2.林煒：大問題教學的數(shù)學思維方法滲透.docx

“大問題”教學的數(shù)學思想方法滲透以北師大版四年級“游戲公平”教學為例深圳市福田區(qū)彩田學校 林煒隨著數(shù)學課程標準將“雙基”擴展為“四基”，數(shù)學思想方法作為數(shù)學教育的一個基本問題，被普遍重視。數(shù)學思想是指人們對數(shù)學理論和內(nèi)容本質(zhì)的認識，數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體化形式，實際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，通?；旆Q為“數(shù)學思想方法”。“大問題”教學主要關(guān)注課堂教學的重要問題及數(shù)學教育的基本問題，那么對于數(shù)學思想方法的滲透，在課堂中是如何得以體現(xiàn)的呢？下面以筆者執(zhí)教的“游戲公平”一課，談?wù)剬Υ说目捶?。一、挖掘知識本質(zhì)，體現(xiàn)“建模思想”片斷1：建立關(guān)系，提大問題師：有個游戲，需要邀請一位同學來一起玩，你們說選男同學還是女同學來？（學生紛紛爭議）師：我想了兩個辦法來幫我決定誰來玩：A方案：抽到黑牌男生贏，抽到紅牌女生贏B方案：抽到大于3的男生贏，小于3的女生贏提大問題1：你覺得哪個方案合適？（請學生寫出自己的觀點和原因）生1： 生2：師：下面請幾位同學講解他們的觀點。生1：我選擇A方案，因為這是公平的。男女生贏的機率都有二分之一。師：機率，我們也可以稱為“可能性”，你能用可能性再說說嗎？生：A方案公平，因為男女生贏的可能性都是二分之一。師：它們的可能性相等，是二分之一嗎？生：是啊，一共有兩張牌，黑牌是一張就男生贏，紅牌也是一張，女生贏。師：真厲害！還會用分數(shù)的意義來解釋可能性的問題!師：那有同學選B方案的嗎？生：沒有師：為什么不選B呢？我們請另一位同學分享他的選擇和原因。生2： B方案不公平，因為小于3的有1，2 兩張牌，而大于3的就有4，5，6三張牌。師：兩類牌的張數(shù)不同那這個心中的天平還能平衡嗎？生：不平衡了！因為可能性不相等，男生贏有3種可能，女生只有2種可能，男生贏的可能性大。師：哦，那看來如果可能性不相等，規(guī)則就一定不公平。那你們能不能修改一下B方案，讓它變成公平的規(guī)則？生1：女孩1，2，3贏；男生4，5，6贏生2:去掉一張6，其他規(guī)則一樣本課屬于數(shù)學四大領(lǐng)域中的“概率與統(tǒng)計”領(lǐng)域。概率學習的一個首要目標是使學生不斷體會隨機現(xiàn)象這一特點，通過設(shè)計一些活動，使學生體會到事件發(fā)生的等可能性。此處的“活動”，我們可以理解為直觀操作或理性思辨兩種類型。也就是說，為了解答本課提出的第一個大問題：“你覺得哪個方案合適”，可以有兩個方向：第一，實驗驗證；第二，理性思考。本課選擇了第二種。因為在這個指向?qū)W生理解和體會“等可能性”事件的大問題下，我們更傾向于給予空間挖掘?qū)W生在潛意識里主動進行的有意判斷，抓住孩子們在心里默默形成的“天平模型”，并以此思考和理性判斷何種方案是公平的。這個過程，就是幫助孩子建立數(shù)學模型。這個模型的啟動是源于人類思維的發(fā)展規(guī)律：人思維發(fā)展總是先經(jīng)過“定性”階段，再經(jīng)歷“定量”階段。小時候，孩子會用“一定”、“可能”、“不一定”等來描述事件，但是對可能性有大小、甚至可以用數(shù)字來表示大小這一概念還是模糊的。