《中心極限定理》PPT課件.ppt

2020 1 29 1 4 2中心極限定理 中心極限定理的客觀背景 在實際問題中 常常需要考慮許多隨機 例如 炮彈射擊的落點與目標的偏差 就受 因素所產(chǎn)生總影響 著許多隨機因素的影響 2020 1 29 2 空氣阻力所產(chǎn)生的誤差 對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響 如瞄準時的誤差 炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等 2020 1 29 3 觀察表明 如果一個量是由大量相互獨 自從高斯指出測量誤差服從正 態(tài)分布之后 人們發(fā)現(xiàn) 正態(tài)分布 在自然界中極為常見 立的隨機因素的影響所造成 而每一個別因 素在總影響中所起的作用不大 則這種量一 般都服從或近似服從正態(tài)分布 2020 1 29 4 現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所 當n無限增大時 這個和的極限分布是 在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢 特有的規(guī)律性問題 什么呢 2020 1 29 5 由于無窮個隨機變量之和可能趨于 的分布函數(shù)的極限 故我們不研究n個隨機變量之和本身而考慮 它的標準化的隨機變量 2020 1 29 6 的分布函數(shù)的極限 可以證明 滿足一定的條件 上述極 考慮 中心極限定理 這就是下面要介 紹的 限分布是標準正態(tài)分布 2020 1 29 7 在概率論中 習慣于把和的分布 我們只討論幾種簡單情形 下面給出的獨立同分布隨機變量序列 收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心 極限定理 的中心極限定理 也稱列維一林德伯格 Levy Lindberg 定理 2020 1 29 8 定理4 5 獨立同分布的中心極限定理 設(shè)隨機變量序列 獨立同分布 且具有數(shù)學期望和方差 則隨機變量 的分布函數(shù)Fn x 對于任意x 有 2020 1 29 9 它表明 當n充分大時 n個具有期望和方差 雖然在一般情況下 我們很難求出和 的獨立同分布的r v之和近似服從正態(tài)分布 的分布的確切形式 但當n 很大時 可以求出近似分布 2020 1 29 10 中心極限定理的意義 在第二章曾講過有許多隨機現(xiàn)象服從 正態(tài)分布是由于許多彼次沒有什么相依關(guān) 系 對隨機現(xiàn)象誰也不能起突出影響 而 均勻地起到微小作用的隨機因素共同作用 即這些因素的疊加 的結(jié)果 2020 1 29 11 則它可被看成為許多相互獨立的起微小作 或近似服從正態(tài)分布 若聯(lián)系于此隨機現(xiàn)象的隨機變量為 而這個總和服從 2020 1 29 12 高爾頓釘板試驗 O 記 則 近似 共15層小釘 高爾頓 FrancisGalton 1822 1911 英國人類學家和氣象學家 2020 1 29 13 中心極限定理的應用 例1炮火轟擊敵方防御工事100次 每次 轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布 其數(shù)學期 望為2 均方差為1 5 若各次轟擊命中的炮 彈數(shù)是相互獨立的 求100次轟擊 1 至少命中180發(fā)炮彈的概率 2 命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率 2020 1 29 14 解設(shè) i表示第i次轟擊命中的炮彈數(shù) 相互獨立 設(shè) 表示100次轟擊命中的炮彈數(shù) 則 由獨立同分布中心極限定理 有 2020 1 29 15 1 2 2020 1 29 16 例2售報員在報攤上賣報 已知每個過路 解令 i為售出了第i 1份報紙后到售 幾何分布 人在報攤上買報的概率為1 3 令 是出售了 100份報時過路人的數(shù)目 求 P 280 320 出第i份報紙時的過路人數(shù) i 1 2 100 2020 1 29 17 相互獨立 由獨立同分布中心極限定理 有 2020 1 29 18 例3檢驗員逐個檢查某產(chǎn)品 每查一個需 用10秒鐘 但有的產(chǎn)品需重復檢查一次 再 用去10秒鐘 若產(chǎn)品需重復檢查的概率為0 5 