高一數(shù)學(xué) 3.1.2 用二分法求方程的近似解 4課件 新人教A版必修1.ppt

3 1函數(shù)與方程 3 1 2用二分法求方程的近似解 研習(xí)新知 新知視界1 二分法的概念對于在區(qū)間 a b 上連續(xù)不斷 且f a f b 0的函數(shù)y f x 通過不斷地把函數(shù)f x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二 使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn) 進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法 2 用二分法求函數(shù)f x 零點(diǎn)近似值的步驟 1 確定區(qū)間 a b 驗(yàn)證f a f b 0 給定精確度 2 求區(qū)間 a b 的中點(diǎn)x1 3 計(jì)算f x1 若f x1 0 則x1就是函數(shù)的零點(diǎn) 若f a f x1 0 則令b x1 此時(shí)零點(diǎn)x0 a x1 若f x1 f b 0 則令a x1 此時(shí)零點(diǎn)x0 x1 b 4 判斷是否達(dá)到精確度 即若 a b 則得到零點(diǎn)近似值a 或b 否則重復(fù) 2 4 思考感悟能否用二分法求任何函數(shù) 圖象是連續(xù)的 的近似零點(diǎn) 提示 不能 看一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)關(guān)鍵要看是否具備應(yīng)用二分法的條件 即函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的 且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號 自我檢測1 以下函數(shù)圖象中 不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是 答案 d 2 下面關(guān)于二分法的敘述 正確的是 a 用二分法可求函數(shù)所有零點(diǎn)的近似值b 用二分法求方程的近似解時(shí) 可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位c 二分法無規(guī)律可循 無法在計(jì)算機(jī)上完成d 只有在求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)才用二分法答案 b 答案 b 4 用二分法研究函數(shù)f x x3 3x 1的零點(diǎn)時(shí) 第一次經(jīng)計(jì)算f 0 0 可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0 解析 f 0 0 f 0 f 0 5 0 故f x 在 0 0 5 內(nèi)必有零點(diǎn) 答案 0 0 5 解 f 2 f 4 0 x0 2 3 互動課堂 典例導(dǎo)悟類型一用二分法求方程的近似解 例1 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī) 用二分法求方程ln 2x 6 2 3x 在區(qū)間 1 2 內(nèi)的近似解 精確度0 1 解 原方程即ln 2x 6 2 3x 0 令f x ln 2x 6 2 3x 用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出x f x 的對應(yīng)值表如下 由上表可以知道f 1 f 2 0 說明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間 1 2 內(nèi)有零點(diǎn)x0 取區(qū)間 1 2 的中點(diǎn)x1 1 5 用計(jì)算器可得f 1 5 1 00 由于f 1 f 1 5 0 那么x0 1 1 5 再取 1 1 5 的中點(diǎn)x2 1 25 用計(jì)算器可得f 1 25 0 19 由于f 1 25 f 1 5 0 那么x0 1 25 1 5 同理 可得x0 1 25 1 375 x0 1 25 1 3125 由于 1 3125 1 25 0 1 所以方程ln 2x 6 2 3x在區(qū)間 1 2 內(nèi)的近似解為1 3125 點(diǎn)評 由方程f x 0設(shè)函數(shù)y f x 在給定區(qū)間上判斷是否存在零點(diǎn) 當(dāng)存在零點(diǎn)時(shí) 用二分法依次取中點(diǎn)求值判斷 直到x的值符合精確度要求為止 用二分法找函數(shù)的零點(diǎn)體現(xiàn)了逐步逼近的數(shù)學(xué)思想 通過不斷地把函數(shù)y f x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二 使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn) 進(jìn)而找到零點(diǎn)近似值 變式體驗(yàn)1利用計(jì)算器 求方程x3 lgx 18的近似解 精確度0 1 解 這個(gè)解記為x0 設(shè)f