§3.1算符運(yùn)算(講稿).doc

14 3.1 算符的運(yùn)算規(guī)則第三章 力學(xué)量用算符表達(dá) 3.1 算符的運(yùn)算規(guī)則一、 運(yùn)算規(guī)則二、 算符的對易關(guān)系三、 坐標(biāo)、動(dòng)量的對易關(guān)系四、 角動(dòng)量的對易關(guān)系五、 算符的函數(shù) 3.2 厄米算符一、 本征值為實(shí)數(shù)二、 本征函數(shù)正交三、 本征函數(shù)系構(gòu)成完備集合四、 簡并五、 量子力學(xué)的基本假定 3.3 共同本征函數(shù)系一、 不確定關(guān)系二、 兩個(gè)力學(xué)量有共同本征函數(shù)系的條件三、 力學(xué)量完全集四、 的共同本征函數(shù)系第三章作業(yè)教材P132 133：3、7、11、12、16 3.1 算符的運(yùn)算規(guī)則一、 運(yùn)算規(guī)則、 任意態(tài)矢量，、 任意復(fù)常數(shù)。1、 線性算符2、 算符相等3、 單位算符4、 算符之和 滿足交換律 滿足結(jié)合律 5、 算符之積 依次作用于波函數(shù)。 滿足結(jié)合律 一般不滿足交換律 例如 因?yàn)?冪運(yùn)算 例題1 證明任意算符與單位算符交換，即 對于任意態(tài)所以6、 逆算符 若由 能唯一地解出，則可定義 的逆算符 性質(zhì)：因?yàn)?、 算符的復(fù)共軛 的復(fù)共軛：將的表達(dá)式中所有量換成其復(fù)共軛。例如 8、算符的厄米共軛和厄米算符（）的厄米共軛：或運(yùn)算規(guī)則： （課下證明）（）厄米算符 若，則稱為厄米算符。即，若或則稱為厄米算符。厄米算符的例：，空間反射動(dòng)量是厄米算符：對任意態(tài)和分部積分第一項(xiàng)為零，是利用了波函數(shù)平方可積條件。 由厄米算符的定義在任意狀態(tài)上厄米算符的平均值均為實(shí)數(shù)。厄米算符可以用來表達(dá)力學(xué)量。 思考 兩個(gè)厄米算符的和是厄米算符嗎？兩個(gè)厄米算符的積是厄米算符嗎？例題2 證明動(dòng)能在任意態(tài) 的平均值 最后一步用到了內(nèi)積的性質(zhì)。9、幺正算符（unitary operator） 若，則稱為幺正算符。 若為幺正算符，則有例題3 證明空間反射算符既是厄米算符，也是幺正算符。（1）是厄米算符 算符厄米算符，表達(dá)體系的宇稱。（2）是幺正算符 二、 算符的對易關(guān)系1、算符和的對易關(guān)系定義為 若，即，則稱和對易（交換）。2、對易關(guān)系的計(jì)算 如果對于任意態(tài)有 則 例如因此，坐標(biāo)和動(dòng)量在該方向上的分量的對易關(guān)系：8、對易關(guān)系的運(yùn)算規(guī)則例題4 計(jì)算對易關(guān)系 代入 ，得三、 坐標(biāo)、動(dòng)量的對易關(guān)系四、 角動(dòng)量的對易關(guān)系 這里定義的角動(dòng)量是軌道角動(dòng)量它的三個(gè)分量為 角動(dòng)量的平方為角動(dòng)量三個(gè)分量之間的對易關(guān)系：舉例證明 ： 算符之間的對易關(guān)系具有本質(zhì)性的意義。實(shí)際上，上述三個(gè)分量之間的對易關(guān)系是一般的角動(dòng)量算符的定義。 一個(gè)矢量算符，如果它的三個(gè)分量滿足下述對易關(guān)系，則這個(gè)矢量算符就是角動(dòng)量算符 只要從角動(dòng)量的對易關(guān)系出發(fā)，就能確定它的本征值譜和本征態(tài)，而無論它是軌道角動(dòng)量，還是自旋角動(dòng)量（在7.2討論）。 角動(dòng)量算符的三個(gè)分量都和角動(dòng)量的平方對易角動(dòng)量包括4個(gè)算符：但互相對易的只有2個(gè)，一般選為：對于軌道角動(dòng)量，這兩個(gè)算符在球坐標(biāo)系中的形式為 軌道角動(dòng)量和坐標(biāo)、動(dòng)量之間的對易關(guān)系： 五、 算符的函數(shù) 給定函數(shù)且可作展開，則可定義算符的函數(shù)例如 定理：若算符的本征值問題的解為 ，