北師大版選修21 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 學(xué)案.doc

2.3.3 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1掌握空間向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示(重點(diǎn))2能夠利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求空間向量的長度與夾角(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示閱讀教材p36p37例5以上的部分，完成下列問題1空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則：(1)ab(x1x2，y1y2，z1z2)，即，空間兩個向量和的坐標(biāo)等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的和(2)ab(x1x2，y1y2，z1z2)，即，空間兩個向量差的坐標(biāo)等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的差(3)a(x1，y1，z1)(r)，即，實(shí)數(shù)與空間向量數(shù)乘的坐標(biāo)等于實(shí)數(shù)與向量對應(yīng)坐標(biāo)的乘積(4)設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則abx1x2y1y2z1z2.即，空間兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和2空間向量的坐標(biāo)與起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則(x2x1，y2y1，z2z1)1已知a(1,2，3)，b(5，7,8)，則2ab的坐標(biāo)為()a(7，3,2)b(6，5,5)c(6，3,2)d(11，12,13)【解析】2ab2(1,2，3)(5，7,8)(2,4，6)(5，7,8)(7，3,2)【答案】a2在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a的坐標(biāo)為(1,2,3)，點(diǎn)b的坐標(biāo)為(4,5,6)，則_.【解析】(4,5,6)(1,2,3)(3,3,3)【答案】(3,3,3)教材整理2空間向量平行、垂直、長度、夾角的表示閱讀教材p37例5以下p38練習(xí)以上的部分，完成下列問題設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則(1)若b0，則aba bx1x2，y1y2，z1z2(r)；(2)abab0x1x2y1y2z1z20.|a|.cosa，b.(a0，b0)1已知a(1，5,6)，b(0,6,5)，則a與b()a垂直b不垂直也不平行c平行且同向d平行且反向【解析】ab030300，ab.【答案】a2與向量a(1，3,2)平行的一個向量的坐標(biāo)為()a(1,3,2)b(1，3,2)c(1,3，2)d(1，3，2)【解析】(1,3，2)(1，3,2)，(1,3，2)與(1，3,2)平行【答案】c質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知a(2，1,3)，b(1,2，1)，則ab_，2ab_.【自主解答】ab(21，12,31)(3,1,2)，2ab2(2，1,3)(1,2，1)(4，2,6)(1,2，1)(3，4,7)【答案】(3,1,2)(3，4,7)(2)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，則與的值為_【自主解答】ab，bk a，即k(1,0,2)(6,21,2)，2或3.【答案】 或 (3)已知a(1,0，1)，b(1，2,2)，c(2,3，1)，則ab2c_.【導(dǎo)學(xué)號：32550032】【自主解答】ab2c(1,0，1)(1，2,2)2(2，3，1)(4,8，5)【答案】(4,8，5)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知a(3,5，4)，b(2,1,8)，求(1)ab；(2)(2ab)(3ab)【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式運(yùn)算即可【自主解答】(1)ab3251(4)821.(2)2ab2(3,5，4)(2,1,8)(6,10，8)(2,1,8)(4,9，16)3ab3(3,5，4)(2,1,8)(9,15，12)(2,1,8)(11,16，4)(2ab)(3ab)411169(16)(4)252.空間向量數(shù)量積即將對應(yīng)坐標(biāo)乘積的求和，牢記運(yùn)算公式是正確計(jì)算的關(guān)鍵再練一題1本例條件不變，求(ab)(ab)【解】(ab)(ab)aabb(3,5，4)(3,5，4)(2,1,8)(2,1,8)92516(4164)19.利用坐標(biāo)運(yùn)算解決長度和夾角問題已知空間三點(diǎn)a(0,2,3)，b(2,1,6)，c(1，1,5)，求以ab，ac為鄰邊的平行四邊形的面積【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的面積s|sin (，)，所以必須求出|、|、sin 的大小【自主解答】(2,1,6)(0,2,3)(2，1，3)，(1，3,2)設(shè)，cos ，0，sin ，s|sin 7，即以，為鄰邊的平行四邊形的面積為7.1空間中的距離和夾角問題可轉(zhuǎn)化為向量的模與夾角問題求解這體現(xiàn)了向量的工具作用引入坐標(biāo)運(yùn)算，可使解題過程程序化2平行四邊形面積的計(jì)算公式：sabcd.