通信原理第8章-數(shù)字信號(hào)最佳接收.ppt

1 第8章數(shù)字信號(hào)的最佳接收 8 1引言8 2數(shù)字信號(hào)接收的統(tǒng)計(jì)表述8 3關(guān)于最佳接收的準(zhǔn)則8 4確知信號(hào)的最佳接收8 5隨相信號(hào)的最佳接收8 6起伏信號(hào)的最佳接收8 7普通接收機(jī)與最佳接收機(jī)的比較8 8匹配濾波器8 9最佳基帶接收機(jī) 2 8 1引言 通信系統(tǒng)的質(zhì)量?jī)?yōu)劣主要取決于接收機(jī)的性能 這是因?yàn)?影響信息可靠傳輸?shù)牟焕蛩刂苯幼饔迷诮邮斩?通信理論中一個(gè)重要的問題 最佳接收或信號(hào)接收最佳化 最佳接收理論 研究從噪聲中如何最好地提取有用信號(hào) 最好 或 最佳 的概念是在某個(gè)準(zhǔn)則意義下說的一個(gè)相對(duì)概念 這就是說 在某個(gè)準(zhǔn)則下是最佳的接收機(jī) 在另一準(zhǔn)則下就并非一定是最佳的 3 8 2數(shù)字信號(hào)接收的統(tǒng)計(jì)表述 數(shù)字通信系統(tǒng)中 接收機(jī)觀察到接收波形后 要無誤地?cái)喽骋恍盘?hào)的到來是困難的 原因是 哪一個(gè)信號(hào)被發(fā)送 對(duì)受信者來說是不確定的 信號(hào)在傳輸過程中可能發(fā)生各種畸變 因此可以說 帶噪聲的數(shù)字信號(hào)的接收過程是一個(gè)統(tǒng)計(jì)判決的過程 4 數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型 5 消息空間x 離散消息的所有可能取值的集合x1 x2 xm x的出現(xiàn)概率可以用一維概率分布P xi 表示 6 信號(hào)空間s 消息轉(zhuǎn)換為信號(hào)是一一對(duì)應(yīng)的 所以P si P xi 7 噪聲空間n 假定噪聲是高斯型的 均值為零 隨機(jī)過程 n的統(tǒng)計(jì)特性用多維聯(lián)合概率密度函數(shù)來描述 若是高斯過程且各抽樣值獨(dú)立 則 8 是噪聲的方差 也就是噪聲的功率 k 2fHT是在 0 T 內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù) 噪聲的平均功率還可以表示為 9 所以于是n0是單位頻帶內(nèi)的噪聲功率 10 觀察空間y y t s t n t 當(dāng)發(fā)出信號(hào)為si t 時(shí) 接收信號(hào)y t 為隨機(jī)過程 其均值為si t 方差為 其概率密度函數(shù)為fsi y 稱為似然函數(shù) 它是信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的依據(jù) 按照某種準(zhǔn)則 即可對(duì)y t 作出判決 使判決空間中可能出現(xiàn)的狀態(tài)r1 r2 rm與信號(hào)空間中的各狀態(tài)s1 s2 sm相對(duì)應(yīng) 11 8 3關(guān)于最佳接收的準(zhǔn)則 在數(shù)字通信系統(tǒng)中 最直觀且最合理的準(zhǔn)則是 最小差錯(cuò)概率 準(zhǔn)則 由于信號(hào)受到畸變和噪聲的干擾 發(fā)送消息xi時(shí)不一定能判為ri出現(xiàn) 而是判決空間的所有狀態(tài)都可能出現(xiàn) 這將造成錯(cuò)誤接收 錯(cuò)誤接收的概率愈小愈好 以二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)為例 分析在噪聲中按何種方法接收才能使錯(cuò)誤概率最小 12 二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中 只發(fā)送兩種信號(hào)s1和s2 先驗(yàn)概率分別為P s1 和P s2 錯(cuò)誤概率為 Pe P s1 P r2 s1 P s2 P r1 s2 P r2 s1 和P r1 s2 為錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率 以使Pe最小為目標(biāo) 導(dǎo)出最佳接收的準(zhǔn)則 把觀察空間的取值域y劃分成A1域和A2域 一旦接收機(jī)被構(gòu)成后 則這個(gè)劃分就被規(guī)定 該域的幾何表示 如圖8 3所示 13 Y中的每個(gè)點(diǎn)代表著y t 的一個(gè)實(shí)現(xiàn) 