人教A版必修2 2.1.1 平面 作業(yè).doc

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1平面目標(biāo)定位1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法.2.了解平面的基本性質(zhì)，即公理1，2，3.3.會(huì)進(jìn)行“文字語言”“符號語言”“圖形語言”之間的轉(zhuǎn)化.4.掌握空間中點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面位置關(guān)系的分類與表示.自 主 預(yù) 習(xí)1.平面的概念(1)幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是無限延展的.(2)平面的畫法水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，它的銳角通常畫成45，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍，如圖.如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來.如圖.(3)平面的表示法圖的平面可表示為平面，平面abcd，平面ac或平面bd.2.點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)的概念：如果直線l上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)，就說直線l在平面內(nèi)，或者說平面經(jīng)過直線l.(2)一些文字語言與數(shù)學(xué)符號的對應(yīng)關(guān)系：文字語言表達(dá)數(shù)學(xué)符號表示文字語言表達(dá)數(shù)學(xué)符號表示點(diǎn)a在直線l上al點(diǎn)a在直線l外al點(diǎn)a在平面內(nèi)a點(diǎn)a在平面外a直線l在平面內(nèi)l直線l在平面外l直線l，m相交于點(diǎn)alma平面、相交于直線ll3.平面的基本性質(zhì)及作用公理內(nèi)容圖形符號作用公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)al，bl，且a，bl既可判定直線和點(diǎn)是否在平面內(nèi)，又能說明平面是無限延展的公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面a，b，c三點(diǎn)不共線存在唯一的平面使a，b，c一是確定平面；二是證明點(diǎn)、線共面問題；三是判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線p，且pl，且pl一是判斷兩個(gè)平面相交的依據(jù)；二是證明點(diǎn)共線問題的依據(jù)；三是證明線共點(diǎn)問題的依據(jù)即 時(shí) 自 測1.判斷題(1)a，b，c，a，b，c，且a，b，c不共線與重合.()(2)梯形一定是平面圖形.()(3)三個(gè)平面可以將空間分為4部分或6部分或8部分.()(4)空間中有四個(gè)點(diǎn)，如果其中任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一直線上，那么過其中三個(gè)點(diǎn)的平面有四個(gè).()提示(3)三個(gè)平面可以將空間分為4部分或6部分或7部分或8部分.(4)當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)共面時(shí)，只有一個(gè)平面；當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)不共面時(shí)，有四個(gè)平面.2.下列圖形中，不一定是平面圖形的是()a.三角形 b.菱形c.梯形 d.四條邊相等的四邊形解析三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為不共線的三點(diǎn)，因此一定是平面圖形；菱形、梯形分別有兩組、一組對邊平行，故為平面圖形；四邊相等的四邊形可能為空間四邊形.答案d3.用符號表示“點(diǎn)a在直線l上，直線l在平面外”，正確的表示是()a.al，l b.al，lc.al，l d.al，l解析點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面之間的關(guān)系是元素與集合之間的關(guān)系，直線與平面之間的關(guān)系是集合與集合之間的關(guān)系，故選b.答案b4.兩兩平行的三條直線最多可以確定_個(gè)平面.解析如圖此時(shí)確定的平面?zhèn)€數(shù)最多.答案3類型一三種語言的轉(zhuǎn)換【例1】 用符號語言表示下列語句，并畫出圖形.(1)三個(gè)平面，相交于一點(diǎn)p，且平面與平面相交于pa，平面與平面相交于pb，平面與平面相交于pc；(2)平面abd與平面bdc相交于bd，平面abc與平面adc相交于ac.解(1)符號語言表示：p，pa，pb，pc，圖形表示如圖.(2)符號語言表示：平面abd平面bdcbd，平面abc平面adcac，圖形表示如圖.規(guī)律方法(1)用文字語言、符號語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.【訓(xùn)練1】 根據(jù)下列符號表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)a，b；(2)l，ma，al；(3)pl，p，ql，q.