2013年第四屆啟智杯數(shù)學(xué)思維及應(yīng)用能力競(jìng)賽A試卷及答案.doc

2013年第四屆啟智杯數(shù)學(xué)思維及應(yīng)用能力競(jìng)賽試卷（小學(xué)組）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 說(shuō)明：本卷共12題，每題10分，滿分120分。答題時(shí)間120分鐘。1.在下面的算式中，不同的漢字代表19中不同的數(shù)字，那么，“為了一切學(xué)生”的各字分別代表什么數(shù)字？寫(xiě)出一種答案，說(shuō)明你的分析過(guò)程。 【參考答案】“為了一切學(xué)生”的各字分別代表“372415” 【分析】由個(gè)位數(shù)知道，“切”必為偶數(shù)，最小為2. 若“切”= 2，則“生”= 1 或 6。 （1）若“切”= 2，“生”= 1，則結(jié)合百位，則“了”=3，此時(shí)個(gè)位、百位、萬(wàn)位均不進(jìn)位。再分析十位、千位、十萬(wàn)位，可得“為”=“一”=3，“學(xué)”=1，數(shù)字重復(fù)，不符合題意，舍去。 （2）若“切”= 2，“生”= 6，則結(jié)合百位，則“了”= 8，此時(shí)個(gè)位、百位、萬(wàn)位均進(jìn)位1。再分析十位、千位、十萬(wàn)位，可得“為”=3，“一”=2，“學(xué)”=1，數(shù)字重復(fù)，不符合題意，舍去。 其次若“切”= 4，則“生”= 5，結(jié)合百位，則“了”=7，此時(shí)個(gè)位、百位、萬(wàn)位均進(jìn)位1。再分析十位、千位、十萬(wàn)位，可得“為”= 3，“一”=2，“學(xué)”=1。符合要求。 所以“為了一切學(xué)生”的各字分別代表“372415”，原式： 【評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】答案及分析正確給滿分；只寫(xiě)出正確答案而未加說(shuō)明，給5分；基本思路正確，而答案錯(cuò)誤，給5分；其他情況酌情給分。2. 從1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個(gè)數(shù)字中選出8個(gè)不同的數(shù)字分別填入下面兩個(gè)算式的方框內(nèi)（每個(gè)數(shù)字只許用一次），使它們都成立，簡(jiǎn)述理由。 o+o - o = o； ooo = o 【參考答案】答案不唯一，比如: （1）4+5 - 1 = 8 ， 36 2 = 9 ； （2） 5+7 - 9 =3， 18 4 = 2.等等 【分析】由乘除數(shù)式知道，所選的4個(gè)數(shù)字必須滿足兩個(gè)之積等于另兩個(gè)之積；而在加減算式中，所選的4個(gè)數(shù)字必須滿足兩個(gè)之和等于另兩個(gè)之和。對(duì)于乘除算式，在9個(gè)數(shù)字中，有多種可能性，比如36=29；46=38；18=24；16=23；26=34。典型結(jié)論：若取4、6；3、8，在余下的5個(gè)數(shù)字1、2、5、7、9中，任何4個(gè)數(shù)字都不可以取作加減運(yùn)算。若取3、6；2、9，在余下的5個(gè)數(shù)字1、4、5、7、8中，1、8；4、5以及4，8；7,5都可以取作加減運(yùn)算。表現(xiàn)形式有：（1）4+5 - 1 = 8 ， 36 2 = 9 ； （2） 8+1 - 4 = 5， 36 9 = 2. （3）5+7 - 8 = 4 ， 29 3 = 6 ； （4） 4+8 - 5 =7， 92 6 = 3。 等等?！驹u(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】答案及分析正確給滿分；寫(xiě)出一種正確答案得5分；分析合理得5分；其它情況酌情給分。3. 在如圖所示的33的方格中，不同的漢字代表不同的數(shù)，每行、每列和兩條對(duì)角線上各數(shù)的和相等。則每一行各數(shù)之和是多少？ 【參考答案】2013 【解析】根據(jù)題意：每行，每列和兩條對(duì)角線上的各數(shù)的和相等。1216 + 競(jìng)+ 賽= 888 +競(jìng)+ 999，得到賽= 888 +999 1216 = 671；同理：888 + 賽+ 智= 維+ 1216 + 智，得到維= 888 + 賽1216 = 888 + 671 1216 = 343；于是維+ 賽+ 999 = 343 + 671 +999 = 2013；這說(shuō)明，每行每列之和都是2013.【注】其它各字所代表的數(shù)可以依次算出：思= 782；競(jìng)= 126；啟= 560；智= 454.【評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】得到賽= 671 給4分；進(jìn)一步得到“維”或“智”給4分；最后得到“和數(shù)”再給2分。4. 如下圖，根據(jù)前面2個(gè)圖形中四個(gè)數(shù)的排列規(guī)律，在后面圖形的空缺處填入適當(dāng)?shù)臄?shù)并說(shuō)明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。【參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】規(guī)律：橫著看，第一行第一列的數(shù)是第一行第二列數(shù)的3倍加5；（2分）豎著看，第二行第二列的數(shù)是第一行第二列數(shù)的平方。