二次函數(shù)（一）.ppt

二次函數(shù)及其表達(dá)式 1 形如 a b c為常數(shù) a 0 的函數(shù)叫做關(guān)于x的二次函數(shù) 思考1 函數(shù)y ax2 bx c當(dāng)a時(shí)是二次函數(shù) 當(dāng)a 0 b 0時(shí)是一次函數(shù) 當(dāng)a 0 b 0 c 0時(shí)是正比例函數(shù) 2 三種表達(dá)形式 一般式 a b c為常數(shù) a 0 頂點(diǎn)式 a 0 h k 是拋物線頂點(diǎn) 交點(diǎn)式 a 0 x1 x2是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 第12講二次函數(shù) 一 y ax2 bx c 0 y ax2 bx c y a x h 2 k y a x x1 x x2 1 二次函數(shù)的圖象是一條 2 二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象和性質(zhì) 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ?？键c(diǎn) 拋物線 增大 減小 減小 增大 思考2 1 兩個(gè)二次函數(shù)形狀相同 開口方向相同 則二次項(xiàng)系數(shù) 2 兩個(gè)二次函數(shù)形狀相同 開口方向相反 則二次項(xiàng)系數(shù) 3 拋物線y ax2 bx c中a b c的作用 1 a決定 a 0 拋物線開口 a0 拋物線與y軸交于正半軸 c 0 拋物線與y軸交于半軸 思考3 函數(shù)y ax2 bx c 當(dāng)x 1時(shí) y 當(dāng)x 1時(shí) y 相等 互為相反數(shù) 開口方向 向上 向下 越小 越大 y軸 左側(cè) 右側(cè) 負(fù) a b c a b c y ax2 a 0 y a x h 2 k a 0 平移規(guī)律 上加下減 左右 實(shí)際是的平移 二次函數(shù)圖象的平移 加 減 頂點(diǎn) 1 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的解就是二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo) 2 拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由的符號(hào)決定 b2 4ac 0時(shí)拋物線與x軸有個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)b2 4ac 0時(shí) 拋物線與x軸有個(gè)交點(diǎn) b2 4ac 0時(shí) 拋物線與x軸交點(diǎn) 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 橫 b2 4ac 2 1 沒有 解析 二次函數(shù)y x2 2x 3的二次項(xiàng)系數(shù)為a 1 0 函數(shù)圖象開口向上 y x2 2x 3 x 1 2 4 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 4 故選A 二次函數(shù)y x2 2x 3的開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 A 開口向上 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 4 B 開口向下 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 4 C 開口向上 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 4 D 開口向下 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 4 A 1 2016懷化 在平面直角坐標(biāo)系中 將拋物線y 3x2先向右平移1個(gè)單位 再向上平移2個(gè)單位 得到拋物線解析式是 A y 3 x 1 2 2 B y 3 x 1 2 2 C y 3 x 1 2 2 D y 3 x 1 2 2 C 2 2014包頭 解析 觀察圖象可得a 0 對(duì)稱軸為直線x 1 1 b 2a0 當(dāng)x 1時(shí) y 0 4a 2b c 0 a b c 0 故 錯(cuò)誤 正確 當(dāng)x 1時(shí) y 0 即a b c 0 a c 2 b2 a b c a b c 0 a c 2 b2 正確 故選C 已知二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象如圖所示 下列結(jié)論 b0 a c 2 b2 其中正確的結(jié)論是 A B C D C 3 2013包頭 B C 如圖 拋物線y x2 bx c交x軸于點(diǎn)A 1 0 交y軸于點(diǎn)B 對(duì)稱軸是x 2 1 求拋物線的解析式 6 2015黑龍江 2 點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 是否存在點(diǎn)P 使 PAB的周長(zhǎng)最小 若存在 求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 核心母題 思路點(diǎn)撥 根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象確定a b c的符號(hào) 再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可做出判斷 例1 2016湖北 