4.系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.doc

現(xiàn)代控制理論講義 第4章 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析Chapter4動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定性描述當(dāng)系統(tǒng)遭受外界擾動(dòng)偏離原來的平衡狀態(tài)，在擾動(dòng)消失后系統(tǒng)自身能否恢復(fù)到原來平衡狀態(tài)的一種性能。例如在倒立擺裝置中，當(dāng)擺桿受擾動(dòng)而偏離垂直位置后，系統(tǒng)仍能使擺桿回到垂直位置，并能始終保持在垂直位置附近，這是系統(tǒng)穩(wěn)定的基本含義。一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)是不能正常工作的，如何判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及如何改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的首要問題。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身所固有的特性，與外部控制無關(guān)。所以討論穩(wěn)定性時(shí)一般只考慮的自由系統(tǒng)。4.1 平衡點(diǎn)與Lyapunov穩(wěn)定性考慮階自由系統(tǒng)： 狀態(tài)向量：，向量：對，若存在某一狀態(tài)點(diǎn)，使得對所有的，都不隨時(shí)間變化，定義為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)（平衡點(diǎn)） （4-1） 一個(gè)系統(tǒng)不一定存在平衡點(diǎn)，但有時(shí)又可以有多個(gè)平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)大多數(shù)在狀態(tài)空間的原點(diǎn)。若平衡點(diǎn)不在原點(diǎn)，而是狀態(tài)空間的孤立點(diǎn)，則可以通過坐標(biāo)變換將平衡點(diǎn)移到原點(diǎn)。對線性定常系統(tǒng)，根據(jù)平衡點(diǎn)定義，當(dāng)，則只有一個(gè)平衡點(diǎn)。當(dāng)，有多個(gè)平衡點(diǎn)，而是其中一個(gè)平衡點(diǎn)。經(jīng)典控制理論：用傳遞函數(shù)描述線性定常系統(tǒng)，主要用特征函數(shù)的極點(diǎn)分布、Routh（勞斯）判據(jù)、Hurwitz（胡爾維茨）判據(jù)、Nyquist（奈奎斯特）判據(jù)等來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性?，F(xiàn)代控制理論：用狀態(tài)空間描述MIMO線性時(shí)變系統(tǒng)或非線性時(shí)變系統(tǒng)。1) 根據(jù)系數(shù)矩陣的特征值即系統(tǒng)極點(diǎn)的分布來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。求出的是“既能控又能觀”的極點(diǎn)，它也可以由傳遞函數(shù)求出；求出的是“能控不能觀”、求出的是“不能控能觀”、求出的是“既不能控又不能觀”部分的極點(diǎn)，他們由于“零極點(diǎn)相消”不能反映在傳遞函數(shù)中，因而也不能由傳遞函數(shù)求出；2) Lyapunov間接法：通過求解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程（求解困難甚至求解不出，受到很大限制!），再根據(jù)解的性質(zhì)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；3) Lyapunov直接法：不通過求解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，只通過構(gòu)造Lyapunov標(biāo)量函數(shù)直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4.1.1 Lyapunov穩(wěn)定性定義定義4-2（Lyapunov臨界穩(wěn)定）對任意給定的“小距離” （無論多么小的），總可以根據(jù)給定的和初始時(shí)間找到一個(gè)相應(yīng)“半徑”，只要系統(tǒng)初態(tài)與平衡點(diǎn)的距離小于“半徑”即時(shí)，就有任何時(shí)，其狀態(tài)與平衡點(diǎn)的距離小于給定的“小距離”，即，則稱平衡狀態(tài)是Lyapunov穩(wěn)定（李氏穩(wěn)定）。如果不需根據(jù)初始時(shí)刻來尋找“半徑” ，則稱一致Lyapunov穩(wěn)定（Uniformly Stable）。