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剖析解題過程 展示思維發(fā)展一道中考題的多解、剖析及反思 羅銀求 （深圳市光明新區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 518106） 今年6月，筆者有幸參加了深圳市2011年的中考數(shù)學(xué)閱卷工作，批閱了第20題的兩千多份試卷。學(xué)生答題方式多樣，解題思維靈活、敏捷，讓人為之興奮、鼓舞。現(xiàn)將試卷中呈現(xiàn)的各種解法（包括典型錯誤解法）及思維過程進(jìn)行歸納、總結(jié)，以供大家參考、學(xué)習(xí)。一試題呈現(xiàn)如圖1，在O中，點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，連接AC并延長至D，使CA=CD，連接DB并延長交O于點(diǎn)E，連接AE.（1）求證：AE是O的直徑；（2）如圖2，連接CE，O的半徑為5，AC長為4，求陰影部分面積之和.(保留與根號)（解法略）二解題過程及剖析（1）典型錯誤方法 解：如圖，連接CE 點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn) 1=2在ECD和ECA中 ECDECA（SSA）ECD=ECA=90 AE是O的直徑【剖析】考生受條件“點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，CA=CD”的遷移，連接CE，通過證明ECD=90，從而證明AE是O的直徑。很明顯，要證ECA=90，即證，ECDECA。而在證明三角形全等、尋找全等條件過程中，思維直觀、不深入，僅能找到條件1=2，CA=CD，而無法找到其他條件。只有運(yùn)用所謂的“SSA”定理，可能心里明知道是錯誤，也只好硬著頭皮騙自己了，真有點(diǎn)“為賦新詞強(qiáng)說愁”的感覺。這是一種典型的錯誤做法。徐利治教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)上的新思維和新方法往往發(fā)源于發(fā)散思維，按照現(xiàn)行心理學(xué)家的見解，數(shù)學(xué)家創(chuàng)造能力的大小應(yīng)和他的發(fā)散思維能力成正比。而在此題求證中，由于受條件的負(fù)遷移影響，思維方式單一、定勢，不會擴(kuò)散，不善于創(chuàng)新，陷入了“走入死胡同”的絕境。全市約有20的同學(xué)采用了這種做法。（2）幾種常見的正確方法 方法1 解：如圖，連接CE、BC 點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)1=2， AC=BC又CA=CDBC=CDCBD=D又CBD=AA=D在ECA和ECD中 ECAECD（AAS）ECA=ECD=90 AE是O的直徑方法2 解：如圖，連接CE 點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)1=2，(角平分線定理)CA=CDAE=DE在ECA和ECD中 ECAECD（SSS）ECA=ECD=90 AE是O的直徑【剖析】在方法1中，仍然是通過證明ECDECA，ECD=ECA=90來達(dá)到目的。但、此時學(xué)生已經(jīng)突破了無法找到全等條件的瓶頸，充分利用已知條件，進(jìn)行了深層思維，利用CBD=A（圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于不相鄰的內(nèi)對角），CB=CD推出CBD=D，歷經(jīng)艱難，從而導(dǎo)出A=D。在方法2中，仍沿襲突破方法1的思維方向，通過證明ECDECA來達(dá)到證明目的。而在尋找全等的條件中，有了全新的突破：利用角平分線定理，找到AE=DE，從而利用SSS定理證明（也可以利用解題）。而角平分線定理在目前是超綱知識點(diǎn)，是基礎(chǔ)較好、學(xué)有余力的考生才能找到的。這些學(xué)生能充分挖掘已知條件，利用角平分線定理，體現(xiàn)了思維的敏捷性?？v觀方法1、方法2的思維過程，可以看出對于同一題所呈現(xiàn)的知識背景，學(xué)生在內(nèi)化知識中，所占的重要程度不同，方法1的同學(xué)運(yùn)用了“圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于不相鄰的內(nèi)對角”，而方法2的同學(xué)卻敏銳觀察到了“利用角平分線定理”。兩種方法充分反映了思維的差異性、靈活性。不過比較兩種解題過程，思維層次仍是同一層次，比較直觀、常態(tài)、封閉、單一。方法3 解：如圖，連接AB、BC， 點(diǎn)C是劣弧AB上的中點(diǎn) CACB 又CDCA CBCDCA 在ABD中，CB=AD ABD90 ABE90 AE是O的直徑方法4 解：作CFAB交于點(diǎn)F。 點(diǎn)C是劣弧AB上的中點(diǎn) ，CFAB AF=BF AC=CD，AF=BF CF是ABD的中位線 FCBD CFAB ABBD ABE90 AE是O的直徑方法5 解： 連接OC交AB于F點(diǎn) 點(diǎn)C是劣弧AB上的中點(diǎn) ABOC，AF=BF AC=CD，AF=BF，F(xiàn)AC=FAC AFCBAD ABD=AFC=90 AE是O的直徑【剖析】在方法3中，考生利用AC=BC=CD，得到ABD90，從而證明出AE是O的直徑。解題思維迥異于前面幾種方式，輔助線是連接AB、BC，不再受條件影響，連接EC，思維方式更深層次，思維靈活、簡潔。本題的參考答案也正是這種方法。在方法4中，考生利用垂徑定理、中位線定理。