2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三角函數(shù)解三角形4.3三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案理北師大版.docx

4.3三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)最新考綱考情考向分析1.能畫出ysin x，ycos x，ytan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值，圖象與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.以考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)為主，題目涉及三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用、圖象的對(duì)稱性、單調(diào)性、周期性、最值、零點(diǎn)考查三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)，常與三角恒等變換結(jié)合，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用意識(shí)題型既有選擇題和填空題，又有解答題，中檔難度.1用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)在正弦函數(shù)ysin x，x0,2的圖像中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，(，0)，(2，0)(2)在余弦函數(shù)ycos x，x0,2的圖像中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)(下表中kZ)函數(shù)ysin xycos xytan x圖像定義域RRx|xR，且xk值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間2k，2k遞減區(qū)間2k，2k無對(duì)稱中心(k，0)對(duì)稱軸方程xkxk無知識(shí)拓展1對(duì)稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期2奇偶性若f(x)Asin(x)(A，0)，則：(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是k(kZ)；(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是k(kZ)題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限上是增函數(shù)()(2)由sinsin知，是正弦函數(shù)ysin x(xR)的一個(gè)周期()(3)正切函數(shù)ytan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)()(4)已知yksin x1，xR，則y的最大值為k1.()(5)ysin|x|是偶函數(shù)()題組二教材改編2函數(shù)f(x)cos的最小正周期是 答案3y3sin在區(qū)間上的值域是 答案解析當(dāng)x時(shí)，2x，sin，故3sin，即y3sin的值域?yàn)?4ytan 2x的定義域是 答案解析由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定義域是.題組三易錯(cuò)自糾5下列函數(shù)中最小正周期為且圖像關(guān)于直線x對(duì)稱的是()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin答案B解析函數(shù)y2sin的周期T，又sin1，函數(shù)y2sin的圖像關(guān)于直線x對(duì)稱6函數(shù)f(x)4sin的遞減區(qū)間是 答案(kZ)解析f(x)4sin4sin.所以要求f(x)的遞減區(qū)間，只需求y4sin的遞增區(qū)間由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(kZ)7cos 23，sin 68，cos 97的大小關(guān)系是 答案sin 68cos 23cos 97解析sin 68cos 22，又ycos x在0，180上是減函數(shù)，sin 68cos 23cos 97.題型一三角函數(shù)的定義域和值域1函數(shù)f(x)2tan的定義域是()A. B.C. D.答案D解析由正切函數(shù)的定義域，得2xk，kZ，即x(kZ)，故選D.2函數(shù)y的定義域?yàn)?答案(kZ)解析方法一要使函數(shù)有意義，必須使sin xcos x0.利用圖像，在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖像，如圖所示在0,2內(nèi)，滿足sin xcos x的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?方法二利用三角函數(shù)線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)所以定義域?yàn)?3(2017鄭州月考)已知函數(shù)f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案解析x，x，當(dāng)x時(shí)，f(x)的值域?yàn)椋珊瘮?shù)的圖像(圖略)知a，a.4(2018長(zhǎng)沙質(zhì)檢)函數(shù)ysin xcos xsin xcos x的值域?yàn)?答案解析設(shè)tsin xcos x，則t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21，t，當(dāng)t1時(shí)，ymax1；當(dāng)t時(shí)，ymin.函數(shù)的值域?yàn)?思維升華 (1)三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解(2)三角函數(shù)值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求；把所給的三角函數(shù)式變換成yAsin(x)(A，0)的形式求值域；通過換元，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域題型二三角函數(shù)的單調(diào)性命題點(diǎn)1求三角函數(shù)的單調(diào)性典例 (1)函數(shù)f(x)tan的遞增區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案B解析由k2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函數(shù)f(x)tan的遞增區(qū)間是(kZ)，故選B.(2)(2017哈爾濱、長(zhǎng)春、沈陽、大連四市聯(lián)考)函數(shù)ysin xcos x的遞增區(qū)間是 答案解析ysin xcos xsin，由2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)函數(shù)的遞增區(qū)間為(kZ)，又x，遞增區(qū)間為.命題點(diǎn)2根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)典例 已知0，函數(shù)f(x)sin在上是減少的，則的取值范圍是 答案解析由x，0，得x，又ysin x的遞減區(qū)間為，kZ，所以kZ，解得4k2k，kZ.又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k0，所以.引申探究本例中，若已知0，函數(shù)f(x)cos在上是增加的，則的取值范圍是 答案解析函數(shù)ycos x的遞增區(qū)間為2k，2k，kZ，則kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.