高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第5章 第5節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用課件 新人教A版.ppt

第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用 1 認(rèn)識(shí)數(shù)列的函數(shù)特性 能結(jié)合方程 不等式和解析幾何等知識(shí)解決一些數(shù)列綜合題 2 能在實(shí)際情形中運(yùn)用數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問題 一 數(shù)列綜合應(yīng)用題的解題步驟1 審題 弄清題意 分析涉及哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容 在每個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容中 各是什么問題 2 分解 把整個(gè)大題分解成幾個(gè)小題或幾個(gè) 步驟 每個(gè)小題或每個(gè) 步驟 分別是數(shù)列問題 函數(shù)問題 解析幾何問題 不等式問題等 3 求解 分別求解這些小題或這些 步驟 從而得到整個(gè)問題的解答 具體解題步驟如下框圖 二 數(shù)列應(yīng)用問題的常見模型1 等差模型 一般地 如果增加 或減少 的量是一個(gè)固定的具體量時(shí) 該模型是等差模型 增加 或減少 的量就是公差 其一般形式是 an 1 an d 常數(shù) 2 等比模型 一般地 如果增加 或減少 的量是一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)時(shí) 該模型是等比模型 與變化前的量的比就是公比 3 混合模型 在一個(gè)問題中 同時(shí)涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型 4 生長模型 如果某一個(gè)量 每一期以一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)增加 或減少 同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加 或減少 時(shí) 我們稱該模型為生長模型 如分期付款問題 樹木的生長與砍伐問題等 5 遞推模型 如果容易找到該數(shù)列任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an 1 或前n項(xiàng) 間的遞推關(guān)系式 那么我們可以用遞推數(shù)列的知識(shí)求解問題 銀行儲(chǔ)蓄單利公式及復(fù)利公式是什么模型 提示 單利公式是等差數(shù)列模型 復(fù)利公式是等比數(shù)列模型 1 若a b c成等比數(shù)列 則函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 a 0b 1c 2d 不能確定解析 由題意b2 ac ac 0 b2 4ac 3b2 0 答案 a 2 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差d不為0 a1 9d 若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng) 則k等于 a 2b 4c 6d 8解析 an a1 n 1 d n 8 d 且ak2 a1a2k 8 k d 2 9d 8 2k d k 4 答案 b 答案 c 答案 4 5 某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費(fèi)獎(jiǎng)勵(lì)科研人員 第1名得全部資金的一半多一萬元 第二名得剩下的一半多一萬元 以名次類推都得到剩下的一半多一萬元 到第10名恰好資金分完 則此科研單位共拿出 萬元資金進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì) 答案 2046 1 等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點(diǎn) 特別是等差 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng) 等比中項(xiàng)問題是歷年命題的熱點(diǎn) 2 利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)注意公比q的取值 同時(shí)對兩種數(shù)列的性質(zhì) 要熟悉它們的推導(dǎo)過程 利用好性質(zhì) 可降低題目的難度 解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程求解 活學(xué)活用 1 設(shè) an 是公比大于1的等比數(shù)列 sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 已知s3 7 且a1 3 3a2 a3 4構(gòu)成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng) 2 令bn lna3n 1 n 1 2 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和tn 1 解等差等比數(shù)列應(yīng)用題 首先要認(rèn)真審題 深刻理解問題的實(shí)際背景 理清蘊(yùn)含在語言中的數(shù)學(xué)關(guān)系 把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列問題 使關(guān)系明朗化 標(biāo)準(zhǔn)化 然后用等差數(shù)列知識(shí)求解 這其中體現(xiàn)了把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的能力 也就是所謂的數(shù)學(xué)建模能力 2 解等差等比數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是建模 建模的思路是 從實(shí)際出發(fā) 通過抽象概括建立數(shù)列模型 通過對模型的解析 再返回實(shí)際中去 2011湖南高考 某企業(yè)在第1年初購買一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備m m的價(jià)值在使用過程中逐年減少 從第2年到第6年 每年初m的價(jià)值比上年初減少10萬元 從第7年開始 每年初m的價(jià)值為上年初的75 1 求第n年初m的價(jià)值an的表達(dá)式 特別提醒 與等比數(shù)列聯(lián)系較大的是 增長率 遞減率 的概念 在經(jīng)濟(jì)上多涉及利潤 成本 效益的增減問題 在人口數(shù)量的研究中也要研究增長率問題 金融問題更多涉及復(fù)利的問題 這都與等比數(shù)列有關(guān) 1 設(shè)n年內(nèi) 本年度為第一年 總投入為an萬元 旅游業(yè)總收入為bn萬元 寫出an bn的表達(dá)式 2 至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入 數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問題主要指的是用幾何方法或函數(shù)的解析式構(gòu)造數(shù)列 用函數(shù)或方程的方法研究數(shù)列問題 函數(shù)與數(shù)列的綜合問題主要有以下兩類 一是已知函數(shù)的條件 利用函數(shù)的性質(zhì)圖象研究數(shù)列問題 如恒成立 最值問題等 二是已知數(shù)列條件 利用數(shù)列的范圍 公式 求和方法等知識(shí)對式子化簡變形 從而解決函數(shù)問題 思路點(diǎn)撥 1 由已知代入函數(shù)解析式得an 1與an的關(guān)系從而獲解 2 兩兩結(jié)合提取公因式利用第一步條件獲解 3 利用裂項(xiàng)求和及數(shù)列性質(zhì)求解 特別提醒 本題在求sn的取值范圍時(shí)思路易受阻 原因是忽視了數(shù)列中常用單調(diào)性求解的方法 活學(xué)活用 同理 n 1 2rn 1 從而 n 1 n rn rn 1 2rn 1 將 n 2rn代入 解得rn 1 3rn 故 rn 為公比q 3的等