稱多維空間距離為Euclid范數(shù)： （4-2）這就是說：根據(jù)指定的小和系統(tǒng)的初始狀態(tài)，以平衡點(diǎn)為圓心劃定一個(gè)半徑為的范圍，以后系統(tǒng)的狀態(tài)就只能在指定的范圍內(nèi)運(yùn)行，在平衡點(diǎn)附近振蕩，稱為Lyapunov臨界穩(wěn)定。如果我們只根據(jù)指定的小就能劃定一個(gè)半徑為的范圍，使系統(tǒng)只能在指定的范圍內(nèi)運(yùn)行，稱為一致Lyapunov穩(wěn)定。 圖4-1 小球的穩(wěn)定性 圖4-2 李氏穩(wěn)定定義4-3（漸近穩(wěn)定，局部穩(wěn)定）系統(tǒng)不僅Lyapunov穩(wěn)定，而且系統(tǒng)狀態(tài)趨于平衡點(diǎn)，即，則稱平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定（Asymptotically Stable）。如果不需根據(jù)初始時(shí)刻來尋找“半徑”，則稱一致漸近穩(wěn)定。物理意義：如果系統(tǒng)狀態(tài)開始在平衡點(diǎn)附近，則系統(tǒng)不會(huì)振蕩，其狀態(tài)軌線最終會(huì)落在平衡點(diǎn)。只有漸近穩(wěn)定才是工程意義上的穩(wěn)定。但漸近穩(wěn)定仍然是某平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定（局部穩(wěn)定），并不意味著整個(gè)系統(tǒng)就能運(yùn)行。 圖4-3 漸進(jìn)穩(wěn)定（局部穩(wěn)定） 圖4-4 全局穩(wěn)定 圖4-5 不穩(wěn)定定義4-4 若對任意初始狀態(tài)，無需要求系統(tǒng)初始處于平衡點(diǎn)附近，都有，則稱平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定(全局穩(wěn)定)(Asymptotically Stable in the large)。全局穩(wěn)定的物理意義：無論開始系統(tǒng)狀態(tài)在何處，其狀態(tài)軌線最終會(huì)落在平衡點(diǎn)。全局穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡點(diǎn)。對線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定必定是全局穩(wěn)定；對非線性系統(tǒng)，多數(shù)為局部漸近穩(wěn)定。定義4-5（不穩(wěn)定） 對任意給定的“小距離” ，無論 “半徑”怎么小，系統(tǒng)至少有一個(gè)初態(tài)，當(dāng)，則有任何時(shí)候的狀態(tài)與平衡點(diǎn)的距離大于給定的“小距離”，則稱平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定（李氏不穩(wěn)定）。不穩(wěn)定的幾何意義是：無論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何接近平衡點(diǎn)，至少有一個(gè)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，不會(huì)回到原平衡點(diǎn)或原平衡點(diǎn)附近。 4.1.2 Lyapunov間接法判別穩(wěn)定性定理4-1 狀態(tài)穩(wěn)定性（內(nèi)部穩(wěn)定性）判別定理（間接法），通過求解系數(shù)矩陣的特征值（系統(tǒng)極點(diǎn)）來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性稱為Lyapunov間接法。（1）是“Lyapunov臨界穩(wěn)定”的充要條件是的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中實(shí)部為零的特征值所對應(yīng)的約當(dāng)塊是一維的，且其余特征值均有負(fù)實(shí)部；（2）是“漸近穩(wěn)定”的充要條件是的特征值均有負(fù)實(shí)部；（3）是“不穩(wěn)定”的充要條件是至少有一個(gè)特征值具有正實(shí)部；例4-1 判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：的特征值 ，所對應(yīng)的約當(dāng)塊是二維的， 討論：（1）根據(jù)上述結(jié)論，當(dāng)是約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。實(shí)際上，方程解為，顯然，當(dāng)，有，表明是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。（2）定義：滿足的稱為的特征值，。