2010年數(shù)學建模講座.ppt

數(shù)學模型與數(shù)學建模競賽 數(shù)學模型與數(shù)學建模競賽 數(shù)學模型及其分類數(shù)學建模的方法和步驟數(shù)學建模的重要意義數(shù)學建模教學與數(shù)學建模競賽歷屆賽題及數(shù)學建模方法回顧 數(shù)學模型 MathematicalModel 和數(shù)學建模 MathematicalModeling 對于一個現(xiàn)實對象 為了一個特定目的 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律 作出必要的簡化假設 運用適當?shù)臄?shù)學工具 得到的一個數(shù)學結構 建立數(shù)學模型的全過程 包括表述 求解 解釋 檢驗等 數(shù)學模型 數(shù)學建模 問題 計算 預測 某地域某種生物的數(shù)量 生物種群的數(shù)量 指數(shù)增長模型 馬爾薩斯提出 1798 模型假設 生物群體的總數(shù)原來是整數(shù) 因此是離散量 但當群體較大時 不妨用一個連續(xù)量來表示 即是t時刻該生物種群的數(shù)量 并假設其連續(xù)可微 該群體的自然增長率 出生率與死亡率之差 為常數(shù)r 模型建立和求解 考察時段該種群數(shù)量由自然增長引起的變化 應有 兩邊同除 并令 模型建立和求解 若在初始時刻生物總數(shù)為 應用分離變量法可得 隨著時間增加 種群數(shù)量按指數(shù)規(guī)律無限增長 模型檢驗和評價 觀察一片土地上田鼠的數(shù)量 開始時為2只 2個月后為5只 6個月后為20只 10個月后增加到109只 設田鼠的自然增長率為0 4 那么田鼠數(shù)量滿足 模型改進 阻滯增長模型 Logistic模型 種群增長到一定數(shù)量后 增長率下降的原因 資源 環(huán)境等因素對生物種群增長的阻滯作用 且阻滯作用隨種群數(shù)量增加而變大 假設 r 固有增長率 N很小時 Nm 種群容量 資源 環(huán)境能容納的最大數(shù)量 改進模型 求解得 模型檢驗 草履蟲實驗 將5個草履蟲放在盛有0 5ml營養(yǎng)液的小試管中 連續(xù)6天觀察草履蟲的個數(shù) 發(fā)現(xiàn)開始時草履蟲的增長率為239 9 后來增長逐漸緩慢 第4天草履蟲的數(shù)量達到最高水平375個 若用自限模型 時刻t草履蟲個數(shù)為 上述公式計算的結果和觀察值的吻合程度相當令人滿意 數(shù)學模型的分類 應用領域 物理 人口 交通 經(jīng)濟 生態(tài) 數(shù)學方法 初等數(shù)學 微分方程 規(guī)劃 統(tǒng)計 表現(xiàn)特性 描述 優(yōu)化 預報 決策 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 確定和隨機 靜態(tài)和動態(tài) 線性和非線性 離散和連續(xù) 數(shù)學建模的基本方法 機理分析 測試分析 根據(jù)對客觀事物特性的認識 找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律 將對象看作 黑箱 通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析 找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型 二者結合 用機理分析建立模型結構 用測試分析確定模型參數(shù) 2 數(shù)學建模的方法和步驟 類比仿真 模擬 是以類比為邏輯基礎 用計算機模仿實際系統(tǒng)的運行過程 在整個運行時間內(nèi) 對系統(tǒng)狀態(tài)的變化進行觀察和統(tǒng)計 從而得到系統(tǒng)基本性能的估計和認識 一般不能得到解析的結果 數(shù)學建模的一般步驟 模型準備 了解實際背景 明確建模目的 搜集有關信息 掌握對象特征 形成一個比較清晰的 問題 模型假設 針對問題特點和建模目的 作出合理的 簡化的假設 在合理與簡化之間作出折中 模型構成 用數(shù)學的語言 符號描述問題 發(fā)揮想像力 使用類比法 盡量采用簡單的數(shù)學工具 數(shù)學建模的一般步驟 模型求解 各種數(shù)學方法 軟件和計算機技術 如結果的誤差分析 統(tǒng)計分析 模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析 模型分析 模型檢驗 與實際現(xiàn)象 數(shù)據(jù)比較 檢驗模型的合理性 適用性 模型應用 數(shù)學建模的一般步驟 1 觀察 分析實際問題 作出合理的假設 2 涉及的數(shù)學問題可能是復雜 困難的 求解也許涉及深刻的數(shù)學方法 如何作出正確的判斷 尋找合適的 解析或近似 解法 3 如何驗證模型求解的結果是合理 正確的 數(shù)學建模三難點 3 研究數(shù)學模模的重要意義 數(shù)學模型有悠久的歷史 數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透 在一般工程技術領域數(shù)學建模仍然大有用武之地 在高新技術領域數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具 數(shù)學模型在其他科學中的應用物理和力學化學和生物生物醫(yī)學經(jīng)濟和社會 數(shù)學建模在國民經(jīng)濟中具體應用 產(chǎn)品的設計和制造 質(zhì)量控制 控制與優(yōu)化 預測與管理 資源和環(huán)境 其他 數(shù)學模型和數(shù)學技術 高新技術的新特征之一數(shù)學不僅是科學而且是技術數(shù)學是一種關鍵性的 普遍的 