正弦余弦定理的應用.doc

1) 在三角形ABC中，已知a2-a=2(b+c),a+2b=2c-3，求三角形ABC的最大角的弧度數(shù)思路：先證ca,cb,說明求角C即可依題意可得c=(a2+3)/4,b=(a2-2a-3)/4再由余弦定理得cosC=（a2+b2-c2)/(2ab),將b、c代入后化簡可得cosC =-1/2，即得角C=120度2) 角ABC的三邊為a.b.c,并適合a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2,試問此三角形為種特殊三角形。原式 2a4+2b4+2c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2 (同時乘以2)2a4+2b4+2c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=0 (移項)(a4-2a2b2+b4)+(a4-2a2c2+c4)+(b4-2b2c2+c4)=0 (分組)(a2-b2)2+(b2-c2)2+(a2-c2)2=0因為一個數(shù)的平方為非負數(shù)所以a2-b2=0 b2-c2=0 c2-a2=0即a-b=0 b-c=0 c-a=0所以此三角形為等邊三角形3）在三角形ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且3sin2B+3sin2C-2sinBsinC=3sin2A,a因為a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（正弦定理）所以3Sin2B+3Sin2C-2SinBSinc=3Sin2A=3b2+3c2-2bc=3a2又因為（b2+c2-a2）/2bc=cosA（余弦定理）所以3b2+3c2-2bc=3a2=3（b2+c2-a2）/2bc=2bc/2bc=1=cosA=1/3向量AB向量AC=bc*cosA=(1/3)bccosA=1/3=(b2+c2-3)/2bc=b2+c2=(2bc+9)/3又因為b2+c2=2bc（基本不等式）所以b2+c2=(2bc+9)/3=2bc。解得bc=9/4綜上，向量AB向量AC0，a-b+c0，a+b+c0，a-b-c0cosA=2*五分之五同理，cosB=3*十分之十sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA代入=2/2則A+B=45 2：sinA=根號5/5，sinB=根號10/10，A+B=45度a-b=（根號2） -1利用正弦定律a/sinA=b/sinBa/b=sinA/sinB=(根號5/5)/(根號10/10)=根號2a=根號2b根號2b-b=根號2-1b=1 a=根號2A+B=45C=135sinC=根號2/2c/sinC=b/sinB=1/(根號10/10)c=根號2/2/(根號10/10)=根號511） 已知三角形ABC的三邊長a,b,c滿足a2+b+|(根號c-1)-2|=10a+2(根號b-4)-22,證明三角形ABC是什么三角形解：a=b=c=5等邊三角形下面是方法：右邊移項到左邊，再配方，得(a-5)2+(根號(b-4)-1)2+|(根號c-1)-2|=0三項都不能小于0，所以必須為0，則等式成立可求出a=b=c=512）已知三角形ABC的三邊長分別是a,b,c,且a.b滿足根號a-2+b2-6b+9=0求c的取值范圍解：原式 = （a-2） +（b-3）（a-2） 0 （b-3） 0a=2 b=32邊之和大于第3邊，2邊之差小于第三邊 1= b-a ca+b=5 1cn2+(n-1)2n2+2n+12n2-2n+1n2-4n00n3B=180=B=60設:最大邊為a=(3+1),則c=2b=a+c-2accos60=6=a=6a/sinA=b/sinBsinA=asinB/b=(3+1)(3/2)/6=(6+2)/4=A=75則最大角為7517）三角形ABC中已知角A等于60度，AB比AC等于8比5面積為10根號3，則其周長為解：設AB=8x，AC=5xSABC=1/2ABACsinBAC =（103）x已知，SABC=103即（103）x=103，解得：x=1或-1（舍）所以，AB=8,AC=5由余弦定理可得：cosBAC=(AB+AC-BC)/2ABAC將AB=8,AC=5，BAC=60代入解得：BC=7所以，周長為2018）在三角形ABC中，已知內角A=/3 邊BC=2根號3 求周長y的最大值？解：根據(jù)公式有，a/sinA=b/sinB=c/sinC a=23,A=60 =b=4sinB,c=4sin(120-B) =周長l=a+b+c =23+4sinB+4sin(120-B) =23+4（sinB+3/2cosB+1/2sinB) =23+2(3sinB+3cosB) =23+23(3sinB+cosB) =23+43(3/2sinB+1/2cosB) =23+43sin(B+30） 因為-1=sina=1且0B120 1/2sin(B+30)l周長=6319）在三角形ABC中,m=(cosC/2 ,sinc/2 ), n=(cosc/2 ,-sin c/2),且 mn的夾角為 3/解：m.n=|m|*|n|cos(/3)=cos(/3)=1/2 cos2(C/2)-sin2(C/2)=1/2 cosC=1/2 所以 C=/32.設AB=c=7/2,AC=b,BC=a (absinC)/2=33/2 absin(/3)=33 ab=6 (1) c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab (a+b)2=c2+3ab=(49/4)+18=121/4 a+b=11/2 (2) 由(1)(2)解出a,b的值,再求周長。20）在三角形ABC中，角A.B.C的對邊分別為a.b.c，已知A=/3，a=23，設B=x，三角形ABC周長為y（I）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域 （II）求y=f（x）的單調區(qū)間解：（1）y=a+b+c=23+b+csinB/b=sinA/a=SinC/c=b=asinB/sinA,C=asinC/sinAy=asinB/sinA+asinC/sinA+23=23sinB/sin/3+23sin(-/3-B)/sin/3+23=4sinB+4sin(2/3-B)+23=8sin/3cos(B-2/3+B)/2+23=43cos(B-/3）+23=43cos(x-/3）+230x2/3(2)x(0,/3)為增函數(shù)x(/3,2/3)為減函數(shù)21）在ABC中,A=/3,BC=2,則三角形ABC的周長為(用角B表示)_解：由正弦定理得：AC=2sinB/sin（/3）=(43/3）sinBAB=2sin(2/3-B)/sin（/3）=2cosB+(23/3）sinB故周長為2+2cosB+23sinB22）三角形ABC中，AB=1,BC=2,則當C的取值范圍為多少時此三角形是直角三角形？解1 當BC邊為斜邊時，AC2=BC2-AB2 =22-12 =3 所以AC=3 解2 當AC為直角邊時，AC2=BC2+AB2 =4+1 =5 所以AC=5C的范圍，就是0C小于180，AC的取值范圍 根據(jù)三角形三邊關系定理 BC-ABACBC+AB即 1AC323）在三角形ABC中，AB=1,BC=2則角C的取值范圍是？解法1：因為c=AB=1,a=BC=2,b=AC 根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可知 1b3，根據(jù)余弦定理 cosC(abc)2ab （4b1）4b （3b）4b 34bb4 (14)（(3b)b)3232 所以0C30 解法2：因為公式cos A =( b*b+c*c-a*a)/( 2*b*c )所以對題目中，設AC邊長為X，則COS C= 3/(4X)+X/4 ,又因為 A+B 大于等于 2 * ,當且僅當A=B時取等號,所以當 x=(根號3)時，COS C有最小值 (根號3)/2,此時C有最大值，為30。因為C必大于0，所以0c=30。.若問