求檢驗員在8小時內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個 的概率 若在8小時內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900 個 即檢查1900個產(chǎn)品所用的時間小于8小 時 解 2020 1 29 19 設(shè) 為檢查1900個產(chǎn)品所用的時間 秒 設(shè) k為檢查第k個產(chǎn)品所用的時間 單位 秒 k 1 2 1900 0 50 5 2020 1 29 20 相互獨立同分布 2020 1 29 21 2020 1 29 22 定理4 6 德莫佛 拉普拉斯定理 設(shè)隨機變量 服從參數(shù)為n 的 則對于任意x 有 二項分布 2020 1 29 23 N np np 1 p 即 定理表明 當n很大 0 p 1是一個定值時 或者說 np 1 p 也不太小時 二項變量 的分布近似正態(tài)分布 近似 2020 1 29 24 下面我們舉例說明中心極限定理的應用 從演示不難看到中心極限定理的客觀背景 2020 1 29 25 例4根據(jù)以往經(jīng)驗 某種電器元件的壽命服 服從均值為100小時的指數(shù)分布 現(xiàn)隨機地取16 只 設(shè)它們的壽命是相互獨立的 求這16只元件 的壽命的總和大于1920小時的概率 由題設(shè)條件知 諸 i獨立 16只元件的壽命的總和為 解 設(shè)第i只元件的壽命為 i i 1 2 16 E i 100 D i 10000 依題意 所求為P 1920 2020 1 29 26 由于E 1600 D 160000 由中心極限定理 P 1920 1 P 1920 1 0 8 1 1 0 7881 0 2119 16只元件的壽命的總和為 依題意 所求為P 1920 近似 2020 1 29 27 例5某車間有200臺車床 每臺獨立工作 開工率為0 6 解設(shè)至少要供給這個車間a千 瓦的電力 為開工的車床數(shù) 則 B 200 0 6 N 120 48 近似 由德莫佛 拉普拉斯中心極限定理 有 開工時每臺耗電量為r千瓦 問供電所至少要供給這個車 供電不足而影響生產(chǎn) 間多少電力 才能以99 9 的概率保證這個車間不會因 2020 1 29 28 問題轉(zhuǎn)化為求a 使 反查標準正態(tài)函數(shù)分布表 得 2020 1 29 29 令 解得 千瓦 2020 1 29 30 例6設(shè)有一批種子 其中良種占1 6 試估計在任選的 解設(shè) 表示6000粒種子中的良種數(shù) B 6000 1 6 近似 由德莫佛 拉普拉斯中心極限定理 則 有 6000粒種子中 良種比例與1 6比較上下不超過1 的概 率 2020 1 29 31 2020 1 29 32 比較幾個近似計算的結(jié)果 中心極限定理 二項分布 精確結(jié)果 Poisson分布 Chebyshev不等式 2020 1 29 33 定理7 李雅普諾夫定理 設(shè)隨機變量 相互獨立 它們具有數(shù)學期望和方差 2020 1 29 34 則隨機變量 的分布函數(shù)Fn x 對于任意的x滿足 2020 1 29 35 例7某保險公司有10000個同齡又同階層的人 參加人壽保險 已知該類人在一年內(nèi)死亡的概率 為0 006 每個參加保險的人在年初付12元保險 費 而在死亡時家屬可向公司領(lǐng)得1000元 問在 此項業(yè)務活動中 1 保險公司虧本的概率是多少 2 保險公司獲得利潤不少于40000元的概率是 多少 2020 1 29 36 解 設(shè)這10000人中一年內(nèi)死亡的人數(shù)為 則 B 10000 0 006 保險公司一年收取 10000 12 120000 元 保險費 故僅當每年死亡人數(shù)超過120人時公司才 會虧本 當每年死亡人數(shù)不超過80人時公司獲利 不少于40000元 由此可知 所求的概率分別為 及 由中心極限定理 有 2020 1 29 37 2020 1 29 38 例8設(shè)每次試驗中 事件A發(fā)生的概率為0 75 試用中 解設(shè) 表示n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次 B n 0 75 心極限定理估計 n多大時 才能在n次獨立重復試驗中 事件A出現(xiàn)的頻率在0 74 0 76之間的概率大于0 90 數(shù) 則 問題 2020 1 29 39 由德莫佛 拉普拉斯定理