解(1)點(diǎn)a在平面內(nèi)，點(diǎn)b不在平面內(nèi)，如圖.(2)直線l在平面內(nèi)，直線m與平面相交于點(diǎn)a，且點(diǎn)a不在直線l上，如圖.(3)直線l經(jīng)過平面外一點(diǎn)p和平面內(nèi)一點(diǎn)q，如圖.類型二點(diǎn)線共面問題(互動(dòng)探究)【例2】 證明：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).思路探究探究點(diǎn)一確定平面的基本條件有哪些？提示確定平面的基本條件有4個(gè)：不在同一直線上的三點(diǎn)、兩條相交直線、兩條平行直線、直線及直線外一點(diǎn).探究點(diǎn)二納入法證明點(diǎn)、線共面的思路是什么？提示先由公理2確定一個(gè)平面，再由公理1證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).證明法一(納入法)l1l2a，l1和l2確定一個(gè)平面.l2l3b，bl2.又l2，b.同理可證c.又bl3，cl3，l3.直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi).法二(重合法)l1l2a，l1、l2確定一個(gè)平面.l2l3b，l2、l3確定一個(gè)平面.al2，l2，a.al2，l2，a.同理可證b，b，c，c.不共線的三個(gè)點(diǎn)a、b、c既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi).平面和重合，即直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi).規(guī)律方法在證明多線共面時(shí)，可用下面的兩種方法來證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).(2)重合法：即先證明一些元素在一個(gè)平面內(nèi)，再證明另一些元素在另一個(gè)平面內(nèi)，然后證明這兩個(gè)平面重合，即證得所有元素在同一個(gè)平面內(nèi).【訓(xùn)練2】 已知直線ab，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個(gè)平面.證明如圖所示.由已知ab，所以過a，b有且只有一個(gè)平面.設(shè)ala，blb，a，b，且al，bl，l.即過a，b，l有且只有一個(gè)平面.類型三點(diǎn)共線與線共點(diǎn)問題【例3】 如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)m、n、e、f分別是棱cd、ab、dd1、aa1上的點(diǎn)，若mn與ef交于點(diǎn)q，求證：d、a、q三點(diǎn)共線.證明mnefq，q直線mn，q直線ef，又m直線cd，n直線ab，cd平面abcd，ab平面abcd.m、n平面abcd，mn平面abcd.q平面abcd.同理，可得ef平面add1a1.q平面add1a1.又平面abcd平面add1a1ad，q直線ad，即d、a、q三點(diǎn)共線.規(guī)律方法點(diǎn)共線與線共點(diǎn)的證明方法：(1)點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上.(2)三線共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn).【訓(xùn)練3】 如圖所示，已知四面體abcd中，e，f分別是ab，ad的中點(diǎn)，g，h分別是bc，cd上的點(diǎn)，且2.求證：直線eg，fh，ac相交于同一點(diǎn).證明e，f分別是ab，ad的中點(diǎn)，efbd且efbd.又2，ghbd且ghbd，efgh且efgh，四邊形efhg是梯形，其兩腰所在直線必相交，設(shè)兩腰eg，fh的延長線相交于一點(diǎn)p，eg平面abc，fh平面acd，p平面abc，p平面acd，又平面abc平面acdac，pac，故直線eg，fh，ac相交于同一點(diǎn).課堂小結(jié)1.解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言.文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時(shí)，要注意線的實(shí)虛.2.在處理點(diǎn)線共面、三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)問題時(shí)要體會(huì)三個(gè)公理的作用，體會(huì)先部分再整體的思想.1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()一個(gè)平面長4米，寬2米；2個(gè)平面重疊在一起比一個(gè)平面厚；一個(gè)平面的面積是25平方米；將一個(gè)平面內(nèi)的一條直線延長，它就會(huì)伸出這個(gè)平面.a.0 b.1 c.2 d.3解析幾何中的平面是無限延展的，不可進(jìn)行所有類型的度量，容易判斷所有命題都不對.答案a2.若點(diǎn)q在直線b上，b在平面內(nèi)，則q，b，之間的關(guān)系可記作()a.qb b.qbc.qb d.qb解析點(diǎn)q(元素)在直線b(集合)上，qb.又直線b(集合)在平面(集合)內(nèi)，b，qb.答案b3.設(shè)平面與平面交于直線l，a，b，且直線ablc，則直線ab_.解析l，ablc，c，cab，abc.答案c4.用文字語言和符號語言表示如圖.