x 18 x3 lgx 用計(jì)算器計(jì)算 得f 2 0 f 2 5 0 f 3 0 f 2 75 0 則x0 2 5 2 75 f 2 5 0 f 2 625 0 f 2 625 0 則x0 2 5625 2 625 由于 2 5625 2 625 0 1 所以原方程的近似解為x0 2 5625 類型二用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值 例2 判斷函數(shù)y x3 x 1在區(qū)間 1 1 5 內(nèi)有無零點(diǎn) 如果有 求出一個(gè)近似零點(diǎn) 精確度0 1 分析 由題目可獲取以下主要信息 判斷函數(shù)在區(qū)間 1 1 5 內(nèi)有無零點(diǎn) 可用根的存在性定理判斷 精確度0 1解答本題在判斷出在 1 1 5 內(nèi)有零點(diǎn)后可用二分法求解 解 因?yàn)閒 1 10 且函數(shù)y x3 x 1的圖象是連續(xù)的曲線 所以它在區(qū)間 1 1 5 內(nèi)有零點(diǎn) 用二分法逐次計(jì)算 列表如下 由于 1 34375 1 3125 0 03125 0 1 所以函數(shù)的一個(gè)近似零點(diǎn)可取1 3125 變式體驗(yàn)2求函數(shù)f x x2 5的負(fù)零點(diǎn) 精確度0 1 解 由于f 2 10 故取區(qū)間 3 2 作為計(jì)算的初始區(qū)間 用二分法逐次計(jì)算 列表如圖 由于 2 25 2 1875 0 0625 0 1 所以函數(shù)的一個(gè)近似負(fù)零點(diǎn)可取 2 25 類型三二分法的實(shí)際應(yīng)用 例3 一塊電路板的線路ab之間有64個(gè)串聯(lián)的焊接點(diǎn) 如果線路不通的原因是由于焊接點(diǎn)脫落所致 要想檢驗(yàn)出哪一處焊接點(diǎn)脫落 問運(yùn)用二分法至多需要檢測的次數(shù)是多少 解 對焊接點(diǎn)一一檢測很麻煩 當(dāng)然也是不需要的 如圖1所示 只需選線路ab的中點(diǎn)c 然后判斷出焊接點(diǎn)脫落處所在的線路是ac還是bc 然后依次循環(huán)上述過程即可很快檢測出焊接點(diǎn)脫落的位置 根據(jù)二分法的思想 具體分析如下 第1次取中點(diǎn)把焊接點(diǎn)數(shù)減半為64 2 32個(gè) 第2次取中點(diǎn)把焊接點(diǎn)數(shù)減半為32 2 16個(gè) 第3次取中點(diǎn)把焊接點(diǎn)數(shù)減半為16 2 8個(gè) 第4次取中點(diǎn)把焊接點(diǎn)數(shù)減半為8 2 4個(gè) 第5次取中點(diǎn)把焊接點(diǎn)數(shù)減半為4 2 2個(gè) 第6次取中點(diǎn)把焊接點(diǎn)數(shù)減半為2 2 1個(gè) 所以至多需要檢測6次 點(diǎn)評 本題實(shí)際上是二分法思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用 通過取區(qū)間 或線路 的中點(diǎn) 依次使區(qū)間的長度 或焊接點(diǎn)個(gè)數(shù) 減半 就逐步逼近了函數(shù)的零點(diǎn) 或焊接點(diǎn)脫落處 從而使問題得到解決 變式體驗(yàn)32008年初我國南方遭遇了50年不遇的雪災(zāi) 雪災(zāi)發(fā)生后 停水?dāng)嚯?交通受阻 一日 某市a地到b地的電話線路發(fā)生故障 這是一條10km長的線路 每隔50m有一根電線桿 如何迅速查出故障所在 解 可以利用二分法的思想進(jìn)行方案的設(shè)計(jì) 如圖2 可首先從中點(diǎn)c開始查起 用隨身攜帶的工具檢查 若發(fā)現(xiàn)ac段正常 斷定故障在bc段 再到bc段中點(diǎn)d檢查 若cd段正常 則故障在bd段 再到bd段中點(diǎn)e檢查 如此這般 每檢查一次就可以將待查的線路長度縮短一半 經(jīng)過7次查找 即可將故障范圍縮小到50 100m之間 即可容易找到 思悟升華1 求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí) 所要求的精確度不同 得到的結(jié)果也不相同 精確度為 是指在計(jì)算過程中得到某個(gè)區(qū)間 a b 后 若其長度小于 即認(rèn)為已達(dá)到所要求的精確度 可停止計(jì)算 此時(shí)區(qū)間內(nèi)的任意值可作為零點(diǎn)的近似值 否則應(yīng)繼續(xù)計(jì)算 直到 a b 為止 2 用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí) 最好是將計(jì)算過程中所得到的各個(gè)區(qū)間 中點(diǎn)坐標(biāo) 區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值等列在一個(gè)表格中 這樣可以更清楚地發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)所在區(qū)間 3 用二分法求出的零點(diǎn)一般是零點(diǎn)的近似值 但并不是所有函數(shù)都