對于，其解為，或者寫成， 由此不難得出：“漸近穩(wěn)定”的結(jié)論（2）和“不穩(wěn)定”的結(jié)論（3）* 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性間接法穩(wěn)定性判別定理只能用于線性系統(tǒng)，因此，對于非線性系統(tǒng)，必須先作線性化處理，是高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。， （4-3）令 ，則 （4-4）在系統(tǒng)一次近似的線性化方程基礎(chǔ)上，Lyapunov給出如下結(jié)論：（1）的特征值均有負(fù)實(shí)部，則狀態(tài)穩(wěn)定，與無關(guān)；（2）的特征值至少有一個(gè)正實(shí)部，則不穩(wěn)定，與無關(guān)；（3）的特征值至少有一個(gè)為，的穩(wěn)定性與無關(guān)，但不能由來決定。例4-2 分析系統(tǒng)，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，通常有多個(gè)平衡點(diǎn)。令，可求出系統(tǒng)的2個(gè)平衡點(diǎn)：將系統(tǒng)在處線性化：，其特征值，表明非線性系統(tǒng)在處不穩(wěn)定。將系統(tǒng)在處線性化：，其特征值的實(shí)部為零，不能用來判斷系統(tǒng)在處是否穩(wěn)定。 *對于平衡點(diǎn)，我們還可以做坐標(biāo)變換： ， ，將系統(tǒng)在處線性化：，其特征值的實(shí)部為零，不能用來判斷系統(tǒng)在處是否穩(wěn)定。4.1.3 能量函數(shù)（Lyapunov直接法判別穩(wěn)定性）力學(xué)原理：消耗能量(能量減小)，吸收能量能量增加電學(xué)原理：放電(能量)，充電(能量)，但系統(tǒng)能量總是 圖4-6 RC電路的充放電過程（1）若能量變化小于零，系統(tǒng)漸近 穩(wěn)定；（2）若能量變化大于零，系統(tǒng)不穩(wěn)定；（3）若能量變化等于零，系統(tǒng)“臨界穩(wěn)定”。例4-2分析RLC串聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 （1）電感、電容都是線性的，（例4.1.1）；（2）電感、電容都是線性的，（例4.1.2）；（3）電感是線性的，電容具有非線性的庫伏特性，（例4.1.3）； RLC串聯(lián)電路系統(tǒng)解：（1）當(dāng)電感、電容都是線性的，以電感磁通和電容電荷為狀態(tài)變量，可寫出狀態(tài)方程，該電路無外界能量輸入，同時(shí)電路中沒有能量損耗， 圖（1）時(shí)狀態(tài)方程圖所以電路總能量W恒定?？梢姡到y(tǒng)的狀態(tài)軌跡是一個(gè)橢圓。系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。（2）當(dāng)電感、電容都是線性的，且， 相應(yīng)的狀態(tài)方程為 圖（2） 時(shí)狀態(tài)方程圖，電阻是耗能的，電路的總能量不斷減少。設(shè)，再令初始狀態(tài)為， 求得方程的解為當(dāng)時(shí)，故系統(tǒng)總能量狀態(tài)軌跡圖表明，從原點(diǎn)附近出發(fā)的狀態(tài)軌跡不僅能保持在原點(diǎn)附近，且隨著時(shí)間的推移逐漸趨向于原點(diǎn)，因此系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。（3）當(dāng)電感是線性的，電容具有非線性的庫伏特性，時(shí)，相應(yīng)的狀態(tài)方程為 此時(shí)電路無外界能量輸入，電路中也沒有能量損耗，所以電路總能量W恒定。 圖（3），時(shí)狀態(tài)方程圖 令，得到系統(tǒng)的3個(gè)平衡點(diǎn)，分別是（0,0）、（1,0）。狀態(tài)軌跡圖如圖?？v軸交點(diǎn)為，橫軸交點(diǎn)為由圖看出，過原點(diǎn)的狀態(tài)軌跡有的回到原點(diǎn)，也有的離開原點(diǎn)，因此，從原點(diǎn)任意小鄰域出發(fā)的軌跡都不能始終保持在原點(diǎn)附近，因此系統(tǒng)在原點(diǎn)處是不穩(wěn)定。以上例題表明了系統(tǒng)能量與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系。4.2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 1892年，俄國數(shù)學(xué)力學(xué)家Lyapunov在他的博士論文運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問題中提出了著名的Lyapunov穩(wěn)定性理論。其核心是構(gòu)造一個(gè)標(biāo)量函數(shù)作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)（稱為Lyapunov函數(shù)）。