高考數(shù)學一輪復習 第三章 第2講 用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值配套課件 理 新人教A版 .pptVIP

第2講用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值 考點梳理 函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)可導 f x 在 a b 任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0 f x 0 f x 為 函數(shù) f x 0 f x 為 函數(shù) 1 判斷f x0 是極值的方法一般地 當函數(shù)f x 在點x0處連續(xù)時 如果在x0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是極大值 1 函數(shù)的單調(diào)性 2 函數(shù)的極值 增 減 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極小值 2 求可導函數(shù)極值的步驟 求f x 求方程f x 0的根 檢查f x 在方程f x 0的根左右值的符號 如果左正右負 那么f x 在這個根處取得 如果左負右正 那么f x 在這個根處取得極小值 如果左右兩側(cè)符號一樣 那么這個根不是極值點 f x 0 f x 0 極大值 一個考情解讀本講內(nèi)容是高考的必考內(nèi)容 主要以解答題的形式考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求函數(shù)的極值 也有可能以解答題的形式考查導數(shù)與解析幾何 不等式 三角函數(shù)等知識相結(jié)合的問題 綜合題一般作為壓軸題出現(xiàn) 難度較大 助學 微博 考點自測 2 函數(shù)y 3x2 6lnx的單調(diào)增區(qū)間為 單調(diào)減區(qū)間為 答案 1 0 1 3 若函數(shù)f x ax3 3x2 x恰有3個單調(diào)區(qū)間 則實數(shù)a的取值范圍是 答案 3 0 0 解析f x 3x2 a 由f x 在 1 上是單調(diào)遞增函數(shù) 得f x 0在區(qū)間 1 上恒成立 即3x2 a 0 x 1 恒成立 故實數(shù)a 3x2在 1 上的最小值 即a 3 答案 3 4 已知a 0 函數(shù)f x x3 ax在 1 上是單調(diào)遞增函數(shù) 則a的取值范圍是 5 2012 啟東中學一模 若函數(shù)f x x3 x2 ax 4在區(qū)間 1 1 內(nèi)恰有一個極值點 則實數(shù)a的取值范圍是 答案 1 5 考向一利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題 令g x ax2 x 1 a x 0 當a 0時 g x x 1 x 0 所以 當x 0 1 時 g x 0 此時f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 當a 0時 由f x 0 x 0 1 時 g x 0 此時f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 方法總結(jié) 討論函數(shù)的單調(diào)性其實就是討論不等式的解集的情況 大多數(shù)情況下 這類問題可以歸結(jié)為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論 在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時依據(jù)根的大小進行分類討論 在不能通過因式分解求出根的情況時根據(jù)不等式對應方程的判別式進行分類討論 1 求f x 的單調(diào)增區(qū)間 2 若f x 在定義域r內(nèi)單調(diào)遞增 求a的取值范圍 解 1 f x ex ax 1 f x ex a 令f x 0 得ex a 當a 0時 有f x 0在r上恒成立 當a 0時 有x lna 綜上 當a 0時 f x 的單調(diào)增區(qū)間為 當a 0時 f x 的單調(diào)增區(qū)間為 lna 訓練1 已知f x ex ax 1 2 f x ex ax 1 f x ex a f x 在r上單調(diào)遞增 f x ex a 0恒成立 即a ex x r恒成立 x r時 ex 0 a 0 當a 0時 f x ex f x 0在r上恒成立 故當a 0時 f x 在定義域r內(nèi)單調(diào)遞增 考向二利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題 由表得函數(shù)f x 的單調(diào)減區(qū)間為 0 1 及 1 e 單調(diào)增區(qū)間為 e 所以存在極小值為f e e 無極大值 方法總結(jié) 1 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時要養(yǎng)成列表的習慣 可使問題直觀且有條理 減少失分的可能 2 導函數(shù)的零點并不一定就是函數(shù)的極值點 所以在求出導函數(shù)的零點后一定注意分析這個零點是不是函數(shù)的極值點 2 若f x 為r上的單調(diào)函數(shù) 則f x 在r上不變號 結(jié)合 與條件a 0 知ax2 2ax 1 0在r上恒成立 因此 4a2 4a 4a a 1 0 a 0 解得0 a 1 所以a的取值范圍為 0 1 例3 2011 江蘇 已知a b是實數(shù) 函數(shù)f x x3 ax g x x2 bx f x 和g x 分別是f x 和g x 的導函數(shù) 若f x g x 0在區(qū)間i上恒成立 則稱f x 和g x 在區(qū)間i上單調(diào)性一致 考向三利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題 1 設a 0 若f x 和g x 在區(qū)間 1 上單調(diào)性一致 求b的取值范圍 2 設a 0且a b 若f x 和g x 在以a b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致 求 a b 的最大值 解f x 3x2 a g x 2x b 1 由題意知f x g x 0在 1 上恒成立 因為a 0 故3x2 a 0 進而2x b 0 即b 2x在 1 上恒成立 所以b 2 因此b的取值范圍是 2 方法總結(jié) 若f x 在區(qū)間d上單調(diào)增 減 則對任意的x d 恒有f x 0 f x 0 由此可求出含參數(shù)的取值范圍 另外 還可由a f x a f x 恒成立 a f x min a f x max 由f x 單調(diào)性求出f x 的最大 小 值 從而可確定參數(shù)a的取值范圍 由于函數(shù)的單調(diào)性可以用來求最值 解不等式和求解恒成立問題 所以要靈活應用單調(diào)性解題 要善于將有關(guān)問題轉(zhuǎn)化成單調(diào)性問題求解 比如分離參數(shù) 構(gòu)造函數(shù)等 規(guī)范解答4函數(shù)的單調(diào)性及其應用 當x 0 1 時 g x 0 故 0 1 是g x 的單調(diào)減區(qū)間 當x 1 時 g x 0 故 1 是g x 的單調(diào)增區(qū)間 因此 x 1是g x 的唯一極值點 且為極小值點 從而是最小值點 所以最小值為g 1 1 4分 點評 本題主要考查導數(shù)的應用 即如何利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值 1 2012 重慶卷改編 設函數(shù)f x 在r上可導 其導函數(shù)為f x 且函數(shù)y 1 x f x 的圖象如圖所示 則f x 的極值點分別為 高考經(jīng)典題組訓練 解析當x3 則f x 0 當 22時 1 x0 所以函數(shù)有極小值f 2 答案2或 2 又由f x ex 1 x知 當x 0 時 f x 0 所以f x 在 0 上單調(diào)遞減 在 0 上單調(diào)遞增 1 當a 1 b 2時 求曲線y f x 在點 2 f 2 處的切線方程 2 設x1 x2是f x 的兩個極值點 x3是f x 的一個零點 且x3 x1 x3 x2 證明 存在實數(shù)x4 使得x1 x2 x3 x4按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列 并