2020版高三數(shù)學二輪復習（全國理）講義：專題九 第六講填空題的解題方法.docx

教學資料范本2020版高三數(shù)學二輪復習（全國理）講義：專題九 第六講填空題的解題方法編 輯：_時 間：_T 題型地位數(shù)學填空題是一種只要求寫出結(jié)果.不要求寫出解答過程的客觀性試題.填空題的類型一般可分為完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開放的填空題.這說明了填空題是數(shù)學高考命題改革的試驗田.創(chuàng)新型的填空題將會不斷出現(xiàn)填空題的分值一般占全卷的13%左右題型特點根據(jù)填空時所填寫的內(nèi)容形式.可以將填空題分成兩種類型：(1)定量型.要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系.如方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等由于填空題和選擇題相比.缺少選項的信息.所以高考題多以定量型問題出現(xiàn)(2)定性型.要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對象或者填寫給定數(shù)學對象的某種性質(zhì).如填寫給定二次曲線的焦點坐標、離心率等.近幾年又出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題解題策略數(shù)學填空題絕大多數(shù)是計算型(尤其是推理計算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試題.解答時必須按規(guī)則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷.幾乎沒有間接方法可言.更是無從猜答.所以在解填空題時.一般要有合理的分析和判斷.要求推理、運算的每一步都正確無誤.并且還要將答案表達準確、完整合情推理、優(yōu)化思路、少算多思是快速、準確解答填空題的基本要求.簡言之.解填空題的基本原則是“小題不能大做”.基本策略就是“準”“巧”“快”其基本方法一般有直接求解法、圖象法和特殊法以及等價轉(zhuǎn)化法等另外.在解答填空題時還應注意以下幾點：(1)結(jié)果要書寫規(guī)范.如分式的分母不含根式.特殊角的函數(shù)要寫出函數(shù)值.近似計算要達到精確度要求等(2)結(jié)果要完整.如函數(shù)的解析式要寫出定義域.應用題不要忘記寫單位.求軌跡要排除不滿足條件的點等(3)結(jié)果要符合教材要求.如求不等式的解集要寫成集合或區(qū)間的形式.不能只用一個不等式表示總之.解填空題的基本原則是“直撲結(jié)果”對于計算型的試題.多通過直接計算求得結(jié)果.這是解決填空題的基本方法它是直接從題設出發(fā).利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論.通過巧妙地變形.直接得到結(jié)果的方法要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì).有意識地采取靈活、簡捷的解法解決問題 例1 (1)設ABC的內(nèi)角A.B.C的對邊分別為a.b.c.且a2.cosC.3sinA2sinB.則c4.解析在ABC中.因為3sinA2sinB由正弦定理可知3a2b.因為a2.所以b3.由余弦定理可知c2a2b22abcosC4922316.所以c4.(2)(20xx江蘇卷)已知函數(shù)f(x)x32xex.其中e是自然對數(shù)的底數(shù)若f(a1)f(2a2)0.則實數(shù)a的取值范圍是1.解析因為f(x)(x)32(x)exx32xexf(x)所以f(x)x32xex是奇函數(shù).因為f(a1)f(2a2)0.所以f(2a2)f(a1).即f(2a2)f(1a)因為f (x)3x22exex3x2223x20.所以f(x)在R上單調(diào)遞增.所以2a21a.即2a2a10.所以1a.規(guī)律總結(jié)直接法是解決計算型填空題最常用的方法.在計算過程中.我們要根據(jù)題目的要求靈活處理.多角度思考問題.注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用.將計算過程簡化從而得到結(jié)果.這是快速準確地求解填空題關(guān)鍵G 1已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù).當0x1時.f(x)4x.則ff2.解析因為函數(shù)f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù).所以f(1)f(1).f(1)f(12)f(1).所以f(1)f(1).即f(1)0.ffff42.所以ff(1)2.2(20xx山東高考)在平面直角坐標系xOy中.雙曲線1(a0.b0)的右支與焦點為F的拋物線x22py(p0)交于A.B兩點若|AF|BF|4|OF|.則該雙曲線的漸近線方程為yx.解析設A(x1.y1).B(x2.y2)由得a2y22pb2ya2b20.y1y2.又|AF|BF|4|OF|.y1y24.即y1y2p.p.即.雙曲線的漸近線方程為yx.當填空題已知條件中含有某些不確定的量.但填空題的結(jié)論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時.可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)進行處理.從而得出探求的結(jié)論為保證答案的正確性.在利用此方法時.一般應多取幾個特例 例2 拋物線y22px(p0)的焦點為F.其準線經(jīng)過雙曲線1(a0.b0)的左頂點.點M是這兩條曲線的一個交點.且|MF|2p.則雙曲線的漸近線方程為yx.解析由拋物線的定義可知.點M到準線xa的距離就是|MF|2p.不妨設點M在第一象限.則點M的橫坐標為.代入y22px.得點M(.p).即M(3a,2a).代入1.得.所以雙曲線的漸近線方程為yx.規(guī)律總結(jié)特例法的理論依據(jù)：若對所有值都成立.那么特殊值也成立我們可以利用填空題不需要過程、只需要結(jié)果這一“弱點”.“以偏概全”來求解G 如圖.在ABC中.點M是BC的中點.過點M的直線與直線AB、AC分別交于不同的兩點P、Q.若.則2.解析由題意可知.的值與點P、Q的位置無關(guān).而當直線PQ與直線BC重合時.則有1.所以2.對于一些含有幾何背景的填空題.若能根據(jù)題目中的條件.作出符合題意的圖形.并通過對圖形的直觀分析、判斷.即可快速得出正確結(jié)果這類問題的幾何意義一般較為明顯.如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等.求解的關(guān)鍵是明確幾何含義.準確規(guī)范地作出相應的圖形 例3 若函數(shù)yf(x)(xR)滿足f(x1)f(x1)且x1,3時.f(x)x24x3.