福建省南平市光澤二中高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章第四節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課件 文 新人教A版.ppt

第四節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 一 根式 1 根式的概念 2 根式的性質(zhì) 負(fù)數(shù) 相反數(shù) 二 有理數(shù)指數(shù)冪 1 冪的有關(guān)概念 1 正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 a 0 m n n 且n 1 2 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 a 0 m n n 且n 1 3 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義 2 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 1 aras ar s a 0 r s q 2 ar s ars a 0 r s q 3 ab r arbr a 0 b 0 r q 三 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1 n與這兩個(gè)式子雖然非常接近 但它們的意義不同 注意區(qū)別 2 指數(shù)函數(shù)f x ax a 0且a 1 且有性質(zhì) f x y f x f y f 1 a 0 因此滿足該性質(zhì)的函數(shù)原型就是指數(shù)函數(shù) 在解決有關(guān)抽象函數(shù)問題時(shí) 可以借助原型求解 3 指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) 0 1 在此基礎(chǔ)上 可以推出與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)所經(jīng)過的定點(diǎn) 例如函數(shù)y 3x 2 5所經(jīng)過的定點(diǎn)為 2 6 4 指數(shù)函數(shù)定義是一個(gè)形式定義 如y 2ax就不是指數(shù)函數(shù) 5 函數(shù)y ax a 0且a 1 實(shí)質(zhì)上和函數(shù)y ax a 0 且a 1 是同一個(gè)函數(shù) 而函數(shù)y a x a 0 且a 1 則不同于函數(shù)y ax a 0 且a 1 它是一個(gè)偶函數(shù) 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 6 口訣 同大異小 可用來比較ax與1的大小 1 教材改編題 下列各式正確的是 a 30 1b 3c 3m 2 9md 2 1 答案 c 2 化簡(jiǎn) x 0 y 0 得 a 2x2yb 2xyc 4x2yd 2x2y 解析 16x8y4 2x2y 4 2x2 y 2x2y 答案 d 3 函數(shù)f x ax a 0 且a 1 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x y都有 a f xy f x f y b f xy f x f y c f x y f x f y d f x y f x f y 解析 f x y ax y ax ay f x f y 答案 c 4 已知a 30 2 b 0 2 3 c 3 0 2 則a b c的大小關(guān)系是 解析 由函數(shù)y 3x的單調(diào)性知3 0 23 所以b a c 答案 b a c 5 函數(shù)f x ax 2011 2011 a 0 且a 1 的圖象恒過定點(diǎn) 解析 由于y ax a 0 且a 1 恒過定點(diǎn) 0 1 令x 2011 0 得x 2011 f 2011 a0 2011 2012 故f x 的圖象恒過定點(diǎn) 2011 2012 答案 2011 2012 指數(shù)冪的求值與化簡(jiǎn) 思路點(diǎn)撥 指數(shù)冪或根式的化簡(jiǎn)與求值的一般思路 負(fù)指數(shù)化為正指數(shù) 根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 小數(shù)化為分?jǐn)?shù) 再根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算 變式探究 1 化簡(jiǎn)下列各式 其中各字母均為正數(shù) 方法技巧 1 若題目中的式子既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 通常先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 2 結(jié)果要求 1 若題目以根式形式給出 則結(jié)果用根式表示 2 若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出 則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示 3 結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)冪 3 注意運(yùn)算的先后順序 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1 