線性方程組的迭代求解法.doc

線性方程組的迭代求解法一、 題目用雅可比迭代法、高斯-塞德爾迭代法、逐次超松弛迭代法求解4元線性方程組（*）的近似解。 （*）二、 方法雅可比迭代法、高斯-塞德爾迭代法、逐次超松弛迭代法三、 程序Jacobi.M（雅可比迭代法的程序）functionx,k,flag=jacobi(A,b,delta,max1)if nargin4 max1=100;endif nargin3 delta=1e-4;endn=length(A);k=0;x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);flag=ok;while 1 for i=1:n y(i)=b(i); for j=1:n if j=i y(i)=y(i)-A(i,j)*x(j); end end if abs(A(i,i)1e-10|k=max1 flag=fail;return; end y(i)=y(i)/A(i,i); end if norm(y-x,inf)delta break; end x=y;k=k+1;endgao.M（高斯-塞德爾迭代法的程序）functionx,k,flag=gao(A,b,delta,max1)if nargin4 max1=100;endif nargin3 delta=1e-4;endn=length(A);k=0;x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);flag=ok;while 1 y=x; for i=1:n z=b(i); for j=1:n if j=i z=z-A(i,j)*x(j); end end if abs(A(i,i)1e-10|k=max1 flag=fail;return; end z=z/A(i,i); x(i)=z; end if norm(y-x,inf)delta break; end k=k+1;endsor.M（逐次超松弛迭代法的程序）functionx,k,flag=sor(A,b,delta,w,max1)if nargin5 max1=100;endif nargin4 w=1;endif nargin3 delta=1e-4;endn=length(A);k=0;x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);flag=ok;while 1 y=x; for i=1:n z=b(i); for j=1:n if j=i z=z-A(i,j)*x(j); end end if abs(A(i,i)1e-10|k=max1 flag=fail;return; end z=z/A(i,i); x(i)=(1-w)*x(i)+w*z; end if norm(y-x,inf) format compact A=2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2A = 2 -1 0 0 -1 2 -1 0 0 -1 2 -1 0 0 -1 2 b=1 0 1 0b = 1 0 1 0 x,k,flag=jacobi(A,b)x = 1.1999 1.3997 1.5998 0.7998k = 41flag =ok x,k,flag=gao(A,b)x = 1.1999 1.3998 1.5999 0.7999k = 21flag =ok x,k,flag=sor(A,b)x = 1.1999 1.3998 1.5999 0.7999k = 21flag =ok x,k,flag=sor(A,b,1e-4,1.2)x = 1.2000 1.4000 1.6000 0.8000k = 13flag =ok x,k,flag=sor(A,b,1e-4,1.3)x = 1.2000 1.4000 1.6000 0.8000k = 10flag =ok x,k,flag=sor(A,b,1e-4,1.4)x = 1.2000 1.4000 1.6000 0.8000k = 11flag =ok雅可比迭代法的迭代次數(shù)為41次，求解的結果為x =1.1999 1.3997 1.5998 0.7998高斯-塞德爾迭代法的迭代次數(shù)為21次，求解的結果為x =1.1999 1.3998 1.5999 0.7999逐次超松弛迭代法的迭代次數(shù)最少為10次，取值為1.3，求解的結果為x =1.2000 1.4000 1.6000 0.8000， 取值為1時，結果與高斯-塞德爾迭代法一樣。五、 拓展1、 分析：（1） 上述線性方程組的矩陣是弱對角占優(yōu)陣且是不可約矩陣，可知雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法均收斂，而矩陣也是對稱正定陣，且取值也在0至2之間，則逐次超松弛迭代法也收斂。（2） 在SOR迭代法中，若，則此法即為高斯-塞德爾迭代法，在上述結果中可看出取默認值1時結果與高斯-塞德爾迭代法相同。（3） 取不同的松弛因子迭代次數(shù)不一樣，此題取為1.3時迭代次數(shù)最少，即為最佳松弛因子。由此，松弛因子選得好，可以大大的加速收斂。2、 迭代收斂速度 D=2 0 0 0;0 2 0 0;0 0 2 0;0 0 0 2D = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 L=0 0 0 0;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0L = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 U=0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 0 0U = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 I=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A=2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2A = 2 -1 0 0 -1 2 -1 0 0 -1 2 -1 0 0 -1 2 B=I-inv(D)*AB = 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0.5000 0 0 0.5000 0 R=eig(B)R = -0.8090 -0.3090 0.3090 0.8090 B2=I-inv(D-L)*AB2 = 0 0.5000 0 0 0 0.2500 0.5000 0 0 0.1250 0.2500 0.5000 0 0.0625 0.1250 0.2500 R2=eig(B2)R2 = 0 0.0955 0.6545 0.0000 L1=I-1.3*inv(D-1.3*L)*AL1 = -0.3000 0.6500 0 0 -0.1950 0.1225 0.6500 0 -0.1268 0.0796 0.1225 0.6500 -0.0824 0.0518 0.0796 0.1225 R3=eig(L1)R3 = 0.2531 + 0.1611i 0.2531 - 0.1611i -0.2193 + 0.2047i -0.2193 - 0.2047i由上可知，雅可比迭代法的，高斯-塞德爾迭代法的，逐次超松弛迭代法的。而迭代矩陣的譜半徑越小，則迭代速度越大，迭代次數(shù)越少。與題中結果吻合。3、特殊例子：希爾伯特矩陣，這里只取n=4時的情況。 H4=1 1/2 1/3 1/4;1/2 1/3 1/4 1/5;1/3 1/4 1/5 1/6;1/4 1/5 1/6 1/7H4 = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 cond(H4,inf)ans = 2.8375e+004 b=2.0833 1.2833 0.9500 0.7595b = 2.0833 1.2833 0.9500 0.7595 A=H4A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 x,k,flag=jacobi(A,b)x = 1.0e+041 * -0.8411 -1.6834 -2.1499 -2.4542k = 100flag =fail x,k,flag=gao(A,b)x = 1.0018 0.9564 1.1291 0.9070