落在A1域的實(shí)現(xiàn)判為r1 A2域中的實(shí)現(xiàn)判為r2 因此Pe可寫成Pe P s1 P A2 s1 P s2 P A1 s2 正確判決的概率為Pc 1 Pe P s1 P A1 s1 P s2 P A2 s2 這里改寫為 14 或者寫為為使Pc最大 應(yīng)該使 在積分域A2內(nèi) 15 同理 在積分域A1內(nèi) 應(yīng)該是或者說 若 判為r1 若 判為r2 或者 16 上式稱為似然比準(zhǔn)則 若P s1 P s2 則似然比準(zhǔn)則簡(jiǎn)化為若 則判為r1若 則判為r2 17 8 4確知信號(hào)的最佳接收 到達(dá)接收機(jī)的信號(hào)分為兩類 確知信號(hào) 隨參信號(hào) 確知信號(hào) 所有參數(shù) 幅度 頻率 相位 到達(dá)時(shí)間等 都確知 未知的只是信號(hào)出現(xiàn)與否 隨機(jī)相位信號(hào) 除相位外其余參數(shù)都確知的信號(hào) 隨機(jī)振幅 相位信號(hào) 簡(jiǎn)稱起伏信號(hào) 的振幅 相位都是隨機(jī)參數(shù) 而其余參數(shù)是確知的 18 8 4 1二進(jìn)制確知信號(hào)的最佳接收機(jī) 設(shè)到達(dá)接收機(jī)的兩個(gè)可能信號(hào)為s1 t 和s2 t 它們的持續(xù)時(shí)間為 0 T 且有相等的能量 n t 是高斯白噪聲 其均值為零 單邊功率譜密度為n0 目的 設(shè)計(jì)一個(gè)接收機(jī) 能在噪聲干擾下有最小的錯(cuò)誤概率檢測(cè)信號(hào) 觀察到的波形y t 可表示為y t s1 t 或s2 t n t 19 若 則判決收到s1 t 于是判決收到s1 t 的條件成為 20 不等式兩邊取對(duì)數(shù) 簡(jiǎn)化為再簡(jiǎn)化為其中 21 當(dāng)P s1 P s2 時(shí) 條件成為對(duì)應(yīng)的接收機(jī)結(jié)構(gòu)稱為 相關(guān)接收機(jī) 22 比較器是比較抽樣時(shí)刻t T時(shí)上下兩個(gè)支路樣值的大小 相關(guān)接收機(jī) 最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)按比較觀察波形y t 與s1 t 和s2 t 的相關(guān)性而構(gòu)成 其中相乘器與積分器構(gòu)成相關(guān)器 接收過程是分別計(jì)算觀察波形y t 與s1 t 和s2 t 的相關(guān)函數(shù) 在抽樣時(shí)刻t T y t 與哪個(gè)發(fā)送信號(hào)的相關(guān)值大就判為哪個(gè)信號(hào)出現(xiàn) 23 如果發(fā)送信號(hào)s1 t 和s2 t 的出現(xiàn)概率相等 即P s1 P s2 可得U1 U2 此時(shí) 兩個(gè)相加器可以省去 則先驗(yàn)等概率情況下的二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖 24 當(dāng)發(fā)送信號(hào)為s1 t 時(shí) 接收機(jī)輸入信號(hào)為 y t s1 t n t 其中 n t 是高斯白噪聲 均值為零 方差為 2n 若 8 4 2二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)的性能 則判為s1 t 出現(xiàn) 是正確判決 若 25 則判為s2 t 出現(xiàn) 是錯(cuò)誤判決 將y t s1 t n t 代入判決式中可得錯(cuò)誤判決條件為 化簡(jiǎn)得到 26 則 錯(cuò)誤事件可以表示為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布 它的均值和方差分別為 令 27 式中E n t n t 為高斯白噪聲n t 的自相關(guān)函數(shù) 由隨機(jī)信號(hào)分析可知故有 28 于是有 式中 29 利用相同的方法 可求得式中 30 總的錯(cuò)誤概率為 由此看出 所求的最佳接收機(jī)的極限性能只與先驗(yàn)概率P s1 和P s2 噪聲功率譜密度n0及兩信號(hào)之差的能量有關(guān) 而與s1 t 及s2 t 本身的具體形式無關(guān) 31 分析Pe與先驗(yàn)概率的關(guān)系 當(dāng)P s1 0 而P s2 1或反之P s1 1 而P s2 0時(shí) Pe 0 