作出函數(shù)的圖象 2 由圖象指出其單調(diào)區(qū)間 3 由圖象指出 當(dāng)x取什么值時(shí)有最值 解 1 法一 由函數(shù)解析式可得 其圖象由兩部分組成 一部分是將 的圖象向 左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度 得 另一部分是由 向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度 得 如圖 從而得出 的圖象 的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 即可得 的圖象 2 由圖象知函數(shù)在 1 上是增函數(shù) 在 1 上是減函數(shù) 3 由圖象知 當(dāng)x 1時(shí) 無最小值 其值域?yàn)?0 1 變式探究 2 若直線y 2a與函數(shù) 的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn) 則a的取值范圍是 解析 數(shù)形結(jié)合 在同一直角坐標(biāo)系中 分別作出y 2a與 的圖象 從直觀上分析 當(dāng)a 1時(shí) 2a 2 易知此時(shí) y 2a與 的圖象只有一 個(gè)公共點(diǎn) 不合題意 當(dāng)0 a 1時(shí) 如圖 先作出 的圖象 將 的圖象向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度 得 的圖象 再利用絕對(duì)值變換 得 的圖象 如圖 從而當(dāng)0 2a 1 直線y 2a與函數(shù) y 的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn) 方法技巧 抓住指數(shù)函數(shù)的圖象 不僅可以直觀準(zhǔn)確把握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 而且利用圖象的形象直觀 使有些問題得到簡(jiǎn)捷的解法 綜合應(yīng)用 1 判斷f x 的奇偶性 2 討論f x 的單調(diào)性 3 當(dāng)x 1 1 時(shí) f x b恒成立 求b的取值范圍 思路點(diǎn)撥 1 用奇偶性定義判斷 2 利用單調(diào)性定義 或利用導(dǎo)數(shù)解決 3 恒成立問題可轉(zhuǎn)化為探求f x 的最小值 解 1 函數(shù)的定義域?yàn)閞 例3 理 已知定義在r上的奇函數(shù)f x 有最小正周期2 且x 0 1 時(shí) 1 求f x 在 1 1 上的解析式 2 判斷f x 在 0 1 上的單調(diào)性 并給予證明 思路點(diǎn)撥 第 1 問 只需求出f x 在x 1 0 和x 0 x 1處的解析式即可 結(jié)合奇偶性的周期性可完成 第 2 問 令t 2 x 1 t 2 則 在 1 2 上為增函數(shù) 從而g t 在 1 2 上 為減函數(shù) 即f x 為 0 1 上的減函數(shù) 再由單調(diào)性定義可證 解 1 當(dāng)x 1 0 時(shí) x 0 1 f x 為奇函數(shù) 3 對(duì)于函數(shù) 1 求函數(shù)的定義域 值域 2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 解 1 設(shè)t x2 6x 17 由于函數(shù)y t t x2 6x 17的定義域是 故所求函數(shù)定義域?yàn)閤 r t x2 6x 17 x 3 2 8 8 又y x是減函數(shù) t 8 又y t 0 故函數(shù)值域?yàn)?0 2 函數(shù)t x2 6x 17在 3 上是增函數(shù) 即當(dāng)3 x1 t2 即y1 y2 所以函數(shù)y x2 6x 17在 3 上是減函數(shù) 同理可知 y x2 6x 17在 3 上是增函數(shù) 3 當(dāng)a 1時(shí) 函數(shù)y af x 與y f x 的單調(diào)性相同 當(dāng)00 且a 1 是奇函數(shù) 例1 2009年山東卷 函數(shù)y 的圖象大致為 答案 a 例2 設(shè)f x 2x 1 c b a 且f c f a f b 則下列關(guān)系中一定成立的是 a 2c 2bb 2c 2ac 2c 2a 2d 2c 2a 2 解析 數(shù)形結(jié)合 先作出f x 2x 1 的圖象 如圖知f x 在 0 上是減函數(shù) 在 0 上是增函數(shù) cf a f b c0 01 由f c f a 即 2c 1 2a 1 1 2c 2a 1 2c 2a 2 故選c 答案 c 類型忽視對(duì)參數(shù)的分類討論致誤 例 已知指數(shù)函數(shù)f x ax a 0 且a 1 在區(qū)間 1 2 上的最大值與最小值的差為 則a 正解 當(dāng)01時(shí) 函數(shù)f x ax在 1 2 上為增函數(shù) 最小值為f 1 a 最大值為f 2 a2 從而a2 a 解得a 或a 0 舍去 綜上 a 或a 分析 本題在求解過程中極易忽視對(duì)底數(shù)a的討論 認(rèn)為f x min f 1 f x max f 2 由a2 a 求得a 或a 0 舍 認(rèn)為a 1 因此 當(dāng)指數(shù)函數(shù) 或?qū)?shù)函數(shù) 的底數(shù)含有參數(shù)時(shí) 