一次函數(shù)y ax b和反比例函數(shù)y 在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示 則二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象大致為 C 關(guān)于拋物線y x2 2x 1 下列說法錯(cuò)誤的是 A 開口向上 B 與x軸有兩個(gè)重合的交點(diǎn) C 對(duì)稱軸是直線x 1 D 當(dāng)x 1時(shí) y隨x的增大而減小 D 考向訓(xùn)練1 1 2016益陽(yáng) 二次函數(shù)y 2x2 3的圖象是一條拋物線 下列關(guān)于該拋物線的說法 正確的是 A 拋物線開口向下 B 拋物線經(jīng)過點(diǎn) 2 3 C 拋物線的對(duì)稱軸是直線x 1 D 拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn) D 考向訓(xùn)練1 2 2016成都 解析 A a 2 則拋物線y 2x2 3的開口向上 所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤 B 當(dāng)x 2時(shí) y 2 4 3 5 則拋物線不經(jīng)過點(diǎn) 2 3 所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤 C 拋物線的對(duì)稱軸為直線x 0 所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤 D 當(dāng)y 0時(shí) 2x2 3 0 此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解 所以D選項(xiàng)正確 故選D 已知二次函數(shù)y ax2 bx c中 函數(shù)y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下 則當(dāng)y 5時(shí) x的取值范圍是 0 x 4 考向訓(xùn)練1 3 解析 由表格中的數(shù)據(jù)可知 x 2是拋物線的對(duì)稱軸 且頂點(diǎn)為最小值 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得 當(dāng)y 5時(shí) x 0或x 4 所以當(dāng)y 5時(shí) x的取值范圍是0 x 4 二次函數(shù)的平移 核心母題 將拋物線y x2 4x 4向左平移3個(gè)單位 再向上平移5個(gè)單位 得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 A y x 1 2 13 B y x 5 2 3 C y x 5 2 13 D y x 1 2 3 D 例2 2016山西 思路點(diǎn)撥 先把一般式化成頂點(diǎn)式 再根據(jù)平移規(guī)律得到平移后的關(guān)系式 解析 因?yàn)閥 x2 4x 4 x 2 2 8 所以拋物線y x2 4x 4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2 8 把點(diǎn) 2 8 向左平移3個(gè)單位 再向上平移5個(gè)單位所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 1 3 所以平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y x 1 2 3 故選D 二次函數(shù)的平移規(guī)律 m 0 把拋物線y x2先向右平移2個(gè)單位 再向上平移3個(gè)單位 平移后拋物線的表達(dá)式是 y x 2 2 3 考向訓(xùn)練2 1 2016舟山 解析 拋物線y x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 0 0 點(diǎn) 0 0 向右平移2個(gè)單位 再向上平移3個(gè)單位所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 2 3 所以平移后拋物線的表達(dá)式為y x 2 2 3 將拋物線y x 1 2向下平移2個(gè)單位 再向右平移1個(gè)單位 得到的拋物線解析式為 y x2 2 考向訓(xùn)練2 2 要得到二次函數(shù)y x2 2x 3的圖象 需將y x2的圖象 A 向左平移1個(gè)單位 再向上平移4個(gè)單位 B 向右平移1個(gè)單位 再向上平移4個(gè)單位 C 向左平移1個(gè)單位 再向下平移2個(gè)單位 D 向右平移1個(gè)單位 再向下平移2個(gè)單位 B 考向訓(xùn)練2 3 拋物線y x2 bx c的圖象先向右平移2個(gè)單位 再向下平移3個(gè)單位 所得圖象的函數(shù)解析式為y x 1 2 4 則b c的值為 A b 2 c 6 B b 2 c 0 C b 6 c 8 D b 6 c 2 B 考向訓(xùn)練2 4 解析 函數(shù)y x 1 2 4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 4 先向右平移2個(gè)單位 再向下平移3個(gè)單位得到 1 2 1 4 3 1 平移前的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 1 平移前的拋物線為y x 1 2 1 即y x2 2x b 2 c 0 二次函數(shù)的圖象與a b c的關(guān)系 核心母題 如圖 已知二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象如圖所示 