這意味著接收端知道發(fā)送的是什么 故不會(huì)有錯(cuò) 先驗(yàn)等概時(shí) Pe只與兩信號(hào)之差的能量及n0有關(guān) 當(dāng)P s1 P s2 10或0 1時(shí) Pe比先驗(yàn)等概時(shí)略小 32 在A一定的情況下 先驗(yàn)等概時(shí)的錯(cuò)誤概率Pe最大 即 先驗(yàn)等概對(duì)于差錯(cuò)性能而言是一種最不利的情況 若先驗(yàn)不等概 則得到的Pe比等概時(shí)略有下降 先驗(yàn)分布是不易確知的 故實(shí)際中常常使用先驗(yàn)等概的假設(shè) 并按圖8 5設(shè)計(jì) 最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu) 33 8 4 3二進(jìn)制確知信號(hào)的最佳形式 在先驗(yàn)等概情況下 極限性能Pe可簡(jiǎn)化為其中定義s1 t 和s2 t 之間的互相關(guān)系數(shù)為 8 4 22 E1 E2是信號(hào)s1 t 和s2 t 在0 t T期間的平均能量 34 E E1 E2 Eb 將Eb和 代入式 8 4 22 可得 當(dāng)s1 t 和s2 t 具有相等的能量時(shí) 有 與信噪比及發(fā)送信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù) 有關(guān) 即為發(fā)送信號(hào)先驗(yàn)概率相等時(shí) 二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)所能達(dá)到的最小誤碼率 35 當(dāng) 1時(shí) Pe 為最大值 當(dāng) 0時(shí) 當(dāng) 1時(shí) 最小 因此使 1的信號(hào)是最佳信號(hào) 36 若s1 t 和s2 t 能量不相等 如E1 0 E2 Eb 0 發(fā)送信號(hào)s1 t 和s2 t 的平均能量為E Eb 2 在這種情況下 誤碼率表示式變?yōu)?由此畫出的Pe 關(guān)系曲線如圖中 所示 37 圖8 7二進(jìn)制最佳接收機(jī)誤碼率曲線 2PSK信號(hào)能使互相關(guān)系數(shù) 1 因此2PSK信號(hào)是最佳信號(hào)波形 2FSK和2ASK信號(hào)對(duì)應(yīng)的互相關(guān)系數(shù) 0 因此2PSK系統(tǒng)的誤碼率性能優(yōu)于2FSK和2ASK系統(tǒng) 2FSK信號(hào)是等能量信號(hào) 而2ASK信號(hào)是不等能量信號(hào) 因此2FSK系統(tǒng)的誤碼率性能優(yōu)于2ASK系統(tǒng) 38 對(duì)數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)誤碼率性能的分析可知 雙極性信號(hào)的誤碼率低于單極性信號(hào) 其原因之一就是雙極性信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù) 1 而單極性信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù) 0 39 8 5隨相信號(hào)的最佳接收機(jī) 確知信號(hào)是一種理想情況 實(shí)際信號(hào)帶有隨機(jī)參數(shù) 因而在檢測(cè)時(shí)除了噪聲會(huì)造成誤判決外 參量的未知性又增加了檢測(cè)錯(cuò)誤的因素 隨相信號(hào)是一種典型且簡(jiǎn)單的隨參信號(hào) 對(duì)于隨相信號(hào)最佳接收 與確知信號(hào)最佳接收的思路是一致的 但是 隨相信號(hào)最佳接收的問題顯得更復(fù)雜一些 最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)形式也比確知信號(hào)最佳接收機(jī)復(fù)雜 40 8 4 1隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu) 隨相信號(hào)有多種形式 以隨機(jī)相位的2FSK信號(hào)為例進(jìn)行分析 設(shè)發(fā)送的兩個(gè)隨相信號(hào)為 1和 2是每一個(gè)信號(hào)的隨機(jī)相位參數(shù) 其取值在區(qū)間 0 2 上服從均勻分布 41 二者的能量相等接收波形y t s1 t 或s2 t n t 由于隨機(jī)相位 