第2章系統(tǒng)零輸入響應(yīng).ppt

第2章連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 本章知識(shí)點(diǎn)先導(dǎo)案例2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2 3單位沖激函數(shù)2 4系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2 5卷積積分2 6系統(tǒng)的時(shí)域分析法舉例 1 掌握微分方程的建立及算子表示 2 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 3 單位沖激函數(shù) 4 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 5 卷積積分 6 系統(tǒng)的時(shí)域分析法 返回 第2章連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 2 1 4系統(tǒng)方程的算子表示法如上面所示 描寫(xiě)線性系統(tǒng)的激勵(lì)函數(shù)和響應(yīng)函數(shù)間關(guān)系的微分方程形式看起來(lái)很復(fù)雜 為了方便起見(jiàn) 把微分算子用符號(hào)p來(lái)代表 如令 通過(guò)引入算子符號(hào) 可以把微積分方程在形式上變成代數(shù)方程 它的優(yōu)點(diǎn)一是簡(jiǎn)化方程的列寫(xiě) 特別是聯(lián)立方程消元 一是通過(guò)引入系統(tǒng)轉(zhuǎn)移算子H p 的概念 便于形成系統(tǒng)分析的統(tǒng)一的方法 先引入算子的定義 再由定義導(dǎo)出其 運(yùn)算 規(guī)則 最后介紹如何用算子法列寫(xiě)微分方程 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 1 算子的定義1 微分算子p2 積分算子 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 例2 2用算子法表示下面的微分方程 解 根據(jù)微分算子與積分算子的定義 上式可表示為 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 還可以將上式改寫(xiě)為 對(duì)于n階系統(tǒng) 若設(shè)y t 為響應(yīng)變量 f t 為激勵(lì) 則系統(tǒng)微分方程的一般形式為 用微分算子p表示則為或?qū)憺?又可寫(xiě)為 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 式中 其中 b0 bm是常數(shù) an 1 a0是常數(shù)D p 稱為系統(tǒng)或微分方程式的特征多項(xiàng)式 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 例2 3利用廣義微分算子與廣義積分算子來(lái)表示下面的微分方程 解 由廣義微分算子與廣義積分算子可寫(xiě)微分方程的算子方程如下其中 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 5 轉(zhuǎn)移算了H p 其意義為 若即表示 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 例2 4求下面微分方程的轉(zhuǎn)移算子H p 解 可將上述方程改寫(xiě)為根據(jù)轉(zhuǎn)移算子的定義 上式可進(jìn)一步表示為 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 也即2 算子的運(yùn)算規(guī)則 1 由P的多項(xiàng)式所組成的運(yùn)算符號(hào)可以像代數(shù)式那樣相乘和因式分解 特殊情況 返回 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 特殊一 這里也像代數(shù)式中一樣 分了分母中的p可以消去 但是這單除非x 0 否則分母和分子中的p就不能消去 這表明在一般情況下 有 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 特殊二 若將式兩邊積分 可得 c為積分常數(shù) 對(duì)于等式px py 雙方的算子p一般也不好消去 以上討論說(shuō)明 代數(shù)量的運(yùn)算規(guī)則對(duì)于算子符號(hào)一般也可以用 只是在分子分母中或在等式兩邊中的算子符號(hào)不能隨便消去 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 3 算子方程組的消元為了要從一個(gè)n階電路的n元一次算子方程組得到一個(gè)形式為的一元n階算了方程 必須將原方程組中除響應(yīng)變量 y t 以外的其他未知量系統(tǒng)消去 在掌握了算子的運(yùn)算規(guī)則之后 就可以較為方便地做到這一點(diǎn) 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 例2 5列寫(xiě)圖2 3所示電路的算子方程組 并分別求出由激勵(lì)f t 至響應(yīng)i1 t 與i2 t 的轉(zhuǎn)移算子H1 p 與H2 P 解 用網(wǎng)孔分析法列寫(xiě)電路方程組為了分別求得i1 t i2 t 與f t 之間的關(guān)系 必須將另外一個(gè)變量消去 消去i2 t 得到關(guān)于i1 t 的方程 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 即可得用同樣的方法 可以將i1 t 消去 得到關(guān)于i2 t 的算子方程 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示 即可得 上一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 一 定義 系統(tǒng)在無(wú)外加激勵(lì)作用下 僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 記為yx t 