給出以下四個(gè)結(jié)論 abc 0 a b c 0 a b 4ac b2 0 其中正確的結(jié)論有 A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè) 例3 2016棗莊 C 特殊代數(shù)式a b c a b c 4a 2b c 4a 2b c等的符號(hào) 由圖象上點(diǎn) 1 a b c 1 a b c 2 4a 2b c 2 4a 2b c 位置確定 即由當(dāng)x 1 1 2 2時(shí)點(diǎn)的位置確定 考向訓(xùn)練3 1 2015巴中 已知二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象如圖所示 對(duì)稱軸是直線x 1 下列結(jié)論 abc0 4a 2b c 0 其中正確的是 A B 只有 C D D 已知二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸交于點(diǎn) 2 0 x1 0 且10 其中正確的結(jié)論是 A B C D 考向訓(xùn)練3 2 昆區(qū)模擬 C 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象如圖所示 則下列結(jié)論 a 0 c 0 b 0 b2 4ac 0 其中正確的個(gè)數(shù)有 A 0個(gè) B 1個(gè) C 2個(gè) D 3個(gè) 考向訓(xùn)練3 3 D 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象如圖所示 對(duì)稱軸是直線x 1 則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是 A c 0 B 2a b 0 C b2 4ac 0 D a b c 0 考向訓(xùn)練3 4 包頭模擬 D 已知二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象如圖所示 有以下結(jié)論 a b c1 abc 0 4a 2b c1其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 A B C D 考向訓(xùn)練3 5 包頭模擬 C 確定二次函數(shù)的解析式 核心母題 例4 6分 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi) 拋物線y ax2 bx c經(jīng)過原點(diǎn)O A 2 2 與B 1 5 三點(diǎn) 1 求拋物線的表達(dá)式 思路點(diǎn)撥 1 把三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式 求得a b c的值即可 規(guī)范解答 2 求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥 2 把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式 即得頂點(diǎn)坐標(biāo) 規(guī)范解答 注意 把坐標(biāo)代入后列出方程組 否則扣分 按要求寫出函數(shù)的表達(dá)式 否則扣分 確定二次函數(shù)的解析式 待定系數(shù)法 1 已知拋物線上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)一般式 2 已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸可設(shè)頂點(diǎn)式 3 已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)交點(diǎn)式 考向訓(xùn)練4 1 2016丹陽(yáng)市模擬 拋物線的圖象如圖 則它的函數(shù)表達(dá)式是 當(dāng)時(shí) y 0 y x2 4x 3 x3 解析 觀察可知拋物線的圖象經(jīng)過 1 0 3 0 0 3 由 交點(diǎn)式 得拋物線解析式為y a x 1 x 3 將 0 3 代入 得3 a 0 1 0 3 解得a 1 故函數(shù)表達(dá)式為y x2 4x 3 由圖可知當(dāng)x3時(shí) y 0 考向訓(xùn)練4 2 包頭中考改編 已知拋物線y x2 bx c經(jīng)過點(diǎn)A 3 0 B 1 0 1 求拋物線的解析式 2 求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) 解 1 拋物線y x2 bx c經(jīng)過點(diǎn)A 3 0 B 1 0 拋物線的解析式為y x 3 x 1 即y x2 2x 3 2 拋物線的解析式為y x2 2x 3 x 1 2 4 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 4 二次函數(shù)與方程 不等式的關(guān)系 易錯(cuò)點(diǎn) 核心母題 若二次函數(shù)y ax2 2ax c的圖象經(jīng)過點(diǎn) 1 0 則方程ax2 2ax c 0的解為 A x1 3 x2 1 B x1 1 x2 3 C x1 1 x2 3 D x1 3 x2 1 思路點(diǎn)撥 先求出拋物線的對(duì)稱軸 再根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出答案 例5 2016宿遷 C 解析 二次函數(shù)y ax2 2ax c的圖象經(jīng)過點(diǎn) 1 0 方程ax2 2ax c 0一定有一個(gè)解為x 1 拋物線的對(duì)稱軸為直線x 1 二次函數(shù)y ax2 2ax