定理4-2 設(shè)階系統(tǒng)，平衡狀態(tài)，如果存在一個(gè)對所有都有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的正定的標(biāo)量函數(shù)定義 （4-5）Sylvester判據(jù)。設(shè)實(shí)對稱矩陣，記各階順序主子式為則下列結(jié)論成立：1） 矩陣正定的充要條件是所有；2） 矩陣半正定的充要條件是；3） 矩陣負(fù)定的充要條件是；4） 矩陣半負(fù)定的充要條件是定理4.2.1（Lyapunov穩(wěn)定性定理）對非線性系統(tǒng)，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，滿足以下條件1) 若負(fù)定（），則是漸近穩(wěn)定（局部穩(wěn)定）；若當(dāng)時(shí)，則系統(tǒng)是全局穩(wěn)定；2) 若半負(fù)定（），則是Lyapunov穩(wěn)定（臨界穩(wěn)定）；進(jìn)一步：若，（不是狀態(tài)方程的非零解），則是漸近穩(wěn)定（局部穩(wěn)定）；任何一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，只要滿足Lyapunov穩(wěn)定判據(jù)條件，都可以作為Lyapunov函數(shù)，都可用來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這表明Lyapunov用途的廣泛性；Lyapunov函數(shù)由狀態(tài)變量所構(gòu)成，其最簡單形式是二次形（但不一定是二次形）盡管Lyapunov函數(shù)不唯一，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定是個(gè)客觀事實(shí)，結(jié)論必定是唯一的；找不到符合條件的Lyapunov函數(shù)，并不能確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，如果用Lyapunov函數(shù)的符號不能確定，并不能判斷系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。3) 若正定（），則是不穩(wěn)定；能量二次形：物體動(dòng)能，彈簧的彈性勢能，電容的電場能，電感的磁場能例4-3試確定（例4.2.1）系統(tǒng)、，a=const.平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：令，求得是唯一平衡點(diǎn)。試取 ，只在處， 漸進(jìn)穩(wěn)定 不穩(wěn)定 李氏穩(wěn)定 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)，有，是穩(wěn)定平衡點(diǎn)；當(dāng)，有，是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；當(dāng)，有，是Lyapunov穩(wěn)定平衡點(diǎn)；表明所選可判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，是Lyapunov函數(shù)。例4-4 試確定，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：采用Lyapunov函數(shù)法：令，求得是唯一平衡點(diǎn)。第1次取 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。符號不定，無法確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，因此不是Lyapunov函數(shù)。第2次取 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，只要在 的“橫軸”上（不一定在原點(diǎn)），就有，因此是Lyapunov穩(wěn)定平衡點(diǎn)，是Lyapunov函數(shù)。進(jìn)一步，由于，但不恒等于0（半負(fù)定），是漸近穩(wěn)定，又，因而是大范圍漸近穩(wěn)定。第3次取函數(shù)：根據(jù)定理可知是漸近穩(wěn)定，所以是Lyapunov函數(shù)。可見Lyapunov函數(shù)并非唯一，無論怎樣取Lyapunov，只要符合函數(shù)的條件，能判別平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，它就是Lyapunov函數(shù)，結(jié)論是唯一的。此題為線性系統(tǒng)，也可以采用“間接法”來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：系數(shù)矩陣為，根據(jù)Routh方法，一階和二階系統(tǒng)，只要系數(shù)為正，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。