2拋物線(二次函數(shù))中的直角三角形.doc

拋物線中的直角三角形基本題型：已知，拋物線，點(diǎn)在拋物線上（或坐標(biāo)軸上，或拋物線的對(duì)稱軸上），若為直角三角形，求點(diǎn)坐標(biāo)。分兩大類進(jìn)行討論：（1）為斜邊時(shí)（即）：點(diǎn)在以為直徑的圓周上。（2）為直角邊時(shí)，分兩類討論：以為直角時(shí)（即）：以為直角時(shí)（即）：利用兩點(diǎn)的斜率公式求出，因?yàn)閮芍本€垂直斜率乘積為，進(jìn)而求出（或）的斜率；進(jìn)而求出（或）的解析式；將（或）的解析式與拋物線（或坐標(biāo)軸，或拋物線的對(duì)稱軸）的解析式聯(lián)立即可求出點(diǎn)坐標(biāo)。典型例題：例1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M,若直線MC的函數(shù)表達(dá)式為,與x軸的交點(diǎn)為N，且COSBCO。（1）求拋物線的解析式； (2)在此拋物線上是否存在異于點(diǎn)C的點(diǎn)P，使以N、P、C為頂點(diǎn)的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由； (3)過點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線MC于點(diǎn)Q.若將拋物線沿其對(duì)稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點(diǎn)，則拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長度?向下最多可平移多少個(gè)單位長度?（2009年成都）例2、如圖，拋物線，與軸交于點(diǎn)，且（I）求拋物線的解析式；（II）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由； （III）直線交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)若，的值例3、在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），如圖所示，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B。（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）求拋物線的解析式； （3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。同步訓(xùn)練：1、(淮安)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P，與x軸交點(diǎn)為 A、B，與y軸交點(diǎn)為C連結(jié)BP并延長交y軸于點(diǎn)D。 (1)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)連結(jié)AP，如果APB為等腰直角三角形，求a的值及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)； (3)在(2)的條件下，連結(jié)BC、AC、AD，點(diǎn)E(0，b)在線段CD(端點(diǎn)C、D除外)上,將BCD繞點(diǎn)E逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，得到一個(gè)新三角形設(shè)該三角形與ACD重疊部分的面積為S，根據(jù)不同情況，分別用含b的代數(shù)式表示S選擇其中一種情況給出解答過程，其它情況直接寫出結(jié)果；判斷當(dāng)b為何值時(shí),重疊部分的面積最大?寫出最大值2（福建寧德市）、如圖，已知拋物線C1：的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值； （2）如圖（1），拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱時(shí)，求C3的解析式；（3）如圖（2），點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180后得到拋物線C4拋物線C4的頂點(diǎn)為N，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo) yxAOBPN圖2C1C4QEF圖（2）yxAOBPM圖1C1C2C3圖（1） 3、如圖14（1），拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）圖14（2）、圖14（3）為解答備用圖（1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）在拋物線上求點(diǎn)Q，使BCQ是以BC為直角邊的直角三角形圖14（1）圖14（2）圖14（3）4、（2011潼南縣）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D（1）求b，c的值；（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：求以點(diǎn)E、B、F、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積；在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由5（遼寧省營口市）如圖，正方形ABCO的邊長為，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，把正方形ABCO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形A1B1C1O(45)，B1C1交y軸于點(diǎn)D，且D為B1C1的中點(diǎn)，拋物線yax 2bxc過點(diǎn)A1、B1、C1（1）求tan的值；（2）求點(diǎn)A1的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)B1、點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（3）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其對(duì)稱軸；（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使PB1C1為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由BAyOCxA1B1C1D6（四川省眉山市）如圖，已知直線yx1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線yx 2bxc與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)（1）求該拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使|AMMC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)yxCBADOEy7（福建省三明市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查）如圖，拋物線yax 2bx2與x軸的交點(diǎn)是A(3，0)、B(6，0)，與y軸的交點(diǎn)是C（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)P(x，y)(0 x 6)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQy軸交直線BC于點(diǎn)Q當(dāng)取何值時(shí)，線段PQ的長度取得最大值？其最大值是多少？yAOBPxCQ是否存在這樣的點(diǎn)P，使OAQ為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由8如圖（1），拋物線與y軸交于點(diǎn)A，E（0，b）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線與拋物線交于點(diǎn)B、C.（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2)當(dāng)b=0時(shí)（如圖（2），與的面積大小關(guān)系如何？當(dāng)時(shí)，上述關(guān)系還成立嗎，為什么？（3）是否存在這樣的b，使得是以BC為斜邊的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，說明理由. 圖（1）圖（2）例一答案：例三：（1）過點(diǎn)作軸，垂足為，； 又， 3分點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則得到，解得，所以拋物線的解析式為； （3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得仍然是以為直角邊的等腰直角三角形：若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；則延長至點(diǎn)，使得，得到等腰直角三角形， 過點(diǎn)作軸，；，可求得點(diǎn)； 若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；則過點(diǎn)作，且使得，得到等腰直角三角形， 過點(diǎn)作軸，同理可證； ，可求得點(diǎn)； 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)與點(diǎn)都在拋物線上 練習(xí)2：解：（1）由拋物線C1：y=a（x+2）2-5得，頂點(diǎn)P的為（-2，-5），（2分）點(diǎn)B（1，0）在拋物線C1上，0=a（x+2）2-5，解得，a=59；（4分）（2）拋物線C2是由拋物線C1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180得到的，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-5）頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，5）設(shè)拋物線C2的解析式為：y=a（x-4）2+5，又拋物線C2過點(diǎn)B（1，0），代入B點(diǎn)解得：a=-59，故C2的解析式為：y=-59（x-4）2+5（3）拋物線C3由C1繞點(diǎn)x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180得到，頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5，設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5），（9分）作PHx軸于H，作NGx軸于G作PKNG于K，旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上，EF=AB=2BH=6，F(xiàn)G=3，點(diǎn)F坐標(biāo)為（m+3，0）H坐標(biāo)為（-2，0），K坐標(biāo)為（m，-5），根據(jù)勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，（10分）PNF=90時(shí)，PN2+NF2=PF2，解得m=443，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（ 193，0）當(dāng)PFN=90時(shí)，PF2+NF2=PN2，解得m=103，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（ 23，0）PNNK=10NF，NPF90綜上所得，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（ 193，0）或（ 23，0）時(shí)，以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形練習(xí)4：解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（4，5），&1b+c=0&16+4b+c=5，解得：b=2，c=3；（2）如圖：直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（4，5），直線AB的解析式為：y=x+1，二次函數(shù)y=x22x3，設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t32）2+254，當(dāng)t=32時(shí)，EF的最大值為254，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（32，52）；（3）如圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形EBFD可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（32，154），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）S四邊形EBFD=SBEF+SDEF=12254（432）+12254（321）=758；如圖：）過點(diǎn)E作aEF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m22m3）則有：m22m