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文檔簡介
2.3.3 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1掌握空間向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示(重點(diǎn))2能夠利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求空間向量的長度與夾角(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示閱讀教材p36p37例5以上的部分,完成下列問題1空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),則:(1)ab(x1x2,y1y2,z1z2),即,空間兩個向量和的坐標(biāo)等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的和(2)ab(x1x2,y1y2,z1z2),即,空間兩個向量差的坐標(biāo)等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的差(3)a(x1,y1,z1)(r),即,實(shí)數(shù)與空間向量數(shù)乘的坐標(biāo)等于實(shí)數(shù)與向量對應(yīng)坐標(biāo)的乘積(4)設(shè)a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),則abx1x2y1y2z1z2.即,空間兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和2空間向量的坐標(biāo)與起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),則(x2x1,y2y1,z2z1)1已知a(1,2,3),b(5,7,8),則2ab的坐標(biāo)為()a(7,3,2)b(6,5,5)c(6,3,2)d(11,12,13)【解析】2ab2(1,2,3)(5,7,8)(2,4,6)(5,7,8)(7,3,2)【答案】a2在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)a的坐標(biāo)為(1,2,3),點(diǎn)b的坐標(biāo)為(4,5,6),則_.【解析】(4,5,6)(1,2,3)(3,3,3)【答案】(3,3,3)教材整理2空間向量平行、垂直、長度、夾角的表示閱讀教材p37例5以下p38練習(xí)以上的部分,完成下列問題設(shè)a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),則(1)若b0,則aba bx1x2,y1y2,z1z2(r);(2)abab0x1x2y1y2z1z20.|a|.cosa,b.(a0,b0)1已知a(1,5,6),b(0,6,5),則a與b()a垂直b不垂直也不平行c平行且同向d平行且反向【解析】ab030300,ab.【答案】a2與向量a(1,3,2)平行的一個向量的坐標(biāo)為()a(1,3,2)b(1,3,2)c(1,3,2)d(1,3,2)【解析】(1,3,2)(1,3,2),(1,3,2)與(1,3,2)平行【答案】c質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后,請將你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流:疑問1:_解惑:_疑問2:_解惑:_疑問3:_解惑:_小組合作型空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知a(2,1,3),b(1,2,1),則ab_,2ab_.【自主解答】ab(21,12,31)(3,1,2),2ab2(2,1,3)(1,2,1)(4,2,6)(1,2,1)(3,4,7)【答案】(3,1,2)(3,4,7)(2)已知a(1,0,2),b(6,21,2),若ab,則與的值為_【自主解答】ab,bk a,即k(1,0,2)(6,21,2),2或3.【答案】 或 (3)已知a(1,0,1),b(1,2,2),c(2,3,1),則ab2c_.【導(dǎo)學(xué)號:32550032】【自主解答】ab2c(1,0,1)(1,2,2)2(2,3,1)(4,8,5)【答案】(4,8,5)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知a(3,5,4),b(2,1,8),求(1)ab;(2)(2ab)(3ab)【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式運(yùn)算即可【自主解答】(1)ab3251(4)821.(2)2ab2(3,5,4)(2,1,8)(6,10,8)(2,1,8)(4,9,16)3ab3(3,5,4)(2,1,8)(9,15,12)(2,1,8)(11,16,4)(2ab)(3ab)411169(16)(4)252.空間向量數(shù)量積即將對應(yīng)坐標(biāo)乘積的求和,牢記運(yùn)算公式是正確計(jì)算的關(guān)鍵再練一題1本例條件不變,求(ab)(ab)【解】(ab)(ab)aabb(3,5,4)(3,5,4)(2,1,8)(2,1,8)92516(4164)19.利用坐標(biāo)運(yùn)算解決長度和夾角問題已知空間三點(diǎn)a(0,2,3),b(2,1,6),c(1,1,5),求以ab,ac為鄰邊的平行四邊形的面積【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的面積s|sin (,),所以必須求出|、|、sin 的大小【自主解答】(2,1,6)(0,2,3)(2,1,3),(1,3,2)設(shè),cos ,0,sin ,s|sin 7,即以,為鄰邊的平行四邊形的面積為7.1空間中的距離和夾角問題可轉(zhuǎn)化為向量的模與夾角問題求解這體現(xiàn)了向量的工具作用引入坐標(biāo)運(yùn)算,可使解題過程程序化2平行四邊形面積的計(jì)算公式:sabcd.