實(shí)際上的實(shí)部0。例4-5 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如圖雙積分系統(tǒng)，試分析其穩(wěn)定性。 雙積分閉環(huán)系統(tǒng)解：用三種方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性經(jīng)典法：由圖列出即，取，并不影響討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性，故其解為 這是臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。Lyapunov函數(shù)法：設(shè)，于是，穩(wěn)定性與輸入無關(guān)，只考慮齊次方程 ，是唯一平衡點(diǎn)。試取 而且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)根據(jù)定理可知系統(tǒng)是Lyapunov臨界穩(wěn)定，而Lyapunov穩(wěn)定在工程意義上是不穩(wěn)定的，這與經(jīng)典控制理論的結(jié)論是一致的。間接法：，顯然，系統(tǒng)狀態(tài)是振蕩的，故是Lyapunov臨界穩(wěn)定平衡點(diǎn)，結(jié)論是一致的。例4-6試分析系統(tǒng)，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：對非線性系統(tǒng)，不能采用“求解系統(tǒng)特征值”的方法討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。令是唯一平衡點(diǎn)。試取，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)，在的圓上，故是Lyapunov臨界穩(wěn)定平衡點(diǎn)；當(dāng)，在的圓內(nèi)，同上討論，對狀態(tài)方程的非零解，故是漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)；所選，可判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，是Lyapunov函數(shù)。其穩(wěn)定域是單位圓內(nèi),系統(tǒng)不是大范圍漸近穩(wěn)定的。4.3 Lyapunov函數(shù)構(gòu)造方法4.3.1 線性系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)構(gòu)造方法以下給出判別線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件。設(shè)，由能量的“二次型”表達(dá)式得到啟發(fā)，試取正定二次型作Lyapunov函數(shù)，即為正定對稱矩陣，有 （4-5） （4-6）式中：，顯然，若是正定對稱矩陣，則，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，于是有以下定理。定理4-3 線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是，任意給定一個(gè)正定對稱矩陣，若能找到一個(gè)正定對稱矩陣（一定能找到嗎？不一定找得到！），滿足Lyapunov方程 （4-7）此時(shí)Lyapunov函數(shù)可以取為 （4-8）矩陣只要滿足正定對稱，并無其他要求（的任意性正表明Lyapunov函數(shù)的不唯一性），通常取。然后通過Lyapunov方程求解出正定對稱矩陣，而對階對稱矩陣，共有個(gè)獨(dú)立元素，求解出這個(gè)獨(dú)立元素，就可確定，然后計(jì)算的順序主子式的符號可確定對稱矩陣的定號性，由此可構(gòu)造出Lyapunov函數(shù)，再根據(jù)Hurwitz判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例4-7（例4.3.1）用求解Lyapunov方程方法分析系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：設(shè)對稱矩陣，求解Lyapunov方程確定：解得：，說明我們找到一個(gè)對稱矩陣（若方程無解，說明找不到符合條件的對稱矩陣）。以下計(jì)算的順序主子式的符號，已確定的正定性奇數(shù)主子式：， 偶數(shù)主子式：根據(jù)Hurwitz判據(jù)，有，即是正定對稱矩陣，再根據(jù)定理4-3可以判別系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)為 Matlab軟件給出了求解Lyapunov方程的函數(shù)，他的一般形式為 P=lyap(A，Q)特別的，P=lyap(A，B，Q) 給出了矩陣方程的解。