高考數(shù)學 數(shù)學思想的應用情形歸納 第21講 分類討論思想情形之31-36.doc

第21講：分類討論思想情形之31-36【知識要點】 一、數(shù)學思想是人對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點，它在認識過程中被反復運用，帶有普遍的指導意義.是建立數(shù)學和用數(shù)學解決問題的指導思想，而且數(shù)學思想是數(shù)學學科的精髓，是數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一.學生只有領會了數(shù)學思想，才能有效地應用知識，形成能力.在我們解決數(shù)學問題進行數(shù)學思維時，也總是自覺或不自覺地運用數(shù)學思想方法.高中數(shù)學解題常用的數(shù)學思想有數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想、函數(shù)方程思想等.二、分類討論的思想是中學數(shù)學的基本思想方法，同時也是一種化整為零、各個擊破、整合結(jié)論的解題策略.在分析和解決數(shù)學問題中，運用分類討論思想可以將問題的條件與結(jié)論的因果關系、局部與整體的邏輯關系揭示得一清二楚、十分準確.在解決對象為可變的數(shù)量關系和空間圖形形式的數(shù)學問題中有著廣泛和重要的作用.有關分類討論思想的數(shù)學問題貫穿于高中數(shù)學的各個部分，形式多樣，綜合性強，對于培養(yǎng)學生思維的縝密形、條理性、深刻性有著十分重要的作用.因此，分類討論一直是高考命題的熱點之一，也是每年必考的重要數(shù)學思想方法之一. 分類討論思想就是由于某些元素具備不確定性，所以要分類討論.分類討論的情形很多，常見的情形見后面的方法講評.三、分類討論一般有四個要素：分類的起因、分類的標準、分類的過程、分類的結(jié)果.四、本講講了分類討論思想情形之31-36, 情形31：放縮法證明數(shù)列不等式時必要時需要分類討論；情形32：對雙曲線兩條漸近線所成的角要分類討論；情形33：圓錐曲線焦點位置不確定時要分類討論；情形34：求過點的曲線的切線方程時要就是否是切點分類討論；情形35：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)時一般要分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減討論；情形36：解指數(shù)方程和不等式時，不確定參變量是否在對數(shù)函數(shù)的定義域內(nèi)要分類討論.【方法講評】分類討論情形31放縮法證明數(shù)列不等式時必要時需要分類討論.【例1】設數(shù)列的前項和為.已知,.(1) 求的值；(2) 求數(shù)列的通項公式；(3) 證明:對一切正整數(shù),有.【解析】(1) 解： ，. 當時， 又，（2）解： ，. 當時，上式顯然成立. （3）證明：由（2）知，當時，原不等式成立.當時, ,原不等式亦成立.當時, 當時,，原不等式亦成立.綜上，對一切正整數(shù)，有.【點評】（1），時，分母為零沒有意義.所以要放縮，必須滿足.本題要放大到，數(shù)列的前兩項不能放大，必須從第項起開始放大，所以要分三種情況來分類討論，因為要從第3項起才開始放大，如果數(shù)列沒有3項呢？所以要分類討論.（2）放縮法證明數(shù)列不等式時，如果不是從第一項開始放縮，而是從后面的第起才開始放縮，此時必須分類討論.【反饋檢測1】已知數(shù)列滿足，令.（）求證：是等比數(shù)列；（）記數(shù)列的前n項和為，求；（）求證：.分類討論情形32對雙曲線兩條漸近線所成的角要分類討論.【例2】已知雙曲線兩條漸近線的夾角是，則 【解析】由題得雙曲線的漸近線的方程為或者，所以，故填或.【點評】（1）雙曲線的兩條漸近線相交，所成的有兩組角，一組關于軸對稱，一組關于軸對稱,已知中并沒有說明是哪組角，所以要分類討論. （2）我們在處理數(shù)學問題時，必須嚴謹全面，以免漏解.【反饋檢測2】已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為60，則其離心率為 分類討論情形33圓錐曲線焦點位置不確定時要分類討論.【例3】某一雙曲線的焦距為，且與雙曲線有相同的漸近線，求此雙曲線的標準方程.綜上所述，雙曲線的標準方程為或.【點評】（1）雙曲線的焦點位置不確定，所以要分類討論，可以分焦點在軸和軸上分類討論.