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)完全由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)決定 而與激勵(lì)信號(hào)無(wú)關(guān) 在式 2 8 中令f t 0 得到齊次方程yx t 就是齊次方程 2 11 的解 下一頁(yè) 返回 其中 D p 稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 方程D p 0叫做系統(tǒng)的特征方程 特征方程的根稱系統(tǒng)的特征根 先來(lái)討論比較簡(jiǎn)單的一階 二階齊次方程的情況 然后推廣至n階方程 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 2 2 1一階與二階齊次方程的解一階齊次方程的一般形式為即通過(guò)分離變量 上式可改寫(xiě)為 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 對(duì)兩邊積分得其中 k是積分常數(shù) 從而可得其中 C ek是待定系數(shù) 由系統(tǒng)的初始條件決定 例如 將初始狀態(tài)yx o 代入式 2 14 即可得 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 從而得到一階齊次方程的解為二階齊次方程的一般形式為其中 a b是常數(shù) 其算子方程為 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 將上式中的D p 作因式分解從而將式 2 16 改寫(xiě)為不難看出 1與 2是特征方程D p 0的兩個(gè)特征根由此可以得到滿足上述方程的兩個(gè)一階方程 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 它們的解分別為其中 C1 C2為待定系數(shù) 顯然 yx1 t 與yx2 t 都是解 且彼此線性無(wú)關(guān) 因此零輸入響應(yīng)的計(jì)算通式為如果給定初始狀態(tài)為 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 將這些條件代入式 2 19 及其微分式可得解之 可得Cl與C2的具體數(shù)值 從而最后確定yx t 例2 6某系統(tǒng)輸入 輸出微分算子方程為己知初始條件yx 0 3 y x 0 6 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx t 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 解 由題意知因?yàn)樗园褃x 0 3 y x 0 6 代入上式可得所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 2 2 2n階齊次方程的解上述二階方程的解 可以推廣至n階方程即首先求出特征方程的n個(gè)根 1 2 n 然后將式 2 20 改寫(xiě)為 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 2 1是一個(gè)k重根 即則方程的解就變成其中 待定系數(shù)可由初始狀態(tài) 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 例2 7己知系統(tǒng)的方程為初始狀態(tài)為 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx t 解 令f t 0 得齊次方程將D p 作因式分解得 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 可見(jiàn) 系統(tǒng)的特征根 1 1是單根 而 2 3是一個(gè)二重根 據(jù)此可寫(xiě)出yx t 為將初始狀態(tài)代入上式得解之得因此 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 2 2 3由H p 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)轉(zhuǎn)移算子從以上的討論可以看出 只要己知系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式D p 及初始狀態(tài) 就可以求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 因此 知道系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子H p 和初始狀態(tài) 也就可以直接求出yx t 前面己指出 轉(zhuǎn)移算子是一種把輸入與響應(yīng)聯(lián)系起來(lái)的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)潔表示 即 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 因此 只要知道H p 就可以從它的分母D p 求出系統(tǒng)的特征根 亦即H p 的極點(diǎn) 1 n 從而寫(xiě)出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的一般式再根據(jù)初始狀態(tài) 求出待定系數(shù)Cj j 1 n 最后確定yx t 下面再來(lái)看看具體例子 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 例2 8己知系統(tǒng)微分方程為初始狀態(tài) 計(jì)算零輸入響應(yīng) 解 用算子表示原微分方程 得轉(zhuǎn)移算子容易看出 轉(zhuǎn)移算了的極點(diǎn)為 1 2 2 3 從而可以直接寫(xiě)出y t 的零輸入響應(yīng)為 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 將初始狀態(tài)代入上式得解之得將C1與C2代入yx t 得 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 2 2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 2 2 4算子法求解yx t 的步驟第一步 將D p