c的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 3 0 方程ax2 2ax c 0的解為x1 1 x2 3 故選C 關(guān)于二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)a的討論 1 若函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn) 則需分類討論 當(dāng)a 0時(shí)為一次函數(shù) 當(dāng)a 0時(shí) b2 4ac 0 2 若函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn) 則函數(shù)是二次函數(shù) 除b2 4ac 0外 不要漏掉隱藏條件a 0 已知二次函數(shù)y x2 3x m m為常數(shù) 的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為 1 0 則關(guān)于x的一元二次方程x2 3x m 0的兩實(shí)數(shù)根是 A x1 1 x2 1 B x1 1 x2 2 C x1 1 x2 0 D x1 1 x2 3 解析 二次函數(shù)的解析式是y x2 3x m m為常數(shù) 該拋物線的對(duì)稱軸是x 又 二次函數(shù)y x2 3x m m為常數(shù) 的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為 1 0 該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是 2 0 關(guān)于x的一元二次方程x2 3x m 0的兩實(shí)數(shù)根分別是x1 1 x2 2 故選B 考向訓(xùn)練5 1 B 如圖 已知直線y kx b k 0 與拋物線y x2交于A B兩點(diǎn) A B兩點(diǎn)分別位于第二和第一象限 且A B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是1和9 則不等式x2 kx b 0的解集為 A 13 C 13 解析 由x2 kx b 0得x2 kx b A B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是1和9 點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 1 點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3 當(dāng)x3時(shí) 拋物線圖象在直線圖象上方 故不等式x2 kx b 0的解集為x3 故選B 考向訓(xùn)練5 2 B 若二次函數(shù)y ax2 bx c a0成立的x的取值范圍是 A x2 B 4 x 2 C x 4或x 2 D 4 x 2 解析 二次函數(shù)y ax2 bx c a0成立的x的取值范圍是 4 x 2 故選D 考向訓(xùn)練5 3 D 已知二次函數(shù)y kx2 2k 1 x 1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1 x2 且x1x2時(shí) y 0 x1 1 其中正確的結(jié)論是 A B C D 解析 拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1 x2 且x10 即x1 1 故 正確 故選C 考向訓(xùn)練5 4 C 若關(guān)于x的一元二次方程 x 2 x 3 m有實(shí)數(shù)根x1 x2 且x1 x2 有下列結(jié)論 x1 2 x2 3 m 二次函數(shù)y x x1 x x2 m的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 2 0 和 3 0 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 A 0 B 1 C 2 D 3 考向訓(xùn)練5 5 C 4 二次函數(shù)與圖形綜合應(yīng)用 核心母題 例6 如圖 拋物線y x2 bx c與x軸交于A 1 0 B 3 0 兩點(diǎn) 1 求該拋物線的解析式 思路點(diǎn)撥 1 把點(diǎn)A B坐標(biāo)代入解析式 求出b c的值 2 設(shè)拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P 當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到什么位置時(shí) 滿足S PAB 8 并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥 2 根據(jù)S PAB 8 求得P的縱坐標(biāo) 把縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解 根據(jù)三角形面積求拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo) 1 設(shè)出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo) 2 根據(jù)三角形面積公式列方程 求出點(diǎn)的縱 橫 坐標(biāo) 3 把點(diǎn)的縱 橫 坐標(biāo)代入解析式 確定點(diǎn)的坐標(biāo) 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)A在拋物線y x2 2x 2上運(yùn)動(dòng) 過點(diǎn)A作AC x軸于點(diǎn)C 以AC為對(duì)角線作矩形ABCD 連接