格林函數(shù)法求解場(chǎng)的問題.doc

格林函數(shù)法求解穩(wěn)定場(chǎng)問題1 格林函數(shù)法求解穩(wěn)定場(chǎng)問題(Greens Function) Greens Function, 又名源函數(shù)，或影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一個(gè)重要概念。 從物理上看，一個(gè)數(shù)學(xué)物理方程表示一種特定的場(chǎng)和產(chǎn)生這種場(chǎng)的源之間關(guān)系： Heat Eq.： 表示溫度場(chǎng)與熱源 之間關(guān)系 Poissions Eq.： 表示靜電場(chǎng)與電荷分布之間的關(guān)系場(chǎng)可以由一個(gè)連續(xù)的體分布源、面分布源或線分布源產(chǎn)生，也可以由一個(gè)點(diǎn)源產(chǎn)生。但是，最重要的是連續(xù)分布源所產(chǎn)生的場(chǎng)，可以由無(wú)限多個(gè)電源在同樣空間所產(chǎn)生的場(chǎng)線性疊加得到。例如，在有限體內(nèi)連續(xù)分布電荷在無(wú)界區(qū)域中產(chǎn)生的電勢(shì)： 這就是把連續(xù)分布電荷體產(chǎn)生的電勢(shì)用點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)疊加表示。或者說(shuō)，知道了一個(gè)點(diǎn)源的場(chǎng)，就可以通過(guò)疊加的方法算出任意源的場(chǎng)。所以，研究點(diǎn)源及其所產(chǎn)生場(chǎng)之間的關(guān)系十分重要。這里就引入Greens Functions的概念。Greens Functions：代表一個(gè)點(diǎn)源所產(chǎn)生的場(chǎng)。普遍而準(zhǔn)確地說(shuō)，格林函數(shù)是一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和初始條件下所產(chǎn)生的場(chǎng)。所以，我們需要在特定的邊值問題中來(lái)討論 Greens Functions. 下面，我們先給出Greens Functions 的意義，再介紹如何在幾個(gè)典型區(qū)域求出格林函數(shù)，并證明格林函數(shù)的對(duì)稱性，最后用格林函數(shù)法求解泊松方程的邊值問題。實(shí)際上，只限于討論泊松方程的第一類邊值問題所對(duì)應(yīng)的 Greens Functions。 2 泊松方程的格林函數(shù) 靜電場(chǎng)中常遇到的泊松方程的邊值問題：這里討論的是靜電場(chǎng)， 代表自由電荷密度。 格林函數(shù)：位于的單位正電荷在處所激發(fā)的滿足齊次邊界條件的電勢(shì)。 三維 Greens Functions 定解問題為： 這里表述了單位正電荷的體密度。 注意：對(duì)于第二類齊次邊界條件且對(duì)于有限的研究區(qū)域，這個(gè)定解問題無(wú)解。這是因?yàn)?，雖然方程說(shuō)明內(nèi)有單位正電荷存在，而邊界條件 說(shuō)明點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)在邊界上電場(chǎng)的法向分量處處為零，說(shuō)明邊界條件與方程不相容。另外，可以對(duì)方程作積分 這時(shí)要包含點(diǎn)，用高斯定理得 這就矛盾了！ 注： 高斯定理 這時(shí)引入廣義格林函數(shù) 其中為常數(shù)，還要增加一個(gè)條件，以保證解的唯一性。 求解上面方程組或，可得在給定區(qū)域的泊松方程的各類邊值問題的格林函數(shù)。 3 鏡像法求G. F.用Greens Functions 去求解數(shù)理方程的定解問題，首先要求出相同邊界、同類邊值問題的Greens Function.3.1 鏡像法的基本概念 很多物理問題沒有一個(gè)普遍奏效的解法，人們會(huì)發(fā)展許多方法，但往往每一種方法只能解決一部分問題。人們熟知的一種辦法是所謂“猜解”，即“嘗試解”，這要有所謂的“唯一性定理”做保證。