高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 7.2一元二次不等式及其解法教師用書 理 蘇教版.doc

7.2一元二次不等式及其解法1“三個二次”的關(guān)系判別式b24ac000)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1x|xrax2bxc0)的解集x|x1 x0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0，則x.()(2)不等式x25x60的解集為x|x1()(3)不等式0的解集是1,2()(4)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，則方程ax2bxc0的兩個根是x1和x2.()(5)若方程ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為r.()(6)不等式ax2bxc0在r上恒成立的條件是a0且b24ac0.()1函數(shù)f(x)的定義域為_答案0,3解析由3xx20得x(x3)0，0x3，函數(shù)f(x)的定義域為0,32已知不等式ax2bx10的解集是，則不等式x2bxa0的解集是_答案(2,3)解析由題意知，是方程ax2bx10的根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得，.解得a6，b5，不等式x2bxa0即為x25x60，解集為(2,3)3不等式0的解集為_答案x|1x3解析原不等式可化為1x3.故原不等式的解集為x|10對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_答案(，)(，)解析由題意，知441(k21)2，k或k0；(2)ax2(a1)x10，所以方程x28x30有兩個不相等的實(shí)根x14，x24.又二次函數(shù)yx28x3的圖象開口向下，所以原不等式的解集為x|4x4(2)若a0，原不等式等價于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等價于(x)(x1)0.當(dāng)a1時，1，(x)(x1)1時，1，解(x)(x1)0得x1；當(dāng)0a1，解(x)(x1)0得1x.綜上所述：當(dāng)a0時，解集為x|x1；當(dāng)a0時，解集為x|x1；當(dāng)0a1時，解集為x|1x1時，解集為x|x0的解為x，則不等式2x2bxa0的解集是_(2)不等式0的解集是_答案(1)(2,3)(2)(，1解析(1)由題意，知和是一元二次方程ax2bx20的兩根且a0，所以解得則不等式2x2bxa0即2x22x120，其解集為x|2x3(2)原不等式等價于(*)由(*)解得x1.題型二一元二次不等式的恒成立問題例2設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.(1)若對于一切實(shí)數(shù)x，f(x)0恒成立，求m的取值范圍；(2)若對于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，顯然10；若m0，則4m0.所以4m0.(2)要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60時，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；當(dāng)m0時，60恒成立；當(dāng)m0時，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.綜上所述：m的取值范圍是m|m0，又因為m(x2x1)60，所以m.因為函數(shù)y在1,3上的最小值為，所以只需m0恒成立，則x的取值范圍為_答案(1)1,4(2)(，1)(3，)解析(1)x22x5(x1)24的最小值為4，所以x22x5a23a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a23a4，解得1a4.(2)把不等式的左端看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記f(a)(x2)a(x24x4)，則由f(a)0對于任意的a1,1恒成立，易知只需f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，聯(lián)立方程解得x3.題型三一元二次不等式的應(yīng)用例3某商品每件成本價為80元，售價為100元，每天售出100件若售價降低x成(1成10%)，售出商品數(shù)量就增加x成要求售價不能低于成本價(1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，并寫出定義域；(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元，求x的取值范圍解(1)由題意得，y100100.因為售價不能低于成本價，所以100800.所以yf(x)40(10x)(254x)，定義域為x0,2(2)由題意得40(10x)(254x)10 260，化簡得8x230x130.解得x.所以x的取值范圍是.思維升華求解不等式應(yīng)用題的四個步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號語言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型(3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義(4)回歸實(shí)際問題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的結(jié)果某商家一月份至五月份累計銷售額達(dá)3 860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7 000萬元，則x的最小值是_答案20解析由題意得，3 860500500(1x%)500(1x%)227 000，化簡得(x%)23x%0.640，解得x%0.2，或x%3.2(舍去)x20，即x的最小值為20.轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應(yīng)用典例：(1)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，br)的值域為0，)，若關(guān)于x的不等式f(x)0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_思維點(diǎn)撥(1)考慮“三個二次”間的關(guān)系；(2)將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解解析(1)由題意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域為0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)c.2c，即x0恒成立，即x22xa0恒成立即當(dāng)x1時，a(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上單調(diào)遞減，g(x)maxg(1)3，故a3.實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a3答案(1)9(2)a|a3溫馨提醒(1)本題的解法充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想：函數(shù)的值域和不等式的解集轉(zhuǎn)化為a，b滿足的條件；不等式恒成立可以分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題(2)注意函數(shù)f(x)的值域為0，)與f(x)0的區(qū)別.方法與技巧1“三個二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)；一般可把a(bǔ)0時的情形2f(x)0的解集即為函數(shù)yf(x)的圖象在x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，充分利用數(shù)形結(jié)合思想3簡單的分式不等式可以等價轉(zhuǎn)化，利用一元二次不等式解法進(jìn)行求解失誤與防范1對于不等式ax2bxc0，求解時不要忘記討論a0時的情形2當(dāng)0 (a0)的解集為r還是，要注意區(qū)別3含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論.a組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)1函數(shù)f(x) 的定義域為_答案(2,1解析002f(1)的解集是_答案(3,1)(3，)解析由題意得或解得3x3.3設(shè)a0，不等式caxbc的解集是x|2x1，則abc_.答案213解析caxb0，x.不等式的解集為x|2x1，abca213.4若不等式mx22mx42x24x對任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(2,2解析原不等式等價于(m2)x22(m2)x40，當(dāng)m2時，對任意x不等式都成立；當(dāng)m20時，4(m2)216(m2)0，2m2，綜合，得m(2,25若集合ax|ax2ax10，則實(shí)數(shù)a的值的集合是_答案a|0a4解析由題意知a0時，滿足條件a0時，由得0a4，所以0a4.6已知一元二次不等式f(x)0的解集為_答案x|xlg 2解析由已知條件010x，解得xlglg 2.7若0a0的解集是_答案x|ax解析原不等式即(xa)(x)0，由0a1得a，ax0時，f(x)x24x，則不等式f(x)x的解集用區(qū)間表示為_答案(5,0)(5，)解析由已知得f(0)0，當(dāng)xx等價于或解得：x5，或5x0；(2)若不等式f(x)b的解集為(1,3)，求實(shí)數(shù)a、b的值解(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.不等式的解集為a|32ab的解集為(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的兩根為1,3，解得10某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并每100元納稅10元(又稱征銳率為10個百分點(diǎn))，計劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x0)個百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加2x個百分點(diǎn)(1)寫出降稅后稅收y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍解(1)降低稅率后的稅率為(10x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(12x%)萬擔(dān)，收購總金額為200a(12x%)萬元依題意得y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2)原計劃稅收為200a10%20a(萬元)依題意得a(1002x)(10x)20a83.2%，化簡得x240x840，解得42x2.又0x10，00的解集是(1,3)，則不等式f(2x)0的解集是_答案(，)(，)解析f(x)0的兩個解是x11，x23且a0，由f(2x)3或2x1，x.2(2013重慶改編)關(guān)于x的不等式x22ax8a20)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a_.答案解析由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集為(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.3設(shè)0，不等式8x2(8sin )xcos 20對xr恒成立，則的取值范圍為_答案0，解析由題意，要使8x2(8sin )xcos 20對xr恒成立，需64sin232cos 20，化簡得cos 2.又0，02或22，解得0或.4設(shè)函數(shù)f(x)x21，對任意x，)，f()4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案m|m或m解析依據(jù)題意得14m2(x21)(x1)214(m21)在x，)上恒成立，即4m21在x，)上恒成立當(dāng)x時，函數(shù)y1取得最小值，所以4m2，即(3m21)(4m23)0，解得m或m.5若不等