（4分）第二行第一列的數(shù)是左上右下對(duì)角線上兩數(shù)之和和。（6分）結(jié)果：設(shè)右上角為x，則，。（9分）35 174x x += 2 4 16=17 16 33+= 在方格中正確填出答數(shù) 注：左表是一般關(guān)系（不要求列出）5.請(qǐng)將400分別表示成8個(gè)、10個(gè)、20個(gè)連續(xù)的奇數(shù)之和的形式；400可以寫(xiě)成最多多少個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和？為什么？【參考答案】400 = 43+45+47+49+51+53+55+57.（8個(gè)連續(xù)的奇數(shù)之和）400 = 31+33+35+37+39+41+43+45+47+49.（10個(gè)連續(xù)的奇數(shù)之和）400 = 1+3+5+7+33+35+37+39. （20個(gè)連續(xù)的奇數(shù)之和）400可以寫(xiě)成最多20個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和.因?yàn)槿绻B續(xù)奇數(shù)多于20個(gè)，則這些奇數(shù)的中間數(shù)（平均數(shù)）小于400 21，即小于19，但是小于19的奇數(shù)只有9個(gè)，總數(shù)不會(huì)多于20個(gè)。本問(wèn)題的解答思路可以有多種：比如：將400分別表示成8個(gè)、10個(gè)、20個(gè)連續(xù)的奇數(shù)之和，可以從10個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平均值出發(fā)向兩邊延伸：由于400 10 = 40，所以這10個(gè)連續(xù)奇數(shù)的中間兩個(gè)應(yīng)該是39與41，以此兩邊各延伸4個(gè)，于是得到從31到49的10個(gè)連續(xù)奇數(shù)。驗(yàn)算知31+33+35+37+39+41+43+45+47+49= 400.【評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】三種表示各占2分，共6分(若只正確寫(xiě)出表達(dá)用的幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)，而沒(méi)有用加號(hào)連接，說(shuō)明沒(méi)有理解題目要求，總體扣2分)；第2問(wèn)占4分。6. 下圖由6個(gè)大小相同的正方體組成的幾何體掉在空中，從上下左右前后各個(gè)角度觀察，會(huì)看到不同個(gè)數(shù)的正方形。請(qǐng)將你的觀察結(jié)果填入如下括弧內(nèi)，不必說(shuō)明理由。 從側(cè)面（前后左右）看，共有（ ）個(gè)正方形； 從上面往下看有（ ）個(gè)正方形； 從下面往上看有（ ）個(gè)正方形?！緟⒖即鸢浮糠謩e有16、5、5個(gè)正方形?！驹u(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】三個(gè)空分別占6、2、2分。7. 請(qǐng)對(duì)下列空間幾何體進(jìn)行分類，并指出兩種分類標(biāo)準(zhǔn)（即分類依據(jù)）和分類結(jié)果，填入如下的橫線上。分類依據(jù)一是_ _ 分類結(jié)果一是：共分_類； 每一類分別是（把同一類標(biāo)號(hào)填在一起）_ _分類依據(jù)二是_ 分類結(jié)果二是：共分_類； 每一類分別是（把同一類標(biāo)號(hào)填在一起）_【參考答案】：（以下三種答案寫(xiě)出兩種即可。其它答案如果合理，比照該評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分） 分類依據(jù)一:一類是圍成的幾何體每一個(gè)面均為多邊形(多面體) ； 另一類圍成的面有圓弧面（旋轉(zhuǎn)體） 分類結(jié)果一：共分_2_類；一類是_1,3,4,5,7,9,10 ；另一類是_2,6,8,11_。 分類依據(jù)二: 一類是有兩個(gè)面為平行平面（柱體與臺(tái)體）；另一類是有一個(gè)尖端（椎體）；第三類表面沒(méi)有平面圖形（球） 分類結(jié)果二：共分_3_類；一類是_1,2,4,5,6,7,10_；另一類是_3,8,9_;第三類_11_ 分類依據(jù)三：按是否為柱體、椎體、臺(tái)體 、球分類。 分類結(jié)果三：共分_4_類；第一類是1,5,6,7； 第二類是3,8,9； 第三類是2,4,10 ；第四類11 【評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】正確寫(xiě)出一種分類依據(jù)及結(jié)果得5分，其中依據(jù)占2分，結(jié)果占3分。寫(xiě)出兩種給滿分。8給定一條長(zhǎng)度為2013米的硬塑料管，請(qǐng)你按下列要求把它裁斷（三個(gè)要求同時(shí)滿足）： （1）每段長(zhǎng)都是整數(shù)米； （2）任意三段為邊長(zhǎng)都不能 構(gòu)成三角形； （3）最長(zhǎng)的一段盡可能的長(zhǎng)。 請(qǐng)問(wèn)：最多可以裁成多少段？說(shuō)出你的裁截思路與結(jié)果?！緟⒖即鸢浮繎?yīng)該裁成長(zhǎng)度分別為1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、1027的15段，其中前14段構(gòu)成“斐波那契數(shù)列”。 