（2）本題沒有就焦點位置分類討論，利用了同漸近線的雙曲線系方程解答也可以.【反饋檢測3】點到拋物線的準線的距離是2，則實數(shù) .分類討論情形34求過點的曲線的切線方程時要就是否是切點分類討論.【例4】已知曲線，求曲線過點的切線方程.【解析】由題得點在曲線上，當是切點時，所以切線方程為所以切線方程為.當不是切點時，設曲線與過點的切線相切于點解得或（舍去）所以切線方程為.綜合得所求的切線方程為或【點評】（1）由于點不確定是否是切點，所以要分類討論.（2）當不確定是否是切點時，也可以不分類討論，直接設切點，再求切點和斜率，求出直線的方程. （3）“函數(shù)在點處的切線”說明此時點是切點，“函數(shù)過點處的切線”說明點可能是切點，也可能不是切點，要分類討論.要注意題目中的文字表達. 【反饋檢測4】已知曲線及點，求過點的曲線的切線方程.分類討論情形35函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)時一般要分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減討論.【例5】已知，且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍或或 ，解得，(2)若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則在上恒成立在上恒成立 在上恒成立則有當時，在上是單調(diào)函數(shù)【點評】（1）為單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)可能是單調(diào)增函數(shù)，還有可能為單調(diào)減函數(shù)，因此應令0或0在上恒成立（2）當然并不是說，在任何情況下都要分兩種情況討論，這取決于函數(shù)，有時可以直接分析函數(shù)的圖像，得到參數(shù)的取值范圍.（3）“在上是單調(diào)增函數(shù)”不能等價于函數(shù)的增區(qū)間是,這個大家要理解清楚，這兩個差別還是很大的. “在上是單調(diào)增函數(shù)”表示函數(shù)的增區(qū)間是或者比更大.【反饋檢測5】已知函數(shù).如果函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，求的取值范圍.分類討論情形36解指數(shù)方程和不等式時，不確定參變量是否在對數(shù)函數(shù)的定義域內(nèi)要分類討論.【例6】（2017高考新課標i文科數(shù)學第21題）已知函數(shù)=ex(exa)a2x（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求a的取值范圍【解析】（1）函數(shù)的定義域為，若，則，在單調(diào)遞增若，則由得當時，；當時，所以在單調(diào)遞減在僅當，即時，. 即此時的取值范圍為.若，則由（1）得，當時，取最小值，且,從而當且僅當,即時，即此時的取值范圍為.綜上所述，的取值范圍為.【點評】（1）本題第1問，為什么要分類？假設求單調(diào)增區(qū)間，所以要解不等式，即，不等式怎么解？一般情況下用同底比較法，先寫成，再得到，但是在把寫成時，一定要保證才可以，因為此時在對數(shù)函數(shù)的定義域內(nèi)，如果就不可以了，因為此時不在函數(shù)的定義域內(nèi).由于已知條件沒有告訴的取值情況，所以要分類討論，分三種情況討論. （2）本題第2問用到了第1問的結(jié)論，所以也要分類討論.【反饋檢測6】已知， （1）求在點處的切線；（2）討論的單調(diào)性；（3）當， 時，求證： 分類討論思想在高中數(shù)學中的應用情形歸納 第07講：分類討論思想情形之31-36參考答案【反饋檢測1答案】（）詳見解析; （）;（）詳見解析.【反饋檢測1詳細解析】（）， 兩式相減，得, 經(jīng)檢驗，當時上式也成立，即.有即，且, 故是等比數(shù)列.（）由（）得又當時，左邊=, 當時，有故.【反饋檢測2答案】2或【反饋檢測2詳細解析】將焦點在x軸時當焦點在y軸時 所以.【反饋檢測3答案】【反饋檢測3詳細解析】由題得，當時，由題得.當時，. 綜合得.【反饋檢測4答案】或【反饋檢測4詳細解析】設過點的切線與曲線切于點，則過點的曲線的切線斜率，又，.點在曲線上，代入得化簡，得，或.若，則，過點的切線方程為；若，則，過點的切線方程為過點的曲線的切線方程為或因為時，函數(shù)在