因此不能直接給出似然函數(shù)fs1 y 和fs2 y 但是可以先求出在給定相位 1和 2的條件下關(guān)于y t 的條件似然函數(shù)fs1 y 1 和fs2 y 2 即 42 其中 經(jīng)推導(dǎo)得 43 其中 44 最大似然函數(shù)準(zhǔn)則成為 比較fs1 y 和fs2 y 哪個(gè)大 比較和哪個(gè)大 比較和哪個(gè)大 45 隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu) 46 8 6起伏信號(hào)的最佳接收 起伏信號(hào) 振幅服從瑞利分布 相位服從均勻分布 可看成是數(shù)字信號(hào)通過瑞利衰落 快衰落 信道后的信號(hào) 處理起伏信號(hào)的最佳接收 在原理和方法上 與隨相信號(hào)相同 起伏信號(hào)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)和圖8 11給出的結(jié)構(gòu)相同 47 8 7普通接收機(jī)與最佳接收機(jī)的性能比較 對(duì)普通數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)的分析中 分析所得的結(jié)果與本章對(duì)最佳接收機(jī)的分析結(jié)果在公式的形式上是一樣的 這就是說 普通接收系統(tǒng)的r r S N 與最佳接收系統(tǒng)的Eb n0相對(duì)應(yīng) 但公式形式相同不意味著接收性能相同 分析r和Eb n0的關(guān)系 48 設(shè) 輸入端加入相同的噪聲n t 和數(shù)字信號(hào)s t 時(shí) n t 的單邊功率譜密度為n0 s t 的持續(xù)時(shí)間為T 其能量為Eb 實(shí)際接收系統(tǒng)總是首先要經(jīng)過帶通濾波 設(shè)濾波器的等效矩形帶寬為B 則信噪比r可表示為而最佳接收機(jī)的 49 實(shí)際的帶通濾波器帶寬B總是大于或等于1 T 上述分析表明 由于實(shí)際的帶通濾波器帶寬B總是大于或等于1 T 故在同樣的輸入條件下 普通接收系統(tǒng)的性能總是比最佳接收系統(tǒng)的差 這個(gè)差值 將取決于B與Eb n0的比值 50 8 8匹配濾波器 對(duì)最佳線性濾波器的設(shè)計(jì)有兩種準(zhǔn)則 一種是使濾波器輸出的信號(hào)波形與發(fā)送信號(hào)波形之間的均方誤差最小 最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則 由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為維納濾波器 另一種是使濾波器輸出信噪比在某一特定時(shí)刻達(dá)到最大 最大輸出信噪比準(zhǔn)則 由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為匹配濾波器 在數(shù)字通信中 匹配濾波器具有更廣泛的應(yīng)用 51 8 8 1匹配濾波器的原理 輸入r t s t n t s t 為輸入數(shù)字信號(hào) 其頻譜函數(shù)為S n t 為高斯白噪聲 其雙邊功率譜密度為n0 2 52 將解調(diào)器中抽樣判決以前各部分電路用一個(gè)線性濾波器來等效 由數(shù)字信號(hào)的判決原理可知 抽樣判決器輸出數(shù)據(jù)是否正確 與濾波器輸出信號(hào)波形和發(fā)送信號(hào)波形之間的相似程度無關(guān) 與濾波器輸出信號(hào)波形的失真程度無關(guān) 而只取決于抽樣時(shí)刻信號(hào)的瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比 即信噪比 信噪比越大 錯(cuò)誤判決的概率就越小 反之 信噪比越小 錯(cuò)誤判決概率就越大 53 當(dāng)所選擇的濾波器傳輸特性使輸出信噪比達(dá)到最大值時(shí) 這種濾波器稱為輸出信噪比最大的最佳線性濾波器 設(shè)輸出信噪比最大的最佳線性濾波器的傳輸函數(shù)為H 濾波器輸入信號(hào)與噪聲的合成波為s t 為輸入數(shù)字信號(hào) 其頻譜函數(shù)為S n t 為高斯白噪聲 其雙邊功率譜密度為 54 濾波器H 是線性濾波器 滿足線性疊加原理 因此濾波器輸出也由輸出信號(hào)和輸出噪聲兩部分組成 即輸出信號(hào)的頻譜函數(shù)為So 對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)為 