唯一性定理：某些物理問題（如靜電場(chǎng)邊值問題）存在唯一解?？梢酝ㄟ^(guò)并不唯一的方法找到這個(gè)唯一解，這樣就意味著解決物理方法上的多樣性和靈活性。靜電鏡像法是一種特殊的猜解方法，其基本思想：利用點(diǎn)電荷模擬邊界面上的感應(yīng)電荷或極化電荷?？捎糜阽R像法解決的問題包括：在點(diǎn)或線電荷與導(dǎo)體（或介質(zhì)）共同存在的系統(tǒng)中，空間任一點(diǎn)的場(chǎng)是由點(diǎn)（或線）電荷與界面上感應(yīng)（或極化）電荷共同產(chǎn)生的，而感應(yīng)（或極化）電荷事先并不知道。通過(guò)分析邊界條件可以找到一個(gè)（或多個(gè)）像電荷來(lái)等效地代替導(dǎo)體面（或介質(zhì)面）上的感應(yīng)（或極化）電荷，從而把點(diǎn)（或線）電荷與界面上感應(yīng)（或極化）電荷在待求區(qū)域產(chǎn)生場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)化為真實(shí)點(diǎn)電荷和虛像電荷在待求區(qū)域所產(chǎn)生場(chǎng)的簡(jiǎn)單疊加。鏡像法求邊值問題的一般步驟為（以靜電場(chǎng)為例）：1） 列出定解問題：電勢(shì)在待求區(qū)域所滿足的微分方程和邊界條件；2） 根據(jù)邊界條件分析鏡像電荷的個(gè)數(shù)和位置；3） 寫出電勢(shì)分布的形式表達(dá)式（嘗試解）；4） 把邊界條件帶入形式表達(dá)式以確定像電荷的量值和位置；5） 把已求出的像電荷帶入形式解以得到真實(shí)的電勢(shì)分布；6） 根據(jù)題意要求可由電勢(shì)求場(chǎng)強(qiáng)、電荷分布及受力等問題。靜電鏡像法分為：反射鏡像法：平面鏡法球面鏡法半透鏡法：平面鏡法球面鏡法32 無(wú)界空間定解問題 對(duì)應(yīng)物理問題：?jiǎn)挝徽姾芍糜?，求空間任一點(diǎn)處的電勢(shì) 庫(kù)侖定律給出的解無(wú)界區(qū)域的Greens Function： 又叫基本解。33 上半空間定解問題 這里實(shí)際上可以給出滿足第一類邊界條件的 G. F. of the first kind.物理問題：在 處，有一無(wú)限大接地金屬板，在處有一單位正電荷，求金屬板上方任一點(diǎn)處的電勢(shì)分布鏡像法的基本思想用在這里：當(dāng)電荷置于導(dǎo)體板的上方時(shí)，由于靜電感應(yīng)，板上出現(xiàn)異號(hào)電荷，空間電場(chǎng)是由電荷及感應(yīng)電荷共同激發(fā)的，即。而且滿足靜電平衡條件時(shí)，電力線垂直于導(dǎo)體面。格林等效層定理：帶電導(dǎo)體面上的電荷分布在導(dǎo)體外產(chǎn)生的電勢(shì)，可以用導(dǎo)體面內(nèi)的一定的等效電荷分布來(lái)代替。 我們通過(guò)電場(chǎng)分布分析，引進(jìn)像電荷假想電荷來(lái)代替感應(yīng)電荷作用。在這里，我們?cè)陔姾上鄬?duì)于平面的鏡像位置引進(jìn)，那么和激發(fā)電場(chǎng)與和真實(shí)感應(yīng)電荷激發(fā)的電場(chǎng)相同。這里要滿足和共同在導(dǎo)體面上產(chǎn)生的電勢(shì)為零。 這樣引進(jìn)的像電荷和原電荷一起產(chǎn)生的場(chǎng)，就是要求的由原電荷和感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，這樣我們只需要求出像電荷的位置和大小。 像電荷的正確引進(jìn)要符合： 像電荷用在求解區(qū)域之外引入，因?yàn)楦猩姾稍谏习肟臻g的場(chǎng)處處滿足Laplaces Eq. , 即在上半平面內(nèi)是無(wú)源的。 像電荷的電量和位置要滿足邊界條件： 和。Then, 和激發(fā)的電勢(shì)是待求的格林函數(shù)。 金屬板上的面電荷密度 應(yīng)能證明：金屬板上總電荷 這說(shuō)明金屬板上總感應(yīng)電荷等于像電荷。