江蘇省口岸中學2017屆二輪復習小專題立體幾何中的“內(nèi)切”與“外接”問題的探究.doc

江蘇省口岸中學2017屆二輪復習小專題立體幾何中的“內(nèi)切”與“外接”問題的探究1 球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.1.1 球與正方體如圖1所示，正方體,設正方體的棱長為，為棱的中點，為球的球心。常見組合方式有三類：一是球為正方體的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，則；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則；三是球為正方體的外接球，截面圖為長方形和其外接圓，則.通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關系，確定好正方體的棱與球的半徑的關系，進而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題 。例 1 棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ ）A B CD1.2 球與長方體長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設長方體的棱長為其體對角線為.當球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑例 2 在長、寬、高分別為2，2，4的長方體內(nèi)有一個半徑為1的球，任意擺動此長方體，則球經(jīng)過的空間部分的體積為( ) A.B.4C.D. 1.3 球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多。下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法構造直角三角形法。設正三棱柱的高為，底面邊長為，如圖2所示，和分別為上下底面的中心。根據(jù)幾何體的特點，球心必落在高的中點，借助直角三角形的勾股定理，可求。例3 正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最 值，為 .2 球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.2.1 球與正四面體正四面體作為一個規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一，利用這點可順利解決球的半徑與正四面體的棱長關系。如圖4，設正四面體的棱長為，內(nèi)切球半徑為，外接球的半徑為，取的中點為，為在底面的射影，連接為正四面體的高。在截面三角形,作一個與邊和相切，圓心在高上的圓，即為內(nèi)切球的截面。因為正四面體本身的對稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為。此時， 則有解得：這個解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個球的半徑的等量關系進行求解.同時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數(shù)量關系，可為解題帶來極大的方便.例4 將半徑都為的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為 ( )A. B. 2+ C. 4+ D. 球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球為三棱錐的外接球.解決的基本方法是補形法，即把三棱柱補形成正方體或者長方體。常見兩種形式：一是三棱錐的三條棱互相垂直且相等，則可以補形為一個正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心。如圖5，三棱錐的外接球的球心和正方體的外接球的球心重合，設，則。二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且不相等，則可以補形為一個長方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心，（為長方體的體對角線長）。例5 在正三棱錐中，分別是棱的中點，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是 。2.3 球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據(jù)截面圖的特點，可以構造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6 在三棱錐PABC中，PAPB=PC=,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60，則該三棱錐外接球的體積為（ ） A B. C. 4D.2.4 球與特殊的棱錐球與一些特殊的棱錐進行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補形法、等進行求解。例如，四面體都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置。如圖8，三棱錐,滿足面，取的中點為，由直角三角形的性質(zhì)可得：,所以點為三棱錐的外接球的球心,則. 例7 矩形中，沿將矩形折成一個直二面角,則四面體的外接球的體積是( )A. B. C. D.3 球與球?qū)€多個小球結(jié)合在一起，組合成復雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當?shù)奶幚硎侄?，如準確確定各個小球的球心的位置關系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.例8 在半徑為的球內(nèi)放入大小相等的4個小球，則小球的半徑的最大值為（）4 球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達到明確球心的位置為目的，然后通過構造直角三角形進行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：.例8 把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（） A. B. C. D. 綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內(nèi)接問題解決這類問題的關鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進行轉(zhuǎn)化，問題即可得解如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解,此時結(jié)論的記憶必須準確.外接球內(nèi)切球問題1. （陜西理）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D 答案B2. 直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為. 3正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為 答案 84.表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為A B C D 答案 A【解析】此正八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以由知，則此球的直徑為，故選A。5.