再練一題2已知空間三點(diǎn)a(2,0,2)，b(1,1,2)，c(3,0,4)(1)求cosbac；(2)求abc中bc邊上中線的長度【解】(1)a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)cosbac.(2)設(shè)bc中點(diǎn)為d，則d點(diǎn)坐標(biāo)為，又a(2,0,2)，|.即abc中bc邊上中線的長度為.坐標(biāo)形式下的平行與垂直問題已知空間三點(diǎn)a(2,0,2)、b(1,1,2)、c(3,0,4)設(shè)a，b.【導(dǎo)學(xué)號：32550033】(1)設(shè)|c|3，c，求c；(2)若kab與ka2b互相垂直，求k.【精彩點(diǎn)撥】利用向量平行與垂直的直角坐標(biāo)表示運(yùn)算即可【自主解答】(1)(2，1,2)且c，設(shè)c(2，2)|c|3|3.解得1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0.即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.向量平行與垂直問題主要有以下兩種類型：一是判斷平行與垂直；一是利用平行與垂直求參數(shù)或其他問題解決這種問題時要注意：適當(dāng)引入?yún)?shù)參與運(yùn)算；建立關(guān)于參數(shù)的方程；準(zhǔn)確運(yùn)算再練一題3設(shè)a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.【解】(1)由于(kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)，即kaba3b，由于a與b不共線，所以有解得k；(2)由于(kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)0，即k|a|2(3k1)ab3|b|20，而|a|227，|b|238，ab8，所以27k8(3k1)1140，解得k.探究共研型空間直角坐標(biāo)系的特征探究1在建立空間直角坐標(biāo)系時，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置有關(guān)系嗎？【提示】(1)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置選取無關(guān)，因?yàn)橐粋€確定的幾何體，其“線線夾角”、“點(diǎn)點(diǎn)距離”是固定的，坐標(biāo)系的位置不同，只會影響其計(jì)算的繁簡(2)進(jìn)行向量的運(yùn)算時，在能建系的情況下盡量建系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，一般按照右手系建系，如圖所示探究2用坐標(biāo)表示空間向量的一般步驟是什么？【提示】用坐標(biāo)表示空間向量的一般步驟是：(1)觀察圖形、認(rèn)識圖形，并分析圖形特征(2)建系找出三條兩兩垂直的直線作軸，建立空間直角坐標(biāo)系(3)計(jì)算利用向量的線性運(yùn)算用基底表示目標(biāo)向量(4)結(jié)果根據(jù)線性運(yùn)算表示不確定向量的坐標(biāo)如圖2313所示，在棱長為a的正方體abcda1b1c1d1中，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da，dc，dd1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系過b作bmac1于m，求點(diǎn)m的坐標(biāo)圖2313【精彩點(diǎn)撥】寫出a，b，c1的坐標(biāo)，設(shè)出m的坐標(biāo)，利用條件bmac1及m在ac1上建立方程組，求解【自主解答】法一：設(shè)m(x，y，z)，由圖可知：a(a,0,0)，b(a，a,0)，c1(0，a，a)，則(a，a，a)，(xa，y，z)，(xa，ya，z)，0，a(xa)a(ya)az0，即xyz0.又，xaa，ya，za，即xaa，ya，za.由得x，y，z.m.法二：設(shè)(a，a，a)，(0，a,0)(a，a，a)(a，aa，a)bmac1，0即a2a2a2a20，解得，.m點(diǎn)坐標(biāo).構(gòu)建體系1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)對空間任意的兩個向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)若a與b共線，則.()(2)若a(x，y，z)則|a|x2y2z2.()(3)若向量(x1，y1，z1)，則點(diǎn)b的坐標(biāo)為(x1，y1，z1)()【解析】(1)若b0則不成立(2)|a|.(3)因需知a點(diǎn)坐標(biāo)方可求點(diǎn)b坐標(biāo)【答案】(1)(2)(3)2向量a(2,1，1)，b(3，2,1)，則下列結(jié)論正確的是()aab(5，1,1)bab(1，1,0)c2b(6，4,2)dab9【解析】ab(5，1,0)，ab(1,3，2)，2b(6，4,2)，ab23(2)11(1)3.【答案】c3已知向量a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，則x的值為()a3b4c5d6【解析】ab312x5(1)2.x5.【答案】c4已知a(2，1,2)，b(0，1,4)，則ab_.3b_，ab_.【解析】ab(20，11,24)(2，2,6)3b3(0，1,4)(0，3,12)ab20(1)(1)249.【答案】(2，2,6)(0，3,12)95已知a(