函數(shù)g(x)則方程f(x)g(x)0在區(qū)間3,3上根的個數(shù)為4.解析由f(x1)f(x1)得f(x2)f(x).可知此函數(shù)是周期為2的周期函數(shù).因為方程f(x)g(x)0在區(qū)間3,3內(nèi)根的個數(shù).即函數(shù)f(x)和g(x)圖象交點的個數(shù)畫出f(x)和g(x)的圖象(如圖所示).得兩圖象有4個交點.即方程f(x)g(x)0在區(qū)間3,3上根的個數(shù)為4.規(guī)律總結(jié)數(shù)形結(jié)合的重點是“以形助數(shù)”.在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識.做到心中有圖.見數(shù)想圖.以開拓自己的思維使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義.解題時要準確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應關(guān)系.準確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解G 函數(shù)f(x)4cos2cos2sinx|ln(x1)|的零點個數(shù)為2.解析函數(shù)f(x)4cos2cos2sinx|ln(x1)|的零點個數(shù)等價于方程4cos2cos2sinx|ln(x1)|0的根的個數(shù).即函數(shù)g(x)4cos2cos2sinxsin2x與h(x)|ln(x1)|的圖象交點個數(shù)分別畫出其函數(shù)圖象的草圖如圖所示.由圖可知.函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有2個交點用構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學模型.從而簡化推導與運算過程構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎之上的.首先應觀察題目.觀察已知(例如代數(shù)式)形式上的特點.然后積極調(diào)動思維.聯(lián)想、類比已學過的知識及各種數(shù)學結(jié)構(gòu)、數(shù)學模型.深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數(shù)背景).從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學模型.達到快速解題的目的 例4 (1)如圖.已知球O的球面上有四點A.B.C.D.DA平面ABC.ABBC.DAABBC.則球O的體積等于.解析如圖.以DA.AB.BC為棱長構(gòu)造正方體.設正方體的外接球球O的半徑為R.則正方體的體對角線長即為球O的直徑.所以CD2R.所以R.故球O的體積V.(2)已知f(x)為定義在(0.)上的可導函數(shù).且f(x)xf (x)恒成立.則不等式x2f()f(x)0的解集為( C )A(0,1)B(1,2)C(1.) D(2.)解析設g(x).則g(x).又因為f(x)xf (x).所以g(x)0g()g(x).則有1.故選C規(guī)律總結(jié)構(gòu)造法實質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應用.需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向.通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型.從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題G 設f(x)是定義在(0.)上的函數(shù).其導函數(shù)為f (x).且f (x)f(x).則關(guān)于x的不等式xf(1)ef(ln x)的解集為(1.e).解析設函數(shù)g(x).則g(x)0時.不等式xf(1).即.所以0ln x1.即1xe.多選型問題給出多個命題或結(jié)論.要求從中選出所有滿足條件的命題或結(jié)論.這類問題要求較高.涉及圖形、符號和文字語言.要準確閱讀題目.讀懂題意.通過推理證明.命題或結(jié)論之間正反互推.相互印證.也可舉反例判斷錯誤的命題或結(jié)論 例5 對于函數(shù)f(x)給出下列四個結(jié)論：該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；當且僅當xk(kZ)時.該函數(shù)取得最小值1；該函數(shù)的圖象關(guān)于x2k(kZ)對稱；當且僅當2kx2(kZ)時.0f(x).其中正確結(jié)論的序號是.(請將所有正確結(jié)論的序號都填上)解析如圖所示.作出f(x)在區(qū)間0,2上的圖象由圖象易知.函數(shù)f(x)的最小正周期為2；在x2k(kZ)和x2k(kZ)時.該函數(shù)都取得最小值1.故錯誤由圖象知.函數(shù)圖象關(guān)于直線x2k(kZ)對稱；當且僅當2kx2k(kZ)時.0f(x).故正確規(guī)律總結(jié)正反互推法適用于多選型問題.這類問題一般有兩種形式.一是給出總的已知條件.判斷多種結(jié)論的真假；二是多種知識點的匯總考查.主要覆蓋考點功能兩種多選題在處理上不同.前者需要扣住已知條件進行分析.后者需要獨立利用知識逐項進行判斷.利用正反互推結(jié)合可以快速解決這類問題G 已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù).當x0時.有f(x1)f(x).且當x0,1)時.f(x)log2(x1).給出下列命題：f(2 017)f(2 018)的值為0；函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)；直線yx與函數(shù)f(x)的圖象有1個交點；函數(shù)f(x)的值域為(1,1)其中正確的命題序號有.解析根據(jù)題意.可在同一坐標系中畫出直線yx和函數(shù)f(x)的圖象如下：根據(jù)圖象可知f(2 017)f(2 018)0正確.函數(shù)f(x)在定義域上不是周期函數(shù).所以不正確.根據(jù)圖象確實只有一個交點.所以正確.根據(jù)圖象.函數(shù)f(x)的值域是(1,1).正確對于概念與性質(zhì)的判斷等類型的填空題.應按照相關(guān)的定義、性質(zhì)、定理等進行合乎邏輯的推理和判斷.尤其是新定義型問題必須進行嚴密的邏輯推理.才能得到正確的結(jié)果 例6 (20xx貴陽監(jiān)測)已知不等式1.1.1.照此規(guī)律總結(jié)出第n個不等式為1.解析由已知.三個不等式可以寫成1.1.1.所以照此規(guī)律可得到第n個不等式為1.規(guī)律總結(jié)推理法多用于新定義型填空題.只要能讀懂題意.認真歸納類比即可得出結(jié)論.但在推理過程中要嚴格按照定義的法則或