北師大版選修21 3.2.2.1拋物線的簡單性質 課件（34張）.pptx

2 2拋物線的簡單性質 第1課時拋物線的簡單性質 1 了解拋物線的軸 頂點 離心率 通徑的概念 2 掌握拋物線上的點的坐標的取值范圍 拋物線的對稱性 頂點 離心率等簡單性質 3 會用頂點及通徑的端點畫拋物線的草圖 一 拋物線y2 2px p 0 的簡單性質1 對稱性拋物線y2 2px p 0 關于x軸對稱 我們把拋物線的對稱軸叫作拋物線的軸 拋物線只有一條對稱軸 2 范圍拋物線y2 2px p 0 在y軸的右側 它的開口向右 這條拋物線上的任意一點m的坐標 x y 滿足不等式x 0 當x的值增大時 y 也增大 這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸 拋物線是無界曲線 3 頂點拋物線y2 2px p 0 和它的軸的交點叫作拋物線的頂點 拋物線的頂點坐標是 0 0 說明 1 要掌握拋物線的簡單幾何性質 如范圍 對稱性 頂點 開口方向等 學習利用拋物線方程研究拋物線的幾何性質的方法 也就是坐標法 以拋物線y2 2px p 0 為例 因為p 0 所以x 0 即拋物線在y軸右側 同時x增大時 y 也增大 說明拋物線向右上方和右下方無限延展 以 y代替y 方程不變 故拋物線關于x軸對稱 2 頂點即拋物線與坐標軸的交點 拋物線與橢圓比較 它只有一個焦點 一個頂點 一條對稱軸 4 離心率拋物線y2 2px p 0 上的點m到焦點的距離和它到準線的距離的比 叫作拋物線的離心率 用e表示 且e 1 做一做1 1 頂點在原點 坐標軸為對稱軸的拋物線 過點 16 4 則它的方程是 a x2 y或y2 64xb y2 x或x2 64yc x2 64yd y2 x答案 b 做一做1 2 若拋物線x2 2py p 0 上一點p到準線及對稱軸的距離分別為5和4 則p的縱坐標為 p的值為 解析 利用拋物線的定義和點p在拋物線上可解得 答案 4或12或8 二 通徑通過拋物線y2 2px p 0 的焦點且垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標分別為 連接這兩點的線段叫作拋物線的通徑 它的長為2p 這就是拋物線的標準方程中2p的一種幾何意義 做一做2 拋物線x2 4y的通徑為ab o為坐標原點 則 a 通徑ab的長為8 aob的面積為4b 通徑ab的長為8 aob的面積為2c 通徑ab的長為4 aob的面積為4d 通徑ab的長為4 aob的面積為2解析 ab 2p 4 s aob 1 4 2 答案 d 三 拋物線標準方程的四種形式 四 拋物線的焦點弦1 過拋物線焦點的直線與拋物線相交所截得的弦叫作拋物線的焦點弦 設拋物線的焦點為f 焦點弦的兩端點是a x1 y1 b x2 y2 則由 ab af bf 及焦半徑公式 見上節(jié) 可得焦點弦長公式如下表 做一做3 過拋物線y2 2px p 0 的焦點f且傾斜角為45 的直線交拋物線于a b兩點 若 ab 8 則p 答案 2 題型一 題型二 題型三 題型四 例1 根據(jù)下列條件 求拋物線的標準方程 1 頂點為坐標原點 對稱軸為x軸 經過點p 4 2 2 與拋物線y2 16x共頂點 且焦點在直線y 3x 1上 分析 1 對稱軸為x軸 過第一象限內的點p的拋物線只有開口向右的一條 2 求出直線與坐標軸的交點 即為拋物線的焦點 從而分類求解 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 例2 正三角形的一個頂點位于坐標原點 另外兩個頂點在拋物線y2 2px p 0 上 求這個三角形的邊長 分析 由于正三角形與拋物線都是軸對稱圖形 可以證明a b兩點關于x軸對稱 進而求出ab的長 題型一 題型二 題型三 題型四 所以 x1 x2 x1 x2 2p 0 因為x1 0 x2 0 2p 0 所以x1 x2 2p 0 所以x1 x2 即a b兩點關于x軸對稱 所以ab x軸 aox 30 題型一 題型二 題型三 題型四 反思解本題的關鍵是根據(jù)拋物線的對稱性和正三角形的性質證明a b兩點關于x軸對稱 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 反思本題是一個有關拋物線焦點弦的典型例題 在解決此類問題時 一定要注意斜率不存在的情況 巧妙運用一元二次方程根與系數(shù)的關系及拋物線的定義 題型一 題型二 題型三 題型四 變式訓練3 拋物線的頂點在原點 以x軸為對稱軸 經過焦點且傾斜角為135 的直線 被拋物線所截得的弦長為8 試求拋物線的標準方程 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 123456 1 拋物線y2 ax a 0 的焦點到其準線的距離是 答案 b 123456 123456 3 已知斜率為2的直線l過拋物線y2 ax a 0 的焦點f 且與y軸相交于點a 若 oaf o為坐標原點 的面積為4 則拋物線的標準方程為 答案 y2 8x 123456 123456 5 已知拋物線的頂點為坐標原點 以x軸為對稱軸 過焦點且垂直于x軸的弦ab的長為8 求該拋物線的方程 并指出它的焦點坐標和準線方程 解 當焦點在x軸的正半軸上時 設拋物線的方程為y2 2px p 0 故拋物線的方程為y2 8x 焦點坐標為 2 0 準線方程為x 2 當焦點在x軸的負半軸上時 設拋物線的方程為y2 2p