一定要先對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論 再確定單調(diào)性 進(jìn)而解決有關(guān)問題 一 選擇題 1 函數(shù)f x 的定義域是 a 0 b 0 c 0 d 解析 因1 2x 0 即2x 1 x 0 答案 a 2 設(shè)函數(shù)f x 若f x 1 則x的取值范圍是 a 1 b 2 c 1 2 d 1 2 解析 當(dāng)x 0時(shí) f x 1 即2 x 1 1 2 x 2 故 x 1 也即x0時(shí) f x 1 即x 1 所以x 2 綜上所述x的取值范圍 1 2 答案 d 3 函數(shù)y 0 a 1 的圖象的大致形狀是 只有d正確 答案 d 4 設(shè)函數(shù)f x a x a 0 且a 1 f 2 4 則 a f 2 f 1 b f 1 f 2 c f 1 f 2 d f 2 f 2 解析 f 2 4 a 2 4 a 1 2 a f x x 2 x f 2 22 4 f 1 21 答案 a 5 2010年安徽省巢湖市模擬 定義運(yùn)算a b 則函數(shù)f x 1 2x的圖象是 解析 f x 1 2x a項(xiàng)合題意 答案 a 二 填空題 6 下列各等式中 正確的有 寫出正確答案的序號(hào) 解析 明顯錯(cuò)誤 中 n是偶數(shù)時(shí) 正數(shù)的n次方根有兩個(gè) 故 也不正確 答案 7 文 函數(shù)y 1 x的值域是 解析 因1 x r 所以 1 x 0 即函數(shù)值域?yàn)?0 答案 0 理 若函數(shù)f x ax x a a 0且a 1 有兩個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 設(shè)函數(shù)y ax a 0且a 1 與函數(shù)y x a 則函數(shù)y ax x a a 0且a 1 有兩個(gè)零點(diǎn) 就是函數(shù)y ax a 0且a 1 與y x a有兩個(gè)交點(diǎn) 由圖象知當(dāng)01時(shí) 因y ax a 1 圖象過 0 1 點(diǎn) 而y x a所過的點(diǎn)一定在 0 1 上方 所以兩圖象一定有兩個(gè)交點(diǎn) 即a 1 答案 1 8 設(shè)y f x 是定義在實(shí)數(shù)集r上的函數(shù) 滿足條件y f x 1 為偶函數(shù) 且當(dāng)x 1時(shí) f x 2x 1 則f f f 的大小關(guān)系為 解析 由y f x 1 是偶函數(shù) 得f 1 x f 1 x f x f 2 x f x 的圖象關(guān)于直線x 1對(duì)稱 f f 2 f 又x 1時(shí) f x 2x 1是增函數(shù) 0f f 即f f f 答案 f f f 9 定義區(qū)間 x1 x2 x1 x2 的長(zhǎng)度為x2 x1 已知函數(shù)y 2 x 的定義域?yàn)?a b 值域?yàn)?1 2 則區(qū)間 a b 的長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為 解析 因y 2 x 是偶函數(shù) 當(dāng) a b 在函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間 0 1 或減函數(shù) 1 0 上時(shí) 值域?yàn)?1 2 這時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度最短 當(dāng) a b 在函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間 1 1 時(shí) 值域?yàn)?1 2 這時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度最長(zhǎng) 故長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為1 答案 1 三 解答題 10 設(shè)f x ax b同時(shí)滿足條件f 0 2和對(duì)任意x r都有f x 1 2f x 1成立 1 求f x 的解析式 2 設(shè)函數(shù)g x 的定義域?yàn)?2 2 且在定義域內(nèi)g x f x 且函數(shù)h x 的圖象與g x 的圖象關(guān)于直線y x對(duì)稱 求h x 3 求函數(shù)y g x h x 的值域 解 1 由f 0 2 得b 1 由f x 1 2f x 1 得ax a 2 0 由ax 0得a 2 所以f x 2x 1 2 由題意知 當(dāng)x 2 2 時(shí) g x f x 2x 1 設(shè)點(diǎn)p x y 是函數(shù)h x 的圖象上任意一點(diǎn) 它關(guān)于直線y x對(duì)稱的點(diǎn)為p y x 依題意點(diǎn)p y x 在函數(shù)g x 的圖象上 即x 2y 1 所以y log2 x 1 即h x log2 x 1 x 5 3 由已知得 y log2 x 1 2x 1 且兩個(gè)函數(shù)的公共定義域是 2 所以函數(shù)y g x h x log2 x 1 2x 1 x 2 由于函數(shù)g x 2x 1與h x log2 x 1 在區(qū)間 2 上均為增函數(shù) 當(dāng)x 時(shí) y 2 1 當(dāng)x 2時(shí) y 5 所以函數(shù)y g x h x