4.3 線性算子的正則集與譜.doc

4.3 線性算子的正則集與譜4.3.1 特征值與特征向量有限維線性空間上線性變換的特征值與特征向量的概念是大家了解的。在微分方程和積分方程中也有特征值與特征向量的概念?，F(xiàn)在把它拓廣到一般的線性空間上來。就有限維空間看，線性變換的特征值一般是復(fù)的，因此算子譜論一般總是在復(fù)空間上進(jìn)行討論。例如伏特拉 (Volterra) 型積分方程：， (4.3.1)其中是一個常數(shù)?？疾斓降挠成洌簩?，：. (4.3.2)對比(4.3.2)，考察一般的算子方程. (4.3.3)顯然(4.3.3)式的解是否存在及唯一，都與的值有關(guān)：(1) 對的某些值，算子方程(4.3.3)可能存在唯一解；(2) 對的某些值，算子方程(4.3.3)可能存在解，但不唯一；(3) 對的某些值，算子方程(4.3.3)可能不存在解。定義4.3.1 設(shè)是線性空間，是一個數(shù)，是線性算子。若中的非零向量，使得, (4.3.4)則稱是的特征值（或本征值），而稱為（相應(yīng)于特征值）的特征向量（或本征向量）。設(shè)為算子的（相應(yīng)于特征值的）特征向量全體，在加入零向量，稱為算子的（相應(yīng)于特征值的）特征向量空間。稱的維數(shù)為特征值的重復(fù)度，也就是方程(4.3.4)的最大線性無關(guān)組中向量的個數(shù)。注 顯然，相應(yīng)于非零特征值的特征向量在算子的值域中。是方程(4.3.1)的所有解的全體，容易看出：是的線性子空間。若是賦范線性空間，是連續(xù)算子，則是閉子空間。例如，線性空間上相似算子的特征值只有，而且全空間就是特征向量空間.由上述各例可見，算子的特征值及特征向量概念概括了線性代數(shù)、微分方程、積分方程的特征值及特征向量的概念。不僅許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理問題（如微分方程、積分方程、變分方程問題）可以歸結(jié)為求特征值及特征向量的問題。在量子物理學(xué)中許多重要問題也是要求出特征值及特征向量的問題。在數(shù)學(xué)物理（例如微分方程）問題中，除去求解形如的齊次方程外，還經(jīng)常遇到非齊次方程，其中是給定的算子，是已知向量，是未知向量。為了研究這種方程的求解問題，需要引進(jìn)算子的正則點(diǎn)和譜點(diǎn)的概念。4.3.2 算子的正則點(diǎn)和譜點(diǎn)定義4.3.2 設(shè)是復(fù)的賦范線性空間，是的線性子空間到的線性算子，是一復(fù)數(shù)。若是正則算子，則稱是的正則點(diǎn)，或正則值(regular value )；并稱是的豫解算子(resolvent operator ) ，或豫解式.復(fù)平面上正則點(diǎn)的全體稱為的正則集（或豫解集(resolvent set)），記為；不是正則點(diǎn)的復(fù)數(shù)稱為的譜點(diǎn)(spectral point 或 spectral value)。譜點(diǎn)全體稱為的譜集(spectral set)，或譜(spectrum)，記為. 顯然就是整個復(fù)平面。從方程的可解性來分類，譜一般可分為三類：(1) 是的特征值。這時算子就是不可逆的，因此特征值是譜點(diǎn)。算子的特征值全體稱為算子的點(diǎn)譜，記作.(2) 不是的特征值，然而算子的值域. 也就是說：雖然存在，但.即：雖然齊次方程沒有非零解，但非齊次方程不是對每個右端項(xiàng)都存在解。(3) 算子在全空間有定義，但不是有界的.即：雖然對每個，方程有唯一的解，但不連續(xù)地依賴于右端項(xiàng).不是特征值的譜點(diǎn)全體稱為算子的連續(xù)譜，記作.注意：有的書將滿足：是一對一的，并且在中稠密的稱為連續(xù)譜。例4.3.1 在維空間中考察由下三角矩陣定義的算子：對，. (4.3.5)顯然，若記，則(4.3.5)為 (4.3.6)由線性代數(shù)知：矩陣主對角線上的元素是算子的特征值。