教材沒有馬上進入計算，而是抓住“可能性相等”這一重要概念，通過游戲活動加深對它的理解。可見，本課的教學是處于“定性”到“定量”的中間橋梁部分?！翱赡苄韵嗟取备拍罱?gòu)得到位，才能幫助日后深入對可能性大小進行定量計算。介于“定性”與“定量”之間的一座橋梁，就像函數(shù)與方程思想所描述的“聯(lián)系”。怎樣的“聯(lián)系”才是公平的規(guī)則？究竟應(yīng)該先判斷公平事件的“等可能性”還是先判斷不公平事件的“不等可能性”更有助于模型的建立呢？本課是同時將這兩個會產(chǎn)生沖突的情形拋出，學生為了解決這個大問題，在選擇與說理的過程中自然而然會聯(lián)想到“等式”、“天平”等數(shù)學模型?！按髥栴}”教學中突出建模思想的價值在于：第一，建立模型本身就經(jīng)歷了理解、內(nèi)化、歸納、提煉等思維過程；第二，合理的模型建立有利于縮短知識間的空隙，如本課學生順理成章地跨越到了“定量”階段，是超出目標預想的。二、還原知識起點，凸顯“實驗思想”片斷2：問題探究，感性操作師：既然我們都認同了修改后的方案是公平的，那是不是按照這樣抽牌，一定是男生贏一次女生贏一次呢？生：老師，不一定的。有可能運氣不好，一直女生贏。師：有這個可能！大問題2：規(guī)則是公平的，那還能決出勝負嗎？生：可以決出勝負，肯定有輸有贏。師：真的嗎？要不我們來做個實驗？每人抽2次，小組統(tǒng)計總數(shù)，看怎么樣？（分組實驗后，結(jié)果討論）師：我們看看這些結(jié)果，第一組是男生多，第二組是女生總共是你們有什么發(fā)現(xiàn)？ 生1：我們組是女生贏。但是全班來看，還是男生贏。所以雖然兩種可能性相等，但抽出來的結(jié)果不一定。生2：應(yīng)該是男女生差不多。師：為什么會出現(xiàn)不同的結(jié)果呢？應(yīng)該是規(guī)則不公平吧？如果規(guī)則是公平的，那應(yīng)該男生贏的次數(shù)和女生贏的次數(shù)一樣啊！生：沒有，規(guī)則是公平的，出現(xiàn)這個結(jié)果是運氣?？次覀兘y(tǒng)計了這邊一個大組的結(jié)果：師：那如果再抽很多很多次，你猜結(jié)果會怎么樣呢？生：可能男女生贏的次數(shù)會差不多。師：其實在很多很多年前，國外科學家做的拋硬幣實驗（出示數(shù)據(jù)） 你有什么發(fā)現(xiàn)？生：做了很多很多次實驗后，正反面出現(xiàn)的次數(shù)就越來越接近了。師：是的，所以在統(tǒng)計學上有個“貝努利大數(shù)定律”是這樣說的：“當實驗重復的次數(shù)足夠多時，出現(xiàn)的頻率就會越趨向于它本身的概率（可能性）”。師：同學們，我們剛剛所做的事情，其實是在經(jīng)歷千百年前科學家走過的路，你們“再創(chuàng)造”了統(tǒng)計的精華，為你們自豪！概率是研究不確定現(xiàn)象（隨機現(xiàn)象）的科學。隨機現(xiàn)象是指這樣一種現(xiàn)象：在相同的條件下重復同樣的試驗，其試驗結(jié)果不確定，以至于在試驗之前無法預料哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。但大量重復實驗，其結(jié)果會出現(xiàn)一定的規(guī)律。隨機現(xiàn)象是由實驗產(chǎn)生的，必定以實驗作為基本活動基礎(chǔ)，課堂上要還原實驗的設(shè)計、操作、分析與結(jié)論過程，體現(xiàn)科學研究精神。