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于（ ）A.2 B. C. D. 答案 D6.（山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19 答案 C7.（海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為 答案 ABCPDEF8. （天津理）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為 答案 9.（全國理）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1 cm，那么該棱柱的表面積為 cm2. 答案 10.（遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是_ 答案 11.（遼寧省撫順一中）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 .答案 12.（棗莊一模）一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（ ）ABCD以上都不對答案C13.(吉林省吉林市)設正方體的棱長為，則它的外接球的表面積為（ ）A B2 C4D 答案C14（新課標理）已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上,是邊長為的正三角形,為球的直徑,且;則此棱錐的體積為（）ABCD15（遼寧文）已知點P,A,B,C,D是球O表面上的點,PA平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為2正方形.若PA=2,則OAB的面積為_.一選擇題（共2小題）1三棱錐A一BCD的一條棱長為a，其余棱長均為l當三棱錐ABCD的體枳最大時，它的外接球的表面積為（）ABCD【分析】由題意畫出三棱錐的圖形，知平面ABC平面BCD時，三棱錐ABCD的體積最大；求出此時a的值，設三棱錐外接圓的球心為O，半徑為R，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，從而求出外接球的表面積【解答】解：由題意畫出三棱錐的圖形，其中AB=BC=CD=BD=AC=1，AD=a；取BC，AD的中點分別為E，F(xiàn)，可知AEBC，DEBC，且AEDE=E，BC平面AED，平面ABC平面BCD時，三棱錐ABCD的體積最大，此時AD=a=AE=；設三棱錐外接圓的球心為O，半徑為R，則球心O在線段EF上，OA=OC=R，又EF=，設OF=xOE=x，R2=+x2=+，解得x=；球的半徑R滿足R2=+=，三棱錐外接球的表面積為4R2=4=故選：A【點評】本題考查空間想象能力，計算能力以及轉(zhuǎn)化能力的應用問題，是難題2在三棱錐ABCD中，ABC與BCD都是邊長為6的正三角形，平面ABC平面BCD，則該三棱錐的外接球的體積為（）A5B60C60D20【分析】取AD，BC中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，DF，求出EF，判斷三棱錐的外接球球心O在線段EF上，連接OA，OC，求出半徑，然后求解三棱錐的外接球的體積【解答】解：取AD，BC中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，DF，由題意知AFDF，AF=CF=3，EF=AD=，易知三棱錐的外接球球心O在線段EF上，連接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=DF2+OF2，R2=（）2+OE2，R2=32+（OE）2，R=三棱錐的外接球的體積為R3=20故選：D【點評】本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體的相關計算問題，對考生的空間想象能力與運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題，屬于較難題二填空題（共2小題）3如圖，三個半徑都是10cm的小球放在一個半球面的碗中，小球的頂端恰好與碗的上沿處于同于水平面，則這個碗的半徑R是cm【分析】根據(jù)三個小球和碗的相切關系，作出對應的正視圖和俯視圖，建立球心和半徑之間的關系即可得到碗的半徑【解答】解：分別作出空間幾何體的正視圖和俯視圖如圖：則俯視圖中，球心O（也是圓心O）是三個小球與半圓面的三個切點的中心，小球的半徑為10cm，三個球心之間的長度為20cm，即OA=cm，在正視圖中，球心B，球心O（同時也是圓心O），和切點A構成直角三角形，則OA2+AB2=OB2，其中OB=R10，AB=10，即，即R=10+=cm故答案為：【點評】本題主要考查了球的相切問題 的計算，根據(jù)條件作出正視圖和俯視圖，確定球半徑之間的關系是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大4已知三棱錐ABCD中，平面ABD平面BCD，BCCD，BC=CD=4，AB=AD=，則三棱錐ABCD的外接球的大圓面積為9【分析】利用已知三棱錐ABCD的特點AB=AC=AD，先確定ABD的外心O，及外接圓的半徑，然后證明O也是三棱錐ABCD的外接球的球心，即可解答【解答】解：如圖取BD的中點E，連接AE，CE則AEBD，CEBD平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，AE平面BCD，又CE平面BCD，AECE設ABD的外接圓的圓心為O，半徑為rAB=AD，圓心O在AE所在的直線上r2=BE2+OE2=BE2+（rAE）2在RtBCD中，BD=4BE=EC=2在RtABE中，AE=2r2=8+（r2）2，解得r=3OE=1在RtOEC中，OC=3OA=OB=OC=OD=3點O是三棱錐ABCD的外接球的球心，則球半徑R=3大圓面積S=R2=9故答案為：9【點評】本題考查球內(nèi)接多面體及其度量，考查空間想象能力，計算能力，解答的關鍵是確定球心位置，利用已知三棱錐的特點是解決問題關鍵，屬于難題三解答題（共2小題）5四棱錐PABCD中，ABCD為矩形，AD=2，AB=2，PA=PD，APD=，且平面PAD平面ABCD（1）證明：PAPC；（2）求四棱錐PABCD的外接球的體積【分析】（1）設AD的中點為E，證明PA平面PCD，即可證明PAPC；（2）連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點F，取截面PEF，利用勾股定理求出球的半徑，即可求四棱錐PABCD的外接球的體積【解答】證明：（1）設AD的中點為E，則PA=PD，PEAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PE平面ABCD，PA在平面ABCD內(nèi)的射影為AE，AECD，PACD，PAPD，CDPD=D，PA平面PCDPAPC；解：（2）連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點F，取截面PEF，PE=，EF=1假設OF=x，則由OA2=x2+4=1+得x=0，球的半徑為2，四棱錐PABCD的外接球的體積為=【點評】本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查四棱錐PABCD的外接球的體積，屬于中檔題6 已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上若圓錐底面面積是這個球面面積的，求這兩個圓錐中，體積較小者與體積較大者的高的比值【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形設出球的半徑，求出球的面