應(yīng)用Matlab軟件來判斷上例的穩(wěn)定性，可執(zhí)行m-文件（eye(2)為2階單位矩陣） 得到 進(jìn)一步，由給出矩陣的特征值或者，由于矩陣所有特征值都是正的，矩陣是正定的，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定。（任何矩陣都可以通過非奇異變換成“對角元是矩陣特征值”的對角矩陣，而對角元為正的對角矩陣，矩陣必定是正定的）。 在一些實(shí)際控制系統(tǒng)中，操作員往往需要在線調(diào)整一些參數(shù)以改善系統(tǒng)的特性，然而這些參數(shù)的改變不應(yīng)該導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，為此需要確定這些參數(shù)可允許調(diào)節(jié)的范圍，以確保系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例4-8（例4.3.2） 在保證系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的情況下，確定系統(tǒng)增益的可調(diào)節(jié)范圍。解：，；，；，。由圖可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，均可假設(shè)在用Lyapunov方程處理方法來判別線性時(shí)不變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性時(shí)，右邊的矩陣有時(shí)也允許是半正定的，這樣可以使數(shù)學(xué)運(yùn)算得到簡化。式中矩陣，滿足半正定的充要條件，所以是半正定的。求解相應(yīng)的線性方程組可得：矩陣是正定的充要條件是：，因此當(dāng)滿足條件時(shí)，系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。4.3.2 用Krasovski（克拉索夫斯基）方法構(gòu)造Lyapunov函數(shù)由上面討論可知，若找到了Lyapunov函數(shù)，用直接法分析穩(wěn)定性是方便的，然而構(gòu)造Lyapunov函數(shù)卻成了新問題。盡管通過研究得到了一些方法，但至今還沒有得到一個(gè)對任何系統(tǒng)都普遍適用的構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法。數(shù)學(xué)知識：設(shè)， 那么 特例：； 下面介紹一種Krasovski方法構(gòu)造Lyapunov函數(shù)。定理4-4 對系統(tǒng)，平衡點(diǎn)為取 ，記共軛為“*”，轉(zhuǎn)置為“”，共軛轉(zhuǎn)置為“”。若 則是漸近穩(wěn)定的。此時(shí)，Lyapunov函數(shù)為 （4-9）當(dāng) ，則是大范圍漸近穩(wěn)定。無論系統(tǒng)是線性還是非線性，是定常還是時(shí)變，都能用Krasovski方法構(gòu)造Lyapunov函數(shù)。證明： 其中，且是Lyapunov函數(shù)。證畢。特別地，對于線性系統(tǒng)當(dāng)，若是非奇異的，則只有唯一一個(gè)平衡點(diǎn)，有，當(dāng)是實(shí)數(shù)矩陣時(shí)，因此就有以下推論。重要推論：對線性定常系統(tǒng)，若是非奇異實(shí)數(shù)矩陣，若根據(jù)定號性確定（這個(gè)方法只需判斷的正定性，因而有時(shí)比較簡單） （4-10）則是大范圍漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。對線性定常系統(tǒng)，采用克拉索夫斯基方法構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)是一個(gè)可以給出漸近穩(wěn)定的充分條件。例4-9分析非線性系統(tǒng)，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：令 ，是唯一平衡點(diǎn)。，根據(jù)二次型及其定號性，的順序主子式為奇數(shù)：；偶數(shù)：根據(jù)二次型及其定號性 則，即負(fù)定，負(fù)定。根據(jù)定理4-3，是漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)，且Lyapunov函數(shù)為 當(dāng) ，故是大范圍漸近穩(wěn)定。例4-10 分析系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：是非奇異，且 是唯一平衡點(diǎn)。奇數(shù)主子式：；偶數(shù)主子式：根據(jù)二次型及其定號性 ，即負(fù)定。