實驗，不僅是一種重要的數(shù)學思想方法，而且為形成良好的科學素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。“大問題”教學中，實驗思想的形成與操作有了更大更完整的空間：第一，實驗設(shè)計，即為什么我們需要做這個實驗？實驗思想的第一步一定是實驗動機，人們會因為要弄明白某個問題而大量搜集數(shù)據(jù)，以期望通過數(shù)據(jù)帶來一定的結(jié)論。本課在實驗前，先用理性分析了實驗可能產(chǎn)生的結(jié)果規(guī)則是公平的，那是不是男女生贏的次數(shù)一定一樣多呢？帶著這個困惑，學生會產(chǎn)生需要實驗的欲望。另外，實驗的設(shè)計需要帶有一定的挑戰(zhàn)性，源于理性判斷，又高于理性思考的設(shè)計最有價值。假如本課采用“拋硬幣”實驗，就可能會產(chǎn)生這樣的問題：拋硬幣肯定是公平的！它的等可能性，一般不是通過實驗驗證的，而是根據(jù)人們長期形成的“對稱性經(jīng)驗”確認的。因此，在暫時還不需要計算概率的這個學段里，我們選擇的實驗應(yīng)該避免孩子由自身的“對稱性經(jīng)驗”就可以判斷的事件，如硬幣的正反面。因為不需要通過理性思考得出的結(jié)論，就不會產(chǎn)生實驗的欲望。因此，設(shè)計的實驗應(yīng)該是高于“對稱性經(jīng)驗”的，或者也可以是可能性不相等的統(tǒng)計概型，造成認知沖突后再進行實驗。 第二，實驗樣本，即需要在多大的范圍內(nèi)做實驗才有效？按照孩子的常規(guī)思維，本課先安排小樣本實驗，每人抽2次。這時，學生發(fā)現(xiàn)實際數(shù)據(jù)并不像理論推斷一樣，那如何說明這是科學的呢？進而引導學生聚焦“樣本”問題，在課堂的限制空間和時間里體會到“大量重復”的試驗這是從非實驗者進步到科學實驗者的分水嶺。分組實驗再匯總結(jié)果這樣的方法相對來說提高了實驗的量，既滿足了適當?shù)摹按罅俊庇帜茉诙虝r間內(nèi)使學生體驗到過程和結(jié)果。 第三，實驗分析，即實驗結(jié)果給我們帶來什么思考？這一次的分析，有別于實驗前的理性分析，更傾向于用數(shù)據(jù)說話，指向理解、預測與修正。實驗樣本的體會使學生有了下一步的思考力：如果實驗的量無限大下去，結(jié)果會更趨于預測結(jié)果嗎？但那只是理論上的推斷，我們不可能無休止的去親自操作，只能是在可操作范圍內(nèi)進行，然后用極限的思維去感受推理。因此本課增加已有的硬幣實驗結(jié)果，讓學生充分感受到“大數(shù)定律”。關(guān)于實驗，完全是為了解讀隨機與規(guī)律之間的關(guān)系隨機是事物的現(xiàn)象，透過現(xiàn)象的本質(zhì)，就是“規(guī)律”?？茖W研究之所以可貴，是因為其深刻的內(nèi)涵以及深入探究內(nèi)涵的精神。這種深入的洞察，實際上是將統(tǒng)計穿越到原始社會，當什么定律都還沒有的時候，人們是如何解決理性判斷與實踐操作之間的矛盾的。這種“裸看”知識形成的過程，就是“再創(chuàng)造”（弗賴登塔爾語）。唯有大空間能為“再創(chuàng)造”提供優(yōu)質(zhì)的土壤。三、多元開放空間，形成“體系思想”片斷3：問題延伸，展示分享師：除了用撲克牌，你們還能不能想出一個公平的方法來解決他們誰先玩的問題？組長的學具袋里還有很多學具，請你們來做個設(shè)計師，也來設(shè)計一些公平的方案吧！請看要求-出示具體要求：a.選擇學具盒里的其中一種道具（或自創(chuàng)道具、無道具）b.