解文字語言：平面內(nèi)的兩直線m和n相交于點(diǎn)a.符號語言：m，n，且mna.基 礎(chǔ) 過 關(guān)1.已知點(diǎn)a，直線a，平面，以下命題表述正確的個(gè)數(shù)是()aa，aa；aa，aa；aa，aa；aa，aa.a.0 b.1 c.2 d.3解析不正確，如aa；不正確，“a”表述錯(cuò)誤；不正確，如圖所示，aa，a，但a；不正確，“a”表述錯(cuò)誤.答案a2.在下列命題中，不是公理的是()a.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行b.過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面c.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)d.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線解析a.不是公理，是個(gè)常用的結(jié)論，需經(jīng)過推理論證；b、c、d都是平面的基本性質(zhì)公理.答案a3.已知、為平面，a、b、m、n為點(diǎn)，a為直線，下列推理錯(cuò)誤的是()a.aa，a，ba，bab.m，m，n，nmnc.a，aad.a、b、m，a、b、m，且a、b、m不共線、重合解析a，a，a.由公理可知為經(jīng)過a的一條直線而不是a.故a的寫法錯(cuò)誤.答案c4.(1)空間任意4點(diǎn)，沒有任何3點(diǎn)共線，它們最多可以確定_個(gè)平面.(2)空間5點(diǎn)，其中有4點(diǎn)共面，它們沒有任何3點(diǎn)共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可以確定_個(gè)平面.解析(1)可以想象三棱錐的4個(gè)頂點(diǎn)，它們總共確定4個(gè)平面.(2)可以想象四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)，它們總共確定7個(gè)平面.答案(1)4(2)75.設(shè)平面與平面相交于l，直線a，直線b，abm，則m_l.解析因?yàn)閍bm，a，b，所以m，m.又因?yàn)閘，所以ml.答案6.(1)用數(shù)學(xué)符號表示圖中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.(2)畫出滿足下列條件的圖形(其中，為平面，a，b，l為直線)：l，a，b，al，bla，ba.解(1)l，a，ala，bb，bc.(2)如圖所示7.如圖，直角梯形abdc中，abcd，abcd，s是直角梯形abdc所在平面外一點(diǎn)，畫出平面sbd和平面sac的交線.解很明顯，點(diǎn)s是平面sbd和平面sac的一個(gè)公共點(diǎn)，即點(diǎn)s在交線上.由于abcd，則分別延長ac和bd交于點(diǎn)e，如圖所示，eac，ac平面sac，e平面sac.同理，可證e平面sbd.點(diǎn)e在平面sbd和平面sac的交線上，則連接se，直線se就是平面sbd和平面sac的交線.能 力 提 升8.空間四點(diǎn)a、b、c、d共面而不共線，那么這四點(diǎn)中()a.必有三點(diǎn)共線 b.必有三點(diǎn)不共線c.至少有三點(diǎn)共線 d.不可能有三點(diǎn)共線解析如圖(1)(2)所示，a、c、d均不正確，只有b正確，如圖(1)中a、b、d不共線.答案b9.如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，o為db的中點(diǎn)，直線a1c交平面c1bd于點(diǎn)m，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()a.c1，m，o三點(diǎn)共線b.c1，m，o，c四點(diǎn)共面c.c1，o，a，m四點(diǎn)共面d.d1，d，o，m四點(diǎn)共面解析在題圖中，連接a1c1，ac，則acbdo，a1c平面c1bdm.三點(diǎn)c1，m，o在平面c1bd與平面acc1a1的交線上，即c1，m，o三點(diǎn)共線，選項(xiàng)a，b，c均正確，d不正確.答案d10.若直線l與平面相交于點(diǎn)o，a，bl，c，d，且acbd，則o，c，d三點(diǎn)的位置關(guān)系是_.解析acbd，ac與bd確定一個(gè)平面，記作平面，則直線cd.lo，o.又oab，o直線cd，o，c，d三點(diǎn)共線.答案共線11.如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e為ab的中點(diǎn)，f為a1a的中點(diǎn)，求證：(1)e，f，d1，c四點(diǎn)共面；(2)ce，d1f，da三線共點(diǎn).證明(1)如圖，分別連接ef，a1b，d1c.e，f分別是ab和aa1的中點(diǎn)，ef綉a1b.又a1d1綉b1c1綉bc，四邊形a1d1cb為平行四邊形.a1bcd1，efcd1.ef與cd1確定一個(gè)平面，e，f，d1，c四點(diǎn)共面.(2)ef綉cd1，直線d1f和ce必相交.設(shè)d1fcep.d1f平面aa1d1d，pd1f，p平面aa1d1d.又ce平面abcd，pec，p平面abcd.p是平面abcd與平面aa1d1d的公共點(diǎn).又平面abcd平面aa1d1dad，pad，ce，d1f，da三線共點(diǎn).探 究 創(chuàng) 新12.在棱長是a的正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別是aa1、d1c1的中點(diǎn)，過d