所以是漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)，Lyapunov函數(shù)為且當(dāng)，故是大范圍漸近穩(wěn)定。值得指出的是：通過Krasovski方法構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)是一個(gè)充分條件，并非所有系統(tǒng)都可以找到Lyapunov函數(shù)。若用這種方法找不到Lyapunov函數(shù)，并不能就此判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須用其他方法尋找Lyapunov函數(shù)。穩(wěn)定性判別方法小結(jié)：1. 間接法 求解階系統(tǒng)的特征方程，通常有個(gè)解， 2. 直接法 構(gòu)造一個(gè)Lyapunov函數(shù) （1） 若負(fù)定（），則是漸近穩(wěn)定（局部穩(wěn)定）；若當(dāng)時(shí)， ，則系統(tǒng)是全局穩(wěn)定；（2）若正定，則是不穩(wěn)定；（3）若半負(fù)定，則是Lyapunov臨界穩(wěn)定；進(jìn)一步：若， 則是漸近穩(wěn)定（局部穩(wěn)定）；3. 求解Lyapunov方程方法 給定正定對稱，若能從Lyapunov方程中求解出一個(gè)正定對稱矩陣，則系統(tǒng)穩(wěn)定，且此時(shí)Lyapunov函數(shù)為 4. Krasovski方法 ，則是漸近穩(wěn)定的。此時(shí)，Lyapunov函數(shù)為，當(dāng)，則是大范圍漸近穩(wěn)定。特別地，對線性定常系統(tǒng)，當(dāng)是非奇異實(shí)數(shù)矩陣，若 則是大范圍漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。4.4 Lyapunov穩(wěn)定性方法在控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用 Lyapunov穩(wěn)定性方法在控制系統(tǒng)分析中的有著廣泛應(yīng)用（1）判別一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，或者確定系統(tǒng)中某些參數(shù)的取值范圍，以使系統(tǒng)保持穩(wěn)定；（2）穩(wěn)定化控制器的設(shè)計(jì)；（3）線性系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的估計(jì)；（4）確定系統(tǒng)的最優(yōu)化參數(shù)等。4.4.1 漸近穩(wěn)定線性系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的估計(jì)在經(jīng)典控制理論中用（負(fù)實(shí)部離虛軸最近的，響應(yīng)最慢的）主導(dǎo)極點(diǎn)來估計(jì)系統(tǒng)的響應(yīng)速度。Lyapunov函數(shù)的物理意義是“系統(tǒng)的能量”，其值隨狀態(tài)的位置而變化。從幾何意義上看，函數(shù)又可看成是度量狀態(tài)到系統(tǒng)平衡狀態(tài)之間距離的尺度。對一個(gè)二階線性系統(tǒng)，取Lyapunov函數(shù)，其值恰好是狀態(tài)到原點(diǎn)距離的平方。設(shè)階線性定常系統(tǒng)有唯一的平衡點(diǎn)，且是漸近穩(wěn)定的，。其狀態(tài)響應(yīng)為，這是線性定常系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，其運(yùn)動(dòng)將從任一初態(tài)出發(fā)，向平衡點(diǎn)衰減，從而狀態(tài)到原點(diǎn)的距離隨時(shí)間增加不斷減小。圖4-7 Lyapunov函數(shù)收斂（衰減）的幾何意義可以度量狀態(tài)趨向原點(diǎn)的速度，（參見圖4-7 ），我們要問：衰減速度如何呢？當(dāng)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定時(shí)，“能量”是正定的，而“能量的變化”是負(fù)定的，因此可以引入一個(gè)變量， （4-11） 一般的，是時(shí)變的，要從（4-11）估計(jì)狀態(tài)的衰減率還是很困難的，為了方便，可以取的最小值來分析。定義狀態(tài)最小衰減率： （4-12）根據(jù)（4-11）和（4-12）可得： （4-13）的量綱是，它給出了趨于0的速度的估計(jì)。由于常常取成狀態(tài)的二次型，故也可以作為狀態(tài)趨于原點(diǎn)的速度的估計(jì)。的量綱是時(shí)間，可以解釋為Lyapunov函數(shù)衰減到0的最大時(shí)間常數(shù)，它約為系統(tǒng)自由響應(yīng)時(shí)間常數(shù)的一半。對于一般系統(tǒng)，的求取是很困難的。 