用這些道具設(shè)計出一個決定誰先玩的方案c.說明這種方法為什么是公平的d.在黑板寫出這種設(shè)計的關(guān)鍵詞2、填充板書：3、分組展示：師：先請摸球組生：我們組的方案是，閉眼摸球。這里有兩個綠球兩個藍球和一個紅球，摸到綠球女生贏，摸到藍球男生贏，摸到紅球就不算。這也是公平的，大家有問題要問我嗎？生2：為什么有一個多出來的紅球，這個方案還是公平的呢？生：因為摸到綠球有2種可能，摸到藍球也有2種可能性，是一樣的啊！而且我還會變魔術(shù)，看好了！我再加一個紅球，你們覺得這時候還是公平的嗎？生3：公平的，因為還是可能性相等。生：那我再多加一個紅球呢？再多加2個呢？生3：一樣還是公平，因為紅球根本不影響男女生贏的可能性。師：摸球組真厲害??！不僅會變魔術(shù)，還會排除干擾因素找到本質(zhì)的影響！再有請轉(zhuǎn)盤組生：我們組的方案是，轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)到紅色就女生贏，如果轉(zhuǎn)到黑色就男生贏，這也是公平的。大家有問題嗎？生4：你怎么知道是公平的？生：紅色這部分的大小跟黑色這部分的大小是一樣的，所以都是50%！師：解釋得真到位！其實雖然我們沒辦法數(shù)出轉(zhuǎn)盤這些位置有多少種可能，但是兩部分的面積相等，就表示可能性相等了。這在概率上有個名字，我們以后會接觸到，叫做幾何概型，而前面這些能數(shù)得清楚的叫古典概型。體系思想，也可以看作整合思想。數(shù)學必然是充滿強烈內(nèi)部聯(lián)系的科學，遵循或挖掘這種內(nèi)部聯(lián)系，就是以“體系”的觀點看待數(shù)學?？涿兰~斯說，人們學習的每件事情都應(yīng)該是充滿著聯(lián)系的。荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾也認為，數(shù)學教學不是將詳細整理好的證明提供給學生，而是必須讓學生自己發(fā)現(xiàn)粗略的證明，自己加以整理。只有通過這樣的活動，才能使學生跨出超越局部的問題解決的第一步，而走向獨立自主地建立數(shù)學體系。課堂上是否具有體系意識及體系空間，是需要有前提的：“大問題”教學之所以提倡把問題提得“大”，就是想要問題放大之后的空間。這個空間恰恰是留給學生思考、討論和表達的空間。本課利用多種學具開放性地給學生設(shè)計公平的游戲規(guī)則，是想先請學生在黑板上把自己智慧進行呈現(xiàn)，眾多的方案會讓學生感受到一種變易的哲學內(nèi)涵：即材料、方式都在改變，但是思維方式和判斷方法不變這是第一層次的體系。深入來看，鄭毓信教授提出：數(shù)學中對于“多元化”的提倡，其主要的著眼點并非形式上的“與眾不同”，而是有無體現(xiàn)出“新的不同的視角或分析思路”?；诖?，我們回到統(tǒng)計的體系中，縱觀統(tǒng)計概型，大體有三種：1.古典概型（常用的）如摸球、拋硬幣、擲骰子等，古典概型的特征是：所有可能結(jié)果的個數(shù)是有限的，每個結(jié)果具有等可能性；2.幾何概型如轉(zhuǎn)盤，可以分為無限等分。它的特征是：所有可能結(jié)果的個數(shù)是無限的，每個結(jié)果具有等可能性；3.統(tǒng)計概型每個結(jié)果不具有等可能性。如拋瓶蓋、擲圖釘為了使學生能夠感受到不同概型以及它們之間的層次，本課采用了多元材料的提供方式。在開放的空間中，學生會有不同的表達，進而回歸到統(tǒng)計教學的本質(zhì)中去。在古典概型中，學生容易在心中建立天平，摸球組不