思路是：由于任何三段為邊長(zhǎng)都不能構(gòu)成三角形，即任何三段中，必有兩段之和小于或等于第三段，要使最長(zhǎng)一段盡可能長(zhǎng)，又要求分出盡可能多的段數(shù)，所以最小長(zhǎng)度應(yīng)該盡可能的小，最小為1，第二段仍然為1，第三段不能繼續(xù)為1，否則前三段可以構(gòu)成一個(gè)三角形，而且第三段也不超過(guò)前兩段之和，故取等于前兩段之和為最好，即為2；同樣的理由，以后每一段都取前兩段之和。如此取得1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377；此時(shí)已經(jīng)截取的總長(zhǎng)度為986，若下一段繼續(xù)取前兩段之和610，則最后剩下2013-610 - 986 = 417，這一段與233、377便構(gòu)成一個(gè)三角形。為使得任何三段都不構(gòu)成三角形，截取總長(zhǎng)度為986之和后剩余的部分不能再分割。故最后一段取2013-986 =1027. 【評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】完全正確得10分；寫(xiě)出1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377得8分；思路正確、計(jì)算錯(cuò)誤酌情給6-8分。9. 如圖，在斜邊長(zhǎng)為20cm的直角三角形ABC中去掉一個(gè)正方形EDFB，留下兩個(gè)陰影部分直角三角形AED和DFC。若AD = 8cm，CD = 12cm，則陰影部分面積為多少？給出答案并說(shuō)明你的計(jì)算依據(jù)。 【參考答案】面積為48 cm2.將三角形ADE拼補(bǔ)到正方形DEBF內(nèi)，使DE與DF重合（或?qū)⑷切蜛DE 繞頂點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，E點(diǎn)和F點(diǎn)重合），陰影部分合并為一個(gè)直角三角形CDG，其底為DG = DA，高為CD，面積為ADCD 2 = 812 2 = 48. 【評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】給出正確答案得5 分；說(shuō)明理由得5 分10. 某小學(xué)六年級(jí)一、二班老師A、B、C、D、E、F、G、H共8人依次圍著一張圓桌吃飯，其中有數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)老師各2人，自然、社會(huì)老師各1人；有班主任2人，分別是語(yǔ)文和數(shù)學(xué)老師。為了便于交流，他們同一個(gè)學(xué)科的兩人坐鄰座，兩位班主人也坐鄰座，但自然老師與社會(huì)老師不鄰座。已知C的左側(cè)的老師與C在同一學(xué)科；C的對(duì)面老師教語(yǔ)文。請(qǐng)問(wèn)哪兩位是班主任？【參考答案】H和G是班主任?！痉治觥坑捎贑的左側(cè)老師與C在同一學(xué)科，而C的對(duì)面老師教語(yǔ)文，根據(jù)座位安排規(guī)則及教師在各學(xué)科的分布情況，說(shuō)明C只能是英語(yǔ)老師。其次，C的對(duì)面是G，G是語(yǔ)文老師，那么F或H是語(yǔ)文老師；若G、H是語(yǔ)文老師，則A、B是數(shù)學(xué)老師或E、F是數(shù)學(xué)老師，相應(yīng)的A、B或E、F分別是自然、社會(huì)老師，但由于自然、社會(huì)老師不鄰座，這種情況不可能。因此，G、F是語(yǔ)文老師，而且必然有H、A是數(shù)學(xué)老師，G和H是班主任?！驹u(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】說(shuō)明C只能是英語(yǔ)老師得4分；說(shuō)明F是語(yǔ)文老師得4分；說(shuō)明G和H是班主任得2分。僅給出正確答案得5分11.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)游戲：地面上擺放著若干顆石子，甲乙兩人輪流從中提取石子，每人每輪最少提取2顆，最多提取5顆，取到最后一顆石子者為勝。請(qǐng)?jiān)O(shè)定這堆石子的顆數(shù)（至少50顆），使先手有必勝的策略，并說(shuō)明你的策略。【參考答案】答案不唯一。設(shè)定的石子數(shù)為7的倍數(shù)+ 2或3或4或5顆，比如75顆，先手取5顆，留下7的倍數(shù)顆，然后，后手取2或3或4或5顆，先手就取5或4或3或2顆，保證每輪下來(lái)雙方合計(jì)取7顆，先手取后始終留下7的倍數(shù)顆，最后一顆必被先手取到，先手必勝?！驹u(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】選對(duì)數(shù)目給3分；寫(xiě)出策略給7分12. 某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)1000套夏季套裝，分三個(gè)階段銷售。（1）第一階段：新貨上架，以每套1000元價(jià)格出售；（2）第二階段：旺季熱賣促銷，買2套打8折（即每件800元），買3套打6.5折；（3）第三階段：過(guò)季大甩賣，全場(chǎng)3折。各階段銷售情況如下表。已知在第二階段商場(chǎng)促銷