再練一題2已知空間三點(diǎn)a(2,0,2),b(1,1,2),c(3,0,4)(1)求cosbac;(2)求abc中bc邊上中線的長度【解】(1)a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0),b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)cosbac.(2)設(shè)bc中點(diǎn)為d,則d點(diǎn)坐標(biāo)為,又a(2,0,2),|.即abc中bc邊上中線的長度為.坐標(biāo)形式下的平行與垂直問題已知空間三點(diǎn)a(2,0,2)、b(1,1,2)、c(3,0,4)設(shè)a,b.【導(dǎo)學(xué)號:32550033】(1)設(shè)|c|3,c,求c;(2)若kab與ka2b互相垂直,求k.【精彩點(diǎn)撥】利用向量平行與垂直的直角坐標(biāo)表示運(yùn)算即可【自主解答】(1)(2,1,2)且c,設(shè)c(2,2)|c|3|3.解得1.c(2,1,2)或c(2,1,2)(2)a(1,1,0),b(1,0,2),kab(k1,k,2),ka2b(k2,k,4)(kab)(ka2b),(kab)(ka2b)0.即(k1,k,2)(k2,k,4)2k2k100.解得k2或k.向量平行與垂直問題主要有以下兩種類型:一是判斷平行與垂直;一是利用平行與垂直求參數(shù)或其他問題解決這種問題時要注意:適當(dāng)引入?yún)?shù)參與運(yùn)算;建立關(guān)于參數(shù)的方程;準(zhǔn)確運(yùn)算再練一題3設(shè)a(1,5,1),b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b),求k;(2)若(kab)(a3b),求k.【解】(1)由于(kab)(a3b),所以(kab)(a3b),即kaba3b,由于a與b不共線,所以有解得k;(2)由于(kab)(a3b),所以(kab)(a3b)0,即k|a|2(3k1)ab3|b|20,而|a|227,|b|238,ab8,所以27k8(3k1)1140,解得k.探究共研型空間直角坐標(biāo)系的特征探究1在建立空間直角坐標(biāo)系時,空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置有關(guān)系嗎?【提示】(1)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置選取無關(guān),因?yàn)橐粋€確定的幾何體,其“線線夾角”、“點(diǎn)點(diǎn)距離”是固定的,坐標(biāo)系的位置不同,只會影響其計(jì)算的繁簡(2)進(jìn)行向量的運(yùn)算時,在能建系的情況下盡量建系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算,一般按照右手系建系,如圖所示探究2用坐標(biāo)表示空間向量的一般步驟是什么?【提示】用坐標(biāo)表示空間向量的一般步驟是:(1)觀察圖形、認(rèn)識圖形,并分析圖形特征(2)建系找出三條兩兩垂直的直線作軸,建立空間直角坐標(biāo)系(3)計(jì)算利用向量的線性運(yùn)算用基底表示目標(biāo)向量(4)結(jié)果根據(jù)線性運(yùn)算表示不確定向量的坐標(biāo)如圖2313所示,在棱長為a的正方體abcda1b1c1d1中,以d為坐標(biāo)原點(diǎn),da,dc,dd1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系過b作bmac1于m,求點(diǎn)m的坐標(biāo)圖2313【精彩點(diǎn)撥】寫出a,b,c1的坐標(biāo),設(shè)出m的坐標(biāo),利用條件bmac1及m在ac1上建立方程組,求解【自主解答】法一:設(shè)m(x,y,z),由圖可知:a(a,0,0),b(a,a,0),c1(0,a,a),則(a,a,a),(xa,y,z),(xa,ya,z),0,a(xa)a(ya)az0,即xyz0.又,xaa,ya,za,即xaa,ya,za.由得x,y,z.m.法二:設(shè)(a,a,a),(0,a,0)(a,a,a)(a,aa,a)bmac1,0即a2a2a2a20,解得,.m點(diǎn)坐標(biāo).構(gòu)建體系1判斷(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)對空間任意的兩個向量a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)若a與b共線,則.()(2)若a(x,y,z)則|a|x2y2z2.()(3)若向量(x1,y1,z1),則點(diǎn)b的坐標(biāo)為(x1,y1,z1)()【解析】(1)若b0則不成立(2)|a|.(3)因需知a點(diǎn)坐標(biāo)方可求點(diǎn)b坐標(biāo)【答案】(1)(2)(3)2向量a(2,1,1),b(3,2,1),則下列結(jié)論正確的是()aab(5,1,1)bab(1,1,0)c2b(6,4,2)dab9【解析】ab(5,1,0),ab(1,3,2),2b(6,4,2),ab23(2)11(1)3.【答案】c3已知向量a(3,2,5),b(1,x,1),且ab2,則x的值為()a3b4c5d6【解析】ab312x5(1)2.x5.【答案】c4已知a(2,1,2),b(0,1,4),則ab_.3b_,ab_.【解析】ab(20,11,24)(2,2,6)3b3(0,1,4)(0,3,12)ab20(1)(1)249.【答案】(2,2,6)(0,3,12)95已知a(
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