而當(dāng)時，就是算子的正則值。例4.3.2 設(shè)復(fù)空間為Volterra積分算子. (4.3.7)對，于是方程 即 (4.3.8)等價于方程 (4.3.9)因?yàn)閷?，方?4.3.9)存在唯一解。由逆算子定理知：存在有界逆算子，故任何復(fù)數(shù)都是的正則點(diǎn)；故.現(xiàn)設(shè)，因?yàn)閺姆匠?(4.3.10)容易看出：的值域是，且是的真子空間。若，則由的連續(xù)性知：在上，. 所以不是的特征值。又因?yàn)榇嬖?，但的值域是所有形如的函?shù)全體（可微函數(shù)），不是全空間，即；因此是算子的屬于情形(2)的連續(xù)譜，且.例4.3.3 設(shè)復(fù)連續(xù)函數(shù)空間是乘法算子. (4.3.7)設(shè)，令.不難驗(yàn)證：是定義在上，值域的有界線性算子，且對一切都成立，故；因此是的正則值。 現(xiàn)設(shè) 由可知，當(dāng)時，；因此的全體組成的集合在中不稠密，其中是任意的。其次，不難證明：不可能是的特征值。In fact, 若有，使，則當(dāng)時，.由的連續(xù)性可知：，因此對一切 . 這說明方程沒有非零解。綜上所述，屬于的連續(xù)譜，且.例4.3.4 表示中只有前有限個坐標(biāo)不為零的元素全體，上的范數(shù). 取時，在上定義算子.顯然是到上的一對一的有界線性算子，即不是的特征值。易知：.顯然是定義在整個上，但在上是無界的算子。注1 例4.3.4中不是算子的特征值。顯然在整個上有定義，但在上是無界的算子；因此0是算子屬于(3)的譜。注2 若是Banach空間，是到上的有界線性算子，而且是可逆算子時，根據(jù)逆算子定理，這時是有界線性算子。故當(dāng)是Banach空間時，情況(3)是不會出現(xiàn)的。引理4.3.1 設(shè)是復(fù)的賦范線性空間上的有界線性算子。(1) 是的正則點(diǎn) 方程對任何都有解，且存在常數(shù)，使得.(2) 不是的特征值 是到上的一一對應(yīng)（即是可逆算子）；設(shè)不是的特征值，若是有限維空間，則是的正則點(diǎn)。注1 引理1的(1)說明：對于的正則點(diǎn)，方程對任何右端項(xiàng)有唯一的解，而且是連續(xù)地依賴于右端項(xiàng)，即：若是一列向量，且，則相應(yīng)于的解，也有，其中是相應(yīng)于的解。注2 引理1的(2)說明：在有限維空間中，情況屬于(2)、(3)的譜不出現(xiàn)。在無限維空間中，情況屬于(2)、(3)的譜會出現(xiàn)。下面的例4.3.2, 例4.3.3，例4.3.4中算子的譜是分別在無限維空間中，屬于情況(2)，(3) 的譜。 4.3.3 正則集與譜的性質(zhì)定理4.3.1 設(shè)是復(fù)Banach空間，.(1) 若是的特征值，則對于的全部特征向量以及零元素組成的一個閉子空間，并稱之為特征向量空間。(2) 設(shè)是的個不同的特征值；是對應(yīng)于的任一特征向量，則線性無關(guān)。定理4.3.2 設(shè)是復(fù)Banach空間，是復(fù)數(shù). 則當(dāng)時，是的正則值，且， (4.3.11)(4.3.11)的右端級數(shù)按算子范數(shù)收斂；且. (4.3.12)定理4.3.3 設(shè)是復(fù)Banach空間，下列結(jié)論成立：(1) 中可逆算子全體是中的開集。(2) 對任意，的正則集是復(fù)平面上的開集；的譜是復(fù)平面上的有界閉集。定理4.3.4 設(shè)是復(fù)Banach空間，若含有非零元素，則對任意， 的譜非空。4.3.4 譜半徑定義4.3.3 設(shè)是復(fù)Banach空間，. 稱 (4.3.13)為算子的譜半徑。定理4.3.5 設(shè)是復(fù)Banach空間，則算子的譜半徑滿足. (4.3.14)注 在這一節(jié)，我們介紹了有界線性算子的正則集、譜及譜半徑的概念。對于譜，則有點(diǎn)譜與連續(xù)譜之分。此外