充分利用條件“C是劣弧AB的中點(diǎn)”，“咬定靑山不放松”，深度思維，聯(lián)想到垂徑定理從而解題。思維新穎、方法靈活。方法5同方法4的解題過程差不多都是重點(diǎn)利用垂徑定理。其實(shí)在方法5中，利用“AFCBAD”和方法4利用“中位線定理”都是一脈相承、大同小異，所不同的是連接OC，直接連接圓心。 通過方法3、4、5與方法1、2的比較，不難看出，后三種方法運(yùn)用了九年級所學(xué)的垂徑定理、矩形的推論（九年級上學(xué)期的第97頁），思維迅速轉(zhuǎn)換，不再受方法1、2思維影響，克服思維定勢的消極作用，化生為熟，彰顯了思維的靈活性。同時，我們也可以看到，方法3通過證“CBCDCA”而達(dá)到問題解決；而方法4、5是通過運(yùn)用“垂徑定理”得證?？忌茉趶?fù)雜、繁多的已知條件中，獨(dú)立思考，分析能從與眾不同的角度觀察問題，產(chǎn)生不同的解題結(jié)果，體現(xiàn)了思維的深刻性與獨(dú)創(chuàng)性。（3）值得商酌的方法 解：如圖，連接CE 點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)1=2AC=CDECD=ECA=90 AE是O的直徑【剖析】這種解法，怕是除考生自己以外，出題老師自己都沒有想到的一種解題方式：角平分線+中線垂直。這種解法所運(yùn)用的知識原理，在課本沒有作為知識點(diǎn)專門列出，從知識層面來說是有待證明、超綱的，但也是正確的。其證明方法如下： 證明：如圖，延長AD至E使得AD=DE ,連接CE AD=DE，ADB=CDE，BD=CDABDECD（SAS）1=3 又 1=23=2 ACE是等腰三角形。又 AD=DE，CDAD(三線合一)實(shí)際上，在一個三角形中，若具備上述三個條件中的任何兩個，則第三個條件一定成立，（其他兩種情況證明較簡單略）。這些結(jié)論很類似于等腰三角形的“三線合一”。但又有別于“三線合一”?！叭€合一”的前提條件是等腰三角形。正是如此，以至在改卷過程中，究竟怎樣給分，引起一定的爭執(zhí)。最后綜合評定還是其正確、合理。當(dāng)然有一部分學(xué)生是隨心所欲，靠運(yùn)氣得分了。筆者在評卷中，總有一種心情：給分，很難受、覺得不公平、不舒服;扣分，又確定是正確的，左右為難。如此解題，究竟正確、合理與否？老師們可以討論、商酌。三幾點(diǎn)反思：1、適當(dāng)深化、拓展知識點(diǎn)?？v觀考生的解題，在解答中，拓展運(yùn)用了角平分線定理、中位線定理、垂徑定理等超綱知識點(diǎn)。全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：義務(wù)階段的數(shù)學(xué)課程應(yīng)突出體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，使數(shù)學(xué)教育面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)；人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必須的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。正是為了滿足不同學(xué)生的需求，適當(dāng)拓展知識，滿足有特殊數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生的需求，提高解題能力，更好的發(fā)展其思維能力，從而達(dá)到不同的人在數(shù)學(xué)上的不同發(fā)展。多一個方法，多一條路;多一種思維，多一座橋。在九年級教學(xué)及復(fù)習(xí)備考中適當(dāng)深化、拓展數(shù)學(xué)知識點(diǎn)很有必要。2、注重變式訓(xùn)練、一題多解的練習(xí)。本題的解題方法有六，七中之多，而均分只有3.47分，得分率44%（本題8分），是整張?jiān)嚲碇械梅致瘦^低試題之一（僅次于最后一題）。本題的解題方法多，得分率卻低，可見變式訓(xùn)練、一題多解練習(xí)至關(guān)重要。變式練習(xí)中的一題多解訓(xùn)練，就是啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運(yùn)算過程去分析、解答同一道數(shù)學(xué)題的師生活動。其目的，不僅僅是激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動學(xué)生的思維的積極性；而且更大限度的開闊了學(xué)生的思路，培養(yǎng)和發(fā)揮了學(xué)生的創(chuàng)造性，提高他們綜合運(yùn)用已學(xué)知識解答數(shù)學(xué)問題的技巧和技能。實(shí)驗(yàn)表明，通過對多層次的變式構(gòu)造，使學(xué)生對問題解決過程及問題本身的結(jié)構(gòu)有了一個更清晰的認(rèn)識，是學(xué)生活動的積極體驗(yàn)，是提高問題解決能力的一條有效途徑。3、注重課本典型例題的研究與挖掘。本試題的原型在九年級下冊第113頁（北師大版）。原題及圖形如下：如圖，AB是O的直徑，BD是O的弦，延長BD到C，使AC=AB。BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？。本題最初考察的是“直徑所對的圓周角是直角”及等腰三角形“三線合一”定理的綜合運(yùn)用。在本題中增加條件：點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)。正是由于條件強(qiáng)化，改變，以圓為背景、基礎(chǔ)，綜合了三角形全等、垂