濾波器輸出噪聲的平均功率為 55 在抽樣時(shí)刻t0 線性濾波器輸出信號(hào)的瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為使輸出信噪比ro達(dá)到最大的傳輸函數(shù)H 就是所要求的最佳濾波器的傳輸函數(shù) 這是一個(gè)泛函求極值的問題 采用施瓦茲 Schwartz 不等式可以解決該問題 施瓦茲不等式為 X KY 等式才能成立 K為任意常數(shù) 56 令X H Y S ej t0可得 根據(jù)帕塞瓦爾定理有 式中 E為輸入信號(hào)的能量 57 線性濾波器所能給出的最大輸出信噪比為 根據(jù)施瓦茲不等式中等號(hào)成立的條件X KY 可得不等式 8 1 10 中等號(hào)成立的條件為H KS e j t0K為常數(shù) 通?？蛇x擇為K 1 S 是輸入信號(hào)頻譜函數(shù)S 的復(fù)共軛 H 就是所要求的最佳線性濾波器的傳輸函數(shù) 該filter在給定時(shí)刻t0能獲得最大輸出信噪比 58 這種濾波器的傳輸函數(shù)除相乘因子Ke j t0外 與信號(hào)頻譜的復(fù)共軛相一致 所以稱該濾波器為匹配濾波器 從匹配濾波器傳輸函數(shù)H 所滿足的條件 也可以得到匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h t 59 即匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為 匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h t 是輸入信號(hào)s t 的鏡像函數(shù) t0為輸出最大信噪比時(shí)刻 對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng) 匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h t 應(yīng)滿足 t 0t 0 必須有 t 0 即 t0 t 0或t t0 60 說明 對(duì)于一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器 其輸入信號(hào)s t 必須在它輸出最大信噪比的時(shí)刻t0之前結(jié)束 也就是說 若輸入信號(hào)在T時(shí)刻結(jié)束 則對(duì)物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器 其輸出最大信噪比時(shí)刻t0必須在輸入信號(hào)結(jié)束之后 即t0 T 對(duì)于接收機(jī)來說 t0是時(shí)間延遲 通?？偸窍Ｍ麜r(shí)間延遲盡可能小 因此一般情況可取t0 T 若輸入信號(hào)為s t 則匹配濾波器的輸出信號(hào)為為輸入信號(hào)s t 的自相關(guān)函數(shù) 表明 匹配濾波器的輸出波形是輸入信號(hào)s t 的自相關(guān)函數(shù)的K倍 61 因此 匹配濾波器可以看成是一個(gè)計(jì)算輸入信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)器 其在t0時(shí)刻得到最大輸出信噪比romax 由于輸出信噪比與常數(shù)K無關(guān) 所以通常取K 1 例 設(shè)輸入信號(hào)如下 試求該信號(hào)的匹配濾波器傳輸函數(shù)和輸出信號(hào)波形 其他 62 63 匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為 取t0 T 則有 解 1 輸入信號(hào)s t 的頻譜函數(shù)為 64 2 由式 8 1 21 可得匹配濾波器的輸出為 其他 匹配濾波器的輸出波形如圖8 3 c 所示 可見 匹配濾波器的輸出在t T時(shí)刻得到最大的能量 65 例 試求與射頻脈沖波形匹配的匹配濾波器之特性 并確定其輸出波形 66 令t0 最大信噪比時(shí)刻為 則 67 假設(shè) kT0k是整數(shù)T0為載頻周期則 68 69 8 8 2匹配濾波器的實(shí)現(xiàn) 矩形包絡(luò)信號(hào)的匹配濾波器LC諧振式動(dòng)態(tài)濾波器模擬計(jì)算式動(dòng)態(tài)濾波器數(shù)字濾波式動(dòng)態(tài)濾波器聲表面波匹配濾波器 70 LC諧振式動(dòng)態(tài)濾波器 7