這是因?yàn)榻拥氐膶?dǎo)體平面相當(dāng)于一面鏡子，而則是的像，稱像電荷。34 球外空間這里還是考慮第一類G.F.函數(shù)的求解問題。定解問題 對(duì)應(yīng)物理問題：接地金屬球外處，有一單位正電荷，求球外空間任一點(diǎn)處的電勢(shì)首先引進(jìn)像電荷，要不違反泊松方程，也就是讓產(chǎn)生的電勢(shì)滿足 Laplaces Eq., , 必須在求解區(qū)域之外一球內(nèi)，考慮到對(duì)稱性，還必須在上，放在處。為了保證球面電勢(shì)為零，即 成立，為負(fù)電荷。？，？ 應(yīng)由邊界條件定?？紤]球面上一點(diǎn)，由邊界條件得：也就是 要求 注意，這里考慮了若有兩個(gè)相似三角形，必有。由此確定了像電荷的位置和電量 這樣，和激發(fā)的電勢(shì)就是 Greens Function 用球坐標(biāo)表示：場(chǎng)點(diǎn)： ， 電荷所在位置：， 像電荷所在位置：，（這里） （余弦定理） （余弦定理）where （加法公式）在考慮， 我們得 場(chǎng)強(qiáng)： 球面上電荷分布： 球面上總電荷： 由于球面上感應(yīng)電荷在球外的場(chǎng)與像電荷的場(chǎng)等效，所以電荷受感應(yīng)電荷的力為 4 Greens Functions 對(duì)稱性 重要物理意義：點(diǎn)的點(diǎn)源，在一定邊界條件下，在產(chǎn)生的場(chǎng)等于：在置同樣強(qiáng)度點(diǎn)源，在相同邊界條件下在產(chǎn)生的場(chǎng)。 這就是物理學(xué)中常說(shuō)的倒易性互易性。實(shí)際上，并非所有格林函數(shù)都具有這種對(duì)稱性，這與邊值問題有關(guān)。Proof. 泊松方程的Greens Fnuctions 對(duì)稱性。 定解問題 :又有: 對(duì)積分后： 根據(jù)Green公式第二式 可得 （5）與上類似，對(duì)定解條件做如下處理得 所以（5）式右邊 這就是格林函數(shù)的對(duì)稱性。5 求解泊松方程的第一類邊值問題 泊松方程的第一類邊值問題寫出與有相同邊界、同類邊值問題的格林函數(shù)所滿足的方程與邊界條件 寫出自變量為的Greens Formula letting 為待求電勢(shì)，便有（上式左端代入（3）和（1），右端） 利用函數(shù)性質(zhì)和 Where 為內(nèi)整個(gè)電荷分布在處激發(fā)電勢(shì)； 為外電荷分布在處激發(fā)的電勢(shì)。6 用正交函數(shù)組展開格林函數(shù)一個(gè)求有界區(qū)域GF的重要方法。Example： 求矩形區(qū)域內(nèi)的Laplaces Eq. 第一邊值問題的GF 滿足條件（2）的一組正交函數(shù)函數(shù)為： （3）其正交歸一關(guān)系為： （4）注意這里選得正交函數(shù)組實(shí)際上是有條件的：1） 滿足邊界條件2） 實(shí)際上是如下本征方程的解本征函數(shù)： 展開所求GF： （5）帶入原方程（1）得：對(duì)于上式做以下積分：We obtain thatSo And （6）問題：這里的二重級(jí)數(shù)收斂很慢，在使用到求普遍問題的解時(shí)不太合適。改進(jìn)：用一個(gè)變數(shù)的正交函數(shù)組其正交歸一關(guān)系為這組函數(shù)滿足邊界條件，同時(shí)具有。使用對(duì)GF做展開有 （7）帶入原方程（1）得： (8)Where 做運(yùn)算可得：(9)把（7）式帶入原邊界條件（2）式，可得相應(yīng)邊條件：。 這樣構(gòu)成了一個(gè)本征值問題： （10）這里已經(jīng)暫時(shí)去掉了下標(biāo)m，并且令。當(dāng)時(shí)，方程（10）是齊次方程，其通解為由邊界條件 得 so 。但看另一端邊界條件，以上解不能滿足。它卻要求i.e. we have 所以，定解問題（10）的解為其中系數(shù)待定。 問題是在點(diǎn)應(yīng)該是連續(xù)的，否則在該點(diǎn)會(huì)變成無(wú)窮大，這與方程（10）的奇異性不符合，因?yàn)樵撌接疫叺暮瘮?shù)的積分值是有限的。S