2014高考數學一輪復習單元練習--空間向量與立體幾何.doc

高新一中2013高考數學一輪復習單元練習-空間向量與立體幾何I 卷一、選擇題1點M在z軸上，它與經過坐標原點且方向向量為s(1，1,1)的直線l的距離為，則點M的坐標是()A(0,0，2)B(0,0，3)C(0,0，) D(0,0，1)【答案】B2在空間四邊形ABCD中，若，則等于 ( ）ABCD【答案】D3四棱柱中，AC與BD的交點為點M，設，則下列與相等的向量是 ( ）AB CD【答案】4在三棱柱中，設M、N分別為的中點，則等于 ( ）ABCD【答案】B5平面，的法向量分別是n1(1,1,1)，n2(1,0，1)，則平面，所成角的余弦值是()A BC D【答案】C6 空間任意四個點A、B、C、D，則等于 ( ）ABCD【答案】C7以下命題中，不正確的命題個數為() 已知A、B、C、D是空間任意四點，則ABCD0若a，b，c為空間一個基底，則ab，bc，ca構成空間的另一個基底；對空間任意一點O和不共線三點A、B、C，若Oxyz(其中x，y，zR)，則P、A、B、C四點共面A0B1C2D3【答案】B8已知向量a，b，c是空間的一基底，向量ab，ab，c是空間的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐標為(4,2,3)，則向量p在基底ab，ab，c下的坐標是()A(4,0,3)B(3,1,3)C(1,2,3)D(2,1,3)【答案】B9在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為正方體內一動點(包括表面)，若xyz，且0xyz1.則點P所有可能的位置所構成的幾何體的體積是()A1B C D【答案】D10在90的二面角的棱上有A、B兩點，AC，BD分別在這個二面角的兩個面內，且都垂直于棱AB，已知AB5，AC3，BD4，則CD()A5 B5 C6D7【答案】A11如圖ABCDA1B1C1D1是正方體，B1E1D1F1，則BE1與DF1所成角的余弦值是()A BC D【答案】A12如圖所示，在四面體PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值為()A BC D【答案】CII卷二、填空題13 設a12ijk，a2i3j2k，a32ij3k，a46i4j5k，其中i，j，k是空間向量的一組基底，試用a1，a2，a3表示出a4，則a4_.【答案】a12a2a314平面經過點A(0,0,2)且一個法向量n(1，1，1)，則x軸與平面的交點坐標是_【答案】(2,0,0)15在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是_【答案】6016已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，則|ba|的最小值為_【答案】三、解答題17如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)證明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值【答案】如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線OA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系Dxyz.(1)依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)則(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以0，0.即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ。(2)依題意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)設n(x，y，z)是平面PBC的法向量，即即因此可取n(0，1，2)設m是平面PBQ的法向量，則可取m(1,1,1)，所以cosm，n故二面角QBPC的余弦值為18如圖，在平行四邊形ABCD中，AB2BC，ABC120，E為線段AB的中點，將ADE沿直線DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F為線段AC的中點.(）求證：BF平面ADE;(）設M為線段DE的中點，求直線FM與平面ADE所成角的余弦值.【答案】()取AD的中點G，連結GF，CE，由條件易知FGCD，FG=CD. BECD,BE=CD.所以FGBE,FG=BE. 故四邊形BEGF為平行四邊形.所以BF平面ADE.()在平行四邊形ABCD中，因為AB2BC，ABC=120，設BC=4，作MGAB于G，則.如圖所示建立空間直角坐標系Mxyz，則，所以.設平面ADE的法向量為，由得，所以.設直線FM與平面ADE所成角為，則.所以直線FM與平面ADE所成角的余弦值為.19如圖，四棱錐的底面是正方形，點E在棱PB上.(）求證：平面； (）當且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.【答案】（）四邊形ABCD是正方形，ACBD.，PDAC.AC平面PDB.平面.(）設ACBD=O，連接OE，由（）知AC平面PDB于O，AEO為AE與平面PDB所的角.O，E分別為DB、PB的中點，OEPD，.又，OE底面ABCD，OEAO.在RtAOE中，即AE與平面PDB所成的角的大小為.【解法2】如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，設則，(），.ACDP，ACBD，AC平面PDB.平面.(）當且E為PB的中點時，設，則，連結OE，由（）知AC平面PDB于O，AEO為AE與平面PDB所成的角.，即AE與平面PDB所成的角的大小為.20已知長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC4，AA14，點M是棱D1C1的中點求直線AB1與平面DA1M所成角的正弦值【答案】建立如圖所示的空間直角坐標系，可得有關點的坐標為D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，C(0,2,0)，A1(4,0,4)，B1(4,2,4)，C1(0,2,4)，D1(0,0,4)于是，M(0,1,4).(0,1,4)，(4,0,4)，(0,2,4)設平面DA1M的法向量為n(x，y，z)，則，即取z1，得x1，y4.所以平面DA1M的一個法向量為n(1,4，1)設直線AB1與平面DA1M所成角為，則sin ，所以直線AB1與平面DA1M所成角的正弦值為21如圖，四棱錐SABCD中，SD底面ABCD，ABCD，ADCD，ABAD1，DCSD2，E為棱SB上的一點，平面EDC平面SBC.(1)證明：SE2EB；(2)求二面角ADEC的大小【答案】方法一(1)證明如圖所示，連結BD，取DC的中點G，連結BG，由此知DGGCBG1，即DBC為直角三角形，故BCBD.又SD平面ABCD，故BCSD，所以BC平面BDS，BCDE.作BKEC，K為垂足因為平面EDC平面SBC，故BK平面EDC，BKDE，即DE與平面SBC內的兩條相交直線BK、BC都垂直，所以DE平面SBC，所以DEEC，DESB.又DB，SB，DE，EB，SESBEB，所以SE2EB.(2)由SA，AB1，SE2EB，ABSA，知 AE1.又AD1.故ADE為等腰三角形取ED中點F，連結AF，則AFDE，AF連結FG，則FGEC，FGDE.所以AFG是二面角ADEC的平面角連結AG，AG，FGcosAFG所以二面角ADEC的大小為120.方法二(1)證明以D為坐標原點，線段DA，DC，DS所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的直角坐標系Dxyz，設A(1,0,0)，則B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)S(0,2，2)，B(1,1,0)設平面SBC的法向量為n(a，b，c)，由nS，nB，得nS0，nB0.故2b2c0，ab0.令a1，則b1，c1，n(1,1,1)又設S(0)，則E，D，D(0,2,0)設平面CDE的法向量m(x，y，z)，由m，m，得m0，m0.故0,2y0.令x2，則m(2,0，)由平面DEC平面SBC，得mn所以mn0,20，2.故SE2EB.(2)解由(1)知，取DE中點F，則F，故0，由此得FADE.又，故0，由此得ECDE，向量F與E的夾角等于二面角ADEC的平面角于是cosF，E，所以二面角ADEC的大小為120.22如圖142，三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA1AC1.(1)求證：AC1平面A1BC；(2)求二面角AA1BC的余弦值圖142【答案】 (1)如圖，設A1Dt(t0)，取AB的中點E，則DEBC，因為BCAC，所以DEAC，又A1D平面ABC，以DE，DC，DA1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A(0，1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，(0,3，t)，(2，1，t)，(2,0,0)，由10