高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 3.3用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值試題 理 蘇教版.doc

第3講用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值一、填空題1函數(shù)f(x)2x43x21在區(qū)間上的最大值和最小值分別是_解析 令f(x)8x36x0，得x0或x，x0及x不合題意，舍去f231，f，f(2)21.原函數(shù)的最大值為f(2)21，最小值為f.答案 21，2已知a0，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上單調(diào)遞增，則a的最大值是_解析因?yàn)閒(x)3x2a，所以由題意可得在1，)上有3x2a0恒成立，所以a(3x2)min，而(3x2)min3，所以a3.答案33函數(shù)f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由f(x)x21，易知f(x)在(，1)上遞減，在(1,1)上遞增，在(1，)上遞減故函數(shù)在(a,10a2)上存在最大值的條件為答案2,1)4若函數(shù)f(x)(a0)在1，)上的最大值為，則a的值為_(kāi)答案15設(shè)函數(shù)f(x)x32x5，若對(duì)任意x1,2，都有f(x)m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析f(x)3x2x20，解得x1或，f(1)，f，f(1)，f(2)7.m.答案6函數(shù)f(x)ex(sin xcos x)在區(qū)間上的值域?yàn)開(kāi)解析f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x，當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，且只有在x時(shí)，f(x)0，f(x)是上的增函數(shù)，f(x)的最大值為fe，f(x)的最小值為f(0).f(x)在上的值域?yàn)?答案7已知曲線(xiàn)f(x)ax2bxc(a0，b，cr)通過(guò)點(diǎn)p(0,2a28)，在點(diǎn)q(1，f(1)處的切線(xiàn)垂直于y軸，則的最小值為_(kāi)解析由已知曲線(xiàn)f(x)ax2bxc(a0，b，cr)通過(guò)點(diǎn)p(0,2a28)知c2a28.又知其在點(diǎn)q(1，f(1)處的切線(xiàn)垂直于y軸，f(1)0，即2ab0.a.a0，a4，即的最小值為4.答案48已知函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，5)，它的導(dǎo)數(shù)f(x)4x34x，則當(dāng)f(x)取得極大值5時(shí)，x的值應(yīng)為_(kāi)解析易知f(x)x42x25，f(x)0時(shí)，x0或x1，只有f(0)5.答案09已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)(x21)(xa)若f(1)0，則函數(shù)yf(x)在上的最大值和最小值分別為_(kāi)解析f(1)0，32a10，即a2.f(x)3x24x13(x1)由f(x)0，得x1或x；由f(x)0，得1x.因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.f(x)在x1處取得極大值為f(1)2；f(x)在x處取得極小值為f.又f，f(1)6，且，f(x)在上的最大值為f(1)6，最小值為f.答案6；10已知|a|2|b|0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)x3|a|x2abx在r上有極值，則a與b的夾角范圍為_(kāi)解析f(x)x2|a|xab，f(x)0的|a|24ab0，cosa，b，又ycos 在(0，)上是遞減的，a，b.答案二、解答題11已知函數(shù)f(x)ax3bxc在點(diǎn)x2處取得極值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有極大值28，求f(x)在3,3上的最小值解 (1)因?yàn)閒(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b，由于f(x)在點(diǎn)x2處取得極值c16，故有即12ab0,8a2bcc16，化簡(jiǎn)得解得(2)由(1)知f(x)x312xc；f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12，x22.當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(，2)上為增函數(shù)；當(dāng)x(2,2)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(2,2)上為減函數(shù)；當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(2，)上為增函數(shù)由此可知f(x)在x12處取得極大值f(2)16c，f(x)在x12處取得極小值f(2)c16.由題設(shè)條件知16c28，解得c12.此時(shí)f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值為f(2)4.12已知函數(shù)f(x)(xr)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)已知函數(shù)yg(x)對(duì)任意x滿(mǎn)足g(x)f(4x)，證明當(dāng)x2時(shí)，f(x)g(x)；(3)如果x1x2，且f(x1)f(x2)，證明x1x24.(1)解由f(x)得f(x).令f(x)0，解得x2，則f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)增極大值減所以f(x)在(，2)內(nèi)是增函數(shù)，在(2，)內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)f(x)在x2時(shí)取得極大值f(2).(2)證明因?yàn)間(x)f(4x)，所以g(x).令f(x)f(x)g(x)，即f(x)，則f(x).當(dāng)x2時(shí)，2x0,2x13，從而e3e2x10，則函數(shù)f(x)0，f(x)在(2，)上是增函數(shù)所以f(x)f(2)0，故當(dāng)x2時(shí)，f(x)g(x)成立(3)證明因?yàn)閒(x)在(，2)內(nèi)是增函數(shù)，在(2，)內(nèi)是減函數(shù)x1x2，且f(x1)f(x2)，所以x1，x2不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，不妨設(shè)x12x2，由(2)可知f(x2)g(x2)，又g(x2)f(4x2)，所以f(x2)f(4x2)，因?yàn)閒(x1)f(x2)，所以f(x1)f(4x2)，因?yàn)閤22,4x22，x12，f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)為增函數(shù)，故x14x2，即x1x24.13已知f(x)2xln x，g(x)x2ax3.(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若存在x(0，)，使f(x)g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明對(duì)一切x(0，)，都有f(x)2成立(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2(ln x1)令f(x)0，得x.當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.所以f(x)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增故當(dāng)x時(shí)，f(x)取最小值為.(2)解存在x(0，)，使f(x)g(x)成立，即2xln xx2ax3在x(0，)能成立，等價(jià)于a2ln xx在x(0，)能成立，等價(jià)于a(2ln xx)min.記h(x)2ln xx，x(0，)，則h(x)1.當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0.所以當(dāng)x1時(shí)，h(x)取最小值為4，故a4.(3)證明記j(x)2，x(0，)，則j(x)2.當(dāng)x(0,1)時(shí)，j(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，j(x)0.所以當(dāng)x1時(shí)，j(x)取最大值為.又由(1)知，當(dāng)x時(shí)，f(x)取最小值為，故對(duì)一切x(0，)，都有f(x)2成立14已知函數(shù)f(x)(ax2bxc)ex在0,1上單調(diào)遞減且滿(mǎn)足f(0)1，f(1)0. (1)求a的取值范圍；(2)設(shè)g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值解(1)由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，則f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex，依題意需對(duì)任意x(0,1)，有f(x)0時(shí)，因?yàn)槎魏瘮?shù)yax2(a1)xa的圖象開(kāi)口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1.當(dāng)a1時(shí)，對(duì)任意x(0,1)有f(x)(x21)ex0，f(x)符合條件；當(dāng)a0時(shí)，對(duì)任意x(0,1)，f(x)xex0，f(x)符合條件；當(dāng)a0，f(x)不符合條件故a的取值范圍為0a1.(2)因?yàn)間(x)(2ax1a)ex，所以g(x)(2ax1a)ex.(i)當(dāng)a0時(shí)，g(x)ex0，g(x)在x0處取得最小值g(0)1，在x1處取得最大值g(1)e.(ii)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于任意x(0,1)有g(shù)(x)2xex0，g(x)在x0處取得最大值g(0)2，在x1處取得最小值g(1)0.(iii)當(dāng)0a0.若1，即0a時(shí)，g(