(shù)的關(guān)系：lnn，即lnn2.302 6 lgn.用科學(xué)計算器可直接求自然對數(shù)例如，求ln34(精確到0.000 1)，可用科學(xué)計算器計算如下：按鍵顯示 34 3.526360525所以ln343.526 4.思路1例1求下列各式的值：(1)log89log2732的值；(2)ln1.解：(1)log89log2732.(2)因為e01，所以ln10.變式訓(xùn)練計算：(1)log927；(2)lne5.解：(1)log927.(2)因為lne55lne5，所以lne55.例2 (1)求證：logxylogyzlogxz.證明：因為logxylogyzlogxylogxz，所以logxylogyzlogxz.(2)求證：loganbnlogab.證明：因為loganbnlogab，所以loganbnlogab.點評：本題的結(jié)論可作為公式直接應(yīng)用.變式訓(xùn)練本節(jié)練習(xí)a3、5.思路2例1 (1)已知log23a，log37b，用a、b表示log4256.(2)若log83p，log35q，求lg5.活動：學(xué)生交流，展示自己的思維過程，教師對學(xué)生的表現(xiàn)及時評價，要注意轉(zhuǎn)化利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)法則和換底公式進(jìn)行化簡，然后再表示對(1)據(jù)題目的特點，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡對(2)利用換底公式把底數(shù)統(tǒng)一起來，再靈活利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決解：(1)因為log23a，則log32，又因為log37b，所以log4256.(2)因為log83p，即log233p，所以log233p.所以log32.又因為log35q，所以lg5.點評：本題是條件問題，要充分考慮到條件與結(jié)論的關(guān)系，更要靈活運(yùn)用對數(shù)的換底公式和運(yùn)算性質(zhì).變式訓(xùn)練已知log189a,18b5，用a、b表示log3645.解：因為log189a，所以log181log182a.所以log1821a.因為18b5，所以log185b.所以log3645.點評：在解題過程中，根據(jù)問題的需要，指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，或?qū)?shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，這正是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想，要注意學(xué)習(xí)、體會，逐步達(dá)到靈活運(yùn)用.例2設(shè)x、y、z(0，)，且3x4y6z.(1)求證：；(2)比較3x、4y、6z的大小活動：學(xué)生觀察，積極思考，盡量把所學(xué)知識與題目結(jié)合起來，教師及時提示引導(dǎo)(1)利用對數(shù)的定義把x、y、z表示出來，根據(jù)對數(shù)的定義把3x4y6z轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，求出x、y、z，然后計算(2)在(1)的基礎(chǔ)上利用中間量，作差比較，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行比較(1)證明：設(shè)3x4y6zk，因為x、y、z(0，)，所以k1.取對數(shù)，得x，y，z，所以，即.(2)解：因為3x4y()lgklgk0，所以3x4y.又因為4y6z()lgklgk0，所以4y6z.所以3x4y6z.點評：如果題目中有指數(shù)式，常根據(jù)對數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，有對數(shù)式常根據(jù)對數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，比較大小常用作差，如果是幾個數(shù)比較大小，有時采用中間量法，要具體情況具體分析例3已知logaxlogacb，求x.活動：學(xué)生討論，教師指導(dǎo)，教師提問，學(xué)生回答，教師對解題中出現(xiàn)的問題及時處理把對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式求解，或把b轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來解由于x作為真數(shù)，故可直接利用對數(shù)定義求解；另外，由于等式右端為兩實數(shù)和的形式，b的存在使變形產(chǎn)生困難，故可考慮將logac移到等式左端，或者將b變?yōu)閷?shù)形式來解解法一：由對數(shù)定義，可知xalogacbalogacabcab.解法二：由已知移項可得logaxlogacb，即logab，由對數(shù)定義，知ab，所以xcab.解法三：因為blogaab，所以logaxlogaclogaablogacab.所以xcab.點評：利用對數(shù)定義進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化對解題起到關(guān)鍵作用(1)已知lg2a，lg3b，則等于()a. b. c. d.(2)已知2lg(x2y)lgxlgy，則的值為()a1 b4 c1或4 d4或1(3)若3a2，則log382log36_.(4)lg12.5lglg0.5_.答案：(1)c(2)b(3)a2(4)1探究換底公式的其他證明方法：活動：學(xué)生討論、交流、思考，教師可以引導(dǎo)：大膽設(shè)想，運(yùn)用對數(shù)的定義及運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)證法一：設(shè)loganx，則axn，兩邊取以c(c0且c1)為底的對數(shù)，得logcaxlogcn，所以xlogcalogcn，即x.故logan.證法二：由對數(shù)恒等式，得nalogan，兩邊取以c(c0且c1)為底的對數(shù)，得logcnloganlogca，所以logan.證法三：令logcam，logann，則acm，nan，所以n(cm)ncmn.兩邊取以c(c0且c1)為底的對數(shù)，得mnlogcn，所以n，即logan.對數(shù)換底公式的應(yīng)用：換底公式logan(c0且c1，a0且a1，n0)的應(yīng)用包括兩個方面，即由左端到右端的應(yīng)用和由右端到左端的應(yīng)用前者較為容易，而后者則易被學(xué)生忽視，因此，教學(xué)時應(yīng)重視后者的用法，下面僅就后者舉例說明：例：化簡：.解：原式lognmlog