能夠?qū)嵭械募夹g高技術本質(zhì)上是一種數(shù)學技術 數(shù)學建模教學與數(shù)學建模競賽 開設數(shù)學建模課程科學技術發(fā)展的需要培養(yǎng)高質(zhì)量 高層次科技人才的需要教育改革的需要發(fā)現(xiàn)和總結建立數(shù)學模型的規(guī)律和方法上世紀七十年代 國外開設數(shù)學建模課程二十世紀八 九十年代我國各高校相繼開設數(shù)學建模課程1985年 美國大學生數(shù)學建模競賽 UCMCM 開始舉行 每年一次 2月份1992年 我國大學生數(shù)學建模競賽開始舉行 CUMCM 每年一次 9月 競賽內(nèi)容 題目由工程技術 管理科學中的實際問題簡化而成 沒有事先設定的標準答案 但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神 競賽形式 三名大學生組成一隊 可以自由地收集資料 調(diào)查研究 使用計算機 互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件 在三天時間內(nèi)分工合作完成一篇論文 評獎標準 假設的合理性 建模的創(chuàng)造性 結果的正確性 文字表述的清晰程度 競賽宗旨 創(chuàng)新意識團隊精神重在參與公平競爭 全國大學生數(shù)學建模競賽 運用學過的數(shù)學知識和計算機 包括選擇合適的數(shù)學軟件 分析和解決實際問題的能力 面對復雜事物的想象力 洞察力 創(chuàng)造力和獨立進行研究的能力 關心 投身國家經(jīng)濟建設的意識和理論聯(lián)系實際的學風 團結合作精神和進行協(xié)調(diào)的組織能力 勇于參與的競爭意識和不怕困難 奮力攻關的頑強意志 查閱文獻 收集資料及撰寫科技論文的文字表達能力 數(shù)學建模競賽培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神 提高學生綜合素質(zhì) 每年四道題大學本科 A B題任選一題 專科高職 C D題任選一題 A C為連續(xù)型題目 B D為離散型題目 優(yōu)秀論文登在 2001年起 2001年前 來年第1期上 數(shù)學建模競賽的準備 培訓 內(nèi)容 1 建模的基本概念和方法 數(shù)學建模課程的主要內(nèi)容 2 建模過程中常用的數(shù)學方法 微積分 代數(shù) 概率外 主要有 計算方法 如數(shù)值微分和積分 微分方程數(shù)值解 代數(shù)方程組解法 優(yōu)化方法 如線性 非線性規(guī)劃 數(shù)理統(tǒng)計 如假設檢驗 回歸分析 圖論 如最短路 等 只要求知道實際問題與這些數(shù)學知識之間的對應關系 如哪些問題可用線性規(guī)劃求解 或線性規(guī)劃可解決哪些問題 以及用它們建立模型的方法 基本上不必涉及模型的求解 3 數(shù)學軟件的用法 基本上能完成上述方法的軟件 如MATLAB MATHEMATICA LINDO LINGO SAS等 4 歷屆賽題的研討 5 撰寫數(shù)學建模論文的練習 數(shù)學建模競賽準備的 培訓 內(nèi)容 歷屆賽題及數(shù)學建模方法回顧 優(yōu)化方法 一般函數(shù)優(yōu)化 用微積分的方法解決 小規(guī)模 規(guī)劃問題 使用軟件求解 包括線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃 多目標規(guī)劃 動態(tài)規(guī)劃 整數(shù)優(yōu)化 組合優(yōu)化 離散優(yōu)化 網(wǎng)絡優(yōu)化 數(shù)據(jù)處理方法 曲線擬合 數(shù)據(jù)回歸分析 插值 概率統(tǒng)計方法 期望分析 排隊論 回歸分析 模式識別 判別分析 微分方程方法 穩(wěn)定性分析 預測 圖論方法 最短路問題 最大流問題 最小生成樹 計算機技術 圖像處理 隨機模擬 各種算法實現(xiàn) 神經(jīng)網(wǎng)絡方法 離散方法 層次分析法 決策分析 對策論 模糊數(shù)學 模糊聚類分析 模糊層次分析 模糊規(guī)劃 常用的軟件工具 MATLAB科學計算 最優(yōu)化求解 微分方程求解 統(tǒng)計分析 編程 符號運算 結果可視化SPSS SAS統(tǒng)計分析LINDO LINGO最優(yōu)化求解MATHEMATICA符號運算 科學計算 最優(yōu)化求解 微分方程求解 統(tǒng)計分析 編程 參考資料 數(shù)學模型 第三版 姜啟源等編 高等教育出版社2005數(shù)學模型 譚永基等編 復旦大學出版社 2005ModelsinAppliedMathematics Vol1 3 F Lacos Springer Verlag NewYork 1983數(shù)學建模 Giordano著葉其孝等譯機械工業(yè)出版社 2005數(shù)學模型引論 第三版 唐煥文等編 高等教育出版社 參考資料 數(shù)學模型方法與算法 邊馥萍等 高教社 2005數(shù)學建模方法及其應用 韓中庚 高教社 2005中國大學生數(shù)學建模競賽 第二版 李大潛 高教社 2001優(yōu)化建模與LINDO LINGO軟件 謝金星等 清華大學出版社 2005數(shù)學建模與數(shù)學實驗 趙靜等 高教社 2003數(shù)學模型案例選集 姜啟源等編 高等教育出版社2006 參考資料 數(shù)學模型與數(shù)學建模 劉來福等 北京師范大學出版社 2005數(shù)學模型講義 雷功炎 北京大學出版社 1994數(shù)學模型案例集 楊啟帆等 高教社 2006經(jīng)濟管理數(shù)學模型案例教程 譚永基等 高教社 2006全國大學生數(shù)學建模競賽優(yōu)秀論文匯編 1