但對于線性系統(tǒng)，總可以取作為系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)，而，是任意給定的對稱正定矩陣，是Lyapunov方程的解矩陣。進(jìn)一步，由于 （4-14）表示矩陣的最小特征值。例4-11（例4.4.1）估計(jì)的最大時(shí)間常數(shù)。 解：取,則，因此，收斂到0的時(shí)間常數(shù)上界為，系統(tǒng)自由響應(yīng)時(shí)間常數(shù)的上界為。4.4.2 基于Lyapunov穩(wěn)定性的參數(shù)優(yōu)化考慮系統(tǒng) （4-12）系統(tǒng)矩陣中含有可調(diào)參數(shù)，不僅可以影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且還可以影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。希望選擇最優(yōu)參數(shù)，使得系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，同時(shí)使性能指標(biāo) （4-13）最小化，是對稱正定加權(quán)矩陣，稱為“參數(shù)優(yōu)化”。特別的，若取，則相應(yīng)的性能指標(biāo)為 （4-14）由式（4-14）確定的性能指標(biāo)值就是曲線所包圍的面積。圖4-8 曲線所包圍的面積 性能指標(biāo)值越小，系統(tǒng)狀態(tài)衰減到零的速度越快，調(diào)節(jié)時(shí)間越短，震蕩幅度越小，故動(dòng)態(tài)特性越好。 由于選擇的參數(shù)要保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，所以對任意對稱正定矩陣，Lyapunov方程為 （4-15）存在唯一對稱正定解矩陣，這樣選擇首先可以保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。此時(shí)是系統(tǒng)（4-12）的一個(gè)Lyapunov函數(shù)，且沿該系統(tǒng)的任意軌跡滿足 對上式兩邊對時(shí)間積分，并利用系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，可得由于是任意對稱正定矩陣，故可選 （4-16） （4-17） 上面討論表明，從靜態(tài)Lyapunov矩陣方程（4-17）求解出，再代入（4-16）就可以求出系統(tǒng)的性能指標(biāo)值，這比求解微分方程和積分式簡單得多。顯然，也依賴于參數(shù)，因此 （4-18） 從而，原來的參數(shù)化問題轉(zhuǎn)化為選擇參數(shù)，使（4-18）式最小，可以通過來求得，這樣確定的可以保證性能指標(biāo)是最小的。一般情況下，參數(shù)的最優(yōu)值與初始狀態(tài)有關(guān)。例4-12（例4.4.2）系統(tǒng)如下所示，確定阻尼比的值，使得系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下，性能指標(biāo) 達(dá)到極小。為誤差信號，是常數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)開始時(shí)是靜止的。其物理意義是：在輸出信號跟蹤單位輸入信號的整個(gè)過程中，誤差信號與誤差信號變化率所消耗的能量之和最小。 解：由圖可得 由于輸入是單位階躍函數(shù)，所以，故對 定義狀態(tài)變量 則狀態(tài)方程為 性能指標(biāo)為 所以 ；初始狀態(tài)為 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，的最小值為，由下式解出將代入，可求得 性能指標(biāo)為 （相乘等于一個(gè)常數(shù)，則二者相等時(shí)，其和最小）。或者令 ，此時(shí) 結(jié)果：在輸出信號跟蹤單位輸入信號的整個(gè)過程中，誤差信號與誤差信號變化率所消耗的能量之和最小為4.4.3 基于Lyapunov穩(wěn)定性的控制器設(shè)計(jì)應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論可以用來設(shè)計(jì)使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器，這是經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定性分析所不能及的。例4-13（例4.4.3）由圖，采用輸出反饋（比例P控制）的雙積分系統(tǒng)仍然是“臨界穩(wěn)定”而不是漸近穩(wěn)定的，構(gòu)造一個(gè)控制律，通過狀態(tài)反饋（也可以視為微分D控制）使其成為一個(gè)漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)。解：由例4-5可知，是唯一平衡