思維升華 (1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“x”為一個(gè)整體，通過解不等式求解但如果0，可借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解跟蹤訓(xùn)練 (2017濟(jì)南模擬)若函數(shù)f(x)sin x(0)在區(qū)間上是增加的，在區(qū)間上是減少的，則等于()A. B.C2 D3答案B解析由已知得，T，.題型三三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性命題點(diǎn)1三角函數(shù)的周期性典例 (1)在函數(shù)ycos|2x|，y|cos x|，ycos，ytan中，最小正周期為的所有函數(shù)為()A BC D答案A解析ycos|2x|cos 2x，最小正周期為；由圖像知y|cos x|的最小正周期為；ycos的最小正周期T；ytan的最小正周期T，故選A.(2)若函數(shù)f(x)2tan的最小正周期T滿足1T2，則自然數(shù)k的值為 答案2或3解析由題意得，12，k2k，即k，又kZ，k2或3.命題點(diǎn)2三角函數(shù)的奇偶性典例 (2017銀川模擬)函數(shù)f(x)3sin，(0，)滿足f(|x|)f(x)，則的值為 答案解析由題意知f(x)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，f(0)3sin3，k，kZ，又0，.命題點(diǎn)3三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性典例 (1)(2018武漢模擬)若函數(shù)ycos(N)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是，則的最小值為 答案2解析由題意知k(kZ)，6k2(kZ)，又N，min2.(2)(2016全國改編)已知函數(shù)f(x)sin(x)，x為f(x)的零點(diǎn)，x為yf(x)圖像的對(duì)稱軸，且f(x)在上單調(diào)，則的最大值為 答案9解析因?yàn)閤為f(x)的零點(diǎn)，x為f(x)的圖像的對(duì)稱軸，所以，即T，所以2k1(kN)，又因?yàn)閒(x)在上單調(diào)，所以，即12，若11，又|，則，此時(shí)，f(x)sin，f(x)在上是增加的，在上是減少的，不滿足條件若9，又|，則，此時(shí)，f(x)sin，滿足f(x)在上單調(diào)的條件由此得的最大值為9.思維升華 (1)對(duì)于函數(shù)yAsin(x)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)(2)求三角函數(shù)周期的方法利用周期函數(shù)的定義利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小正周期為.跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017安徽江南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)sin(x)的最小正周期為4，且任意xR，有f(x)f成立，則f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)是()A. B.C. D.答案A解析由f(x)sin(x)的最小正周期為4，得.因?yàn)閒(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，由|0，0)若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且fff，則f(x)的最小正周期為 解析(1)A項(xiàng)，因?yàn)閒(x)cos的周期為2k(kZ)，所以f(x)的一個(gè)周期為2，A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，因?yàn)閒(x)cos圖像的對(duì)稱軸為直線xk(kZ)，所以yf(x)的圖像關(guān)于直線x對(duì)稱，B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，當(dāng)k1時(shí)，x，所以f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x，C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，因?yàn)閒(x)cos的遞減區(qū)間為(kZ)，遞增區(qū)間為(kZ)，所以是f(x)的遞減區(qū)間，是f(x)的遞增區(qū)間，D項(xiàng)錯(cuò)誤故選D.(2)由圖像知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ，f(x)的遞減區(qū)間為，kZ.(3)記f(x)的最小正周期為T.由題意知，又fff，且，可作出示意圖如圖所示(一種情況)：x1，x2，x2x1，T.答案(1)D(2)，kZ(3)1(2018廣州質(zhì)檢)下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的為()Aysin|x| Bycos|x|Cytan|x| Dy(x1)0答案B解析cos|x|cos x，ycos|x|是周期函數(shù)2函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為()A1 B C. D0答案B解析由已知x，得2x，所以sin，故函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為.故選B.3函數(shù)ysin x2的圖像是()答案D解析函數(shù)ysin x2為偶函數(shù)，排除A，C；又當(dāng)x時(shí)函數(shù)取得最大值，排除B，故選D.4(2017成都診斷)函數(shù)ycos2x2sin x的最大值與最小值分別為()A3，1 B3，2 C2，1 D2，2答案D解析ycos2x2sin x1sin2x2sin xsin2x2sin x1，令tsin x，則t1,1，yt22t1(t1)22，所以ymax2，ymin2.5已知函數(shù)f(x)2sin(2x)的圖像過點(diǎn)(0，)，則f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是()A. B.C. D.答案B解析函數(shù)f(x)2sin(2x)的圖像過點(diǎn)(0，)，則f(0)2sin ，sin ，又|，則f(x)2sin，令2xk(kZ)，則x(kZ)，當(dāng)k0時(shí)，x，是函數(shù)f(x)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心6(2017衡水模擬)已知函數(shù)f(x)，則下列說法正確的是()Af(x)的周期是Bf(x)的值域是y|yR，且y0C直線x是函數(shù)f(x)圖像的一條對(duì)稱軸Df(x)的遞減區(qū)間是，kZ答案D解析函數(shù)f(x)的周期為2，A錯(cuò)；f(x)的值域?yàn)?，)，B錯(cuò)；當(dāng)x時(shí)，x，kZ，x不是f(x)的對(duì)稱軸，C錯(cuò)；令kxk，kZ，可得2k0時(shí)，a33，b5；當(dāng)a0時(shí)，a33，b8.綜上所述，a33，b5或a33，b8.13(2018太原模擬)若f(x)3sin x4cos x的一條對(duì)稱軸方程是xa，則a的取值范圍可以是()A. B. C. D.答案D解析因?yàn)閒(x)3sin x4cos x5sin(x)，則sin(a)1，所以ak，kZ，即ak，kZ，而tan 且0，所以，所以kak，kZ，取k0，此時(shí)a，故選D.14已知關(guān)于x的方程2sin1a0在區(qū)間上存在兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案2,3)解析sin在上存在兩個(gè)根，設(shè)xt，則t，ysin t，t的圖像與直線y有兩個(gè)交點(diǎn)，1，2a0，函數(shù)f(x)2asin2ab，當(dāng)x時(shí)，5f(x)1.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)設(shè)g(x)f且lg g(x)0，