高三第一輪復(fù)習(xí)——雙曲線.doc

雙曲線一、教學(xué)目的1理解雙曲線的定義，掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2理解雙曲線的有關(guān)幾何性質(zhì)；3靈活運(yùn)用雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題二、知識(shí)點(diǎn)梳理1雙曲線的定義 （1）雙曲線的第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，即這兩個(gè)定點(diǎn)叫做的雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫雙曲線的焦距當(dāng)時(shí)，軌跡是雙曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡是兩條射線；當(dāng)時(shí)，軌跡不存在 （2）雙曲線第二定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線定點(diǎn)叫雙曲線焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)叫雙曲線離心率2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍頂點(diǎn)，對(duì)稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱離心率準(zhǔn)線漸近線3共軛雙曲線 雙曲線的共軛雙曲線為4雙曲線的焦半徑（ 分別是雙曲線的左（下），右（上）焦點(diǎn)） 焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的焦半徑公式： 焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的焦半徑公式5雙曲線的通徑長(zhǎng)：； 焦點(diǎn)三角形的面積：三、講練結(jié)合題型一 雙曲線的定義【例1】設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)若，則（ ） A或 B6 C7 D9【例2】點(diǎn)在雙曲線的右支上，若點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離等于，則 【同步練習(xí)】1設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若 ，則的面積為（ ） A B12 C D242直線與雙曲線的左右支分別交于點(diǎn)，與雙曲線 的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若又，則實(shí)數(shù) 的值為（ ） A B2 C D3題型二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例3】已知雙曲線與雙曲線=1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（3，2）求雙曲線的方程【例4】已知雙曲線的漸近線方程是，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且焦距是10，求此雙曲線的方程【同步練習(xí)】3已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋 物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（ ）A B C D4已知點(diǎn)是雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，是左、右兩個(gè)焦 點(diǎn)，若，則雙曲線方程為（ ） A B C D5已知圓以圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條 件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_6以拋物線的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且兩條漸近線是的雙曲線方程為_7已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為 （1）求雙曲線C的方程； （2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求m的值題型三 雙曲線的幾何性質(zhì)【例5】設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ） A B5 C D【例6】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ） A B C D【例7】已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為_【同步練習(xí)】8已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_9已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，雙曲線的左準(zhǔn)線與該雙曲線的兩 漸近線的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率e是（ ） A B2 C或2 D不存在10已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A（1，） B（1，2） C（1，1） D（2，1）題型四 直線與雙曲線的位置關(guān)系【例8】過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若 則這樣的直線有（ ） A4條 B3條 C2條 D1條【例9】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和且（其中為原點(diǎn)），求的取值范圍【同步練習(xí)】11過(guò)原點(diǎn)與雙曲線 交于兩點(diǎn)的直線斜率的取值范圍是_12已知雙曲線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則直線y=kx+2與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是（ ） AB CD 13已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F ，一條漸近線m：， 設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線 的方向向量 （1）求雙曲線C的方程； （2）若過(guò)原點(diǎn)的直線，且與的距離為，求k的值； （3）證明：當(dāng)時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線的距離為四、課后練習(xí)（一）選擇題1以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（ ） A B C D2過(guò)點(diǎn)（2，2）且與雙曲線y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是（ ） A=1 B=1 C=1 D=13若雙曲線上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是到左焦點(diǎn)距離的，則等于（ ） A B C D4若雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則雙曲線的離 心率為（ ） A B C D5設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A（，2） B（，） C（2，5） D（2，）6曲線與曲線的（ ） A焦距相等 B焦點(diǎn)相同 C離心率相等 D以上都不對(duì)7過(guò)點(diǎn)P（3，4）與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的條數(shù)為（ ）A4 B3 C2 D18已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn) 和，若是的等比中項(xiàng)，是與的等差中項(xiàng)，則橢圓 的離心率是（ ） A B C D（二）填空題9已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲 線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ； 漸近線方程為 10過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線相交于 兩點(diǎn)，以為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率 為 11已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，且焦距與虛軸長(zhǎng)之比為，則 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 12在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，則 到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是 13已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，則 最小值為 （三）解答題14已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn) （1）求雙曲線的漸近線方程； （2）直線過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸，若直線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為，求雙曲線的方程15已知直線與雙曲線交于、點(diǎn) （1）求的取值范圍； （2）若以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值； （3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由參考答案三、講練結(jié)合題型一 雙曲線的定義【例1】C 解析：雙曲線漸近線方程為y=，由已知漸近線為， ， ，故選C【例2】2 解析：由方程，得 該雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線為 到右準(zhǔn)線的距離為 由雙曲線的第二定義，得，解得題型二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例3】解法一：設(shè)雙曲線方程為=1由題意易求c=2 又雙曲線過(guò)點(diǎn)（3，2），=1 又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8 故所求雙曲線的方程為=1 解法二：設(shè)雙曲線方程為1， 將點(diǎn)（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為1【例4】解：設(shè)雙曲線方程為， 當(dāng)時(shí)，化為， 當(dāng)時(shí)，化為， 綜上，雙曲線方程為或題型三 雙曲線的幾何性質(zhì)【例5】D 解析：雙曲線的一條漸近線為，由方程組，消去y， 得 因?yàn)樵摲匠逃形ㄒ唤?，所? 所以，故選D【例6】A 解析：設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，過(guò)分 別作于， 于， ，由直線AB的斜率為，知直線AB的傾斜角為 由雙曲線的第二定義有 又故選A【例7】 解法一：由定義，知， 又已知，解得， 在中，由余弦定理，得 要求的最大值，即求的最小值，當(dāng)時(shí)，解得 即的最大值為 解法二：， 雙曲線上存在一點(diǎn)P使，等價(jià)于 解法三：設(shè)，由焦半徑公式得 ， 的最大值為題型四 直線與雙曲線的位置關(guān)系【例8】B 解析：因?yàn)殡p曲線方程為x2=1，過(guò)右焦點(diǎn)垂直于x軸的弦長(zhǎng)，即通徑為=4 又實(shí)軸長(zhǎng)為2a=24，由對(duì)稱性可知，過(guò)右焦點(diǎn)長(zhǎng)度為4的弦與左右兩支各有一 個(gè)交點(diǎn)的弦有兩條，與右支有兩個(gè)交點(diǎn)的弦只有1條，故共有3條長(zhǎng)度為4的 弦故選B【例9】解：（1）設(shè)雙曲線方程為 由已知得，再由，得 故雙曲線的方程為 （2）將代入得 由直線與雙曲線交與不同的兩點(diǎn)得 即且 設(shè)，則 由得 而 于是，即解此不等式得 由+，得 故的取值范圍為同步練習(xí)答案題型一 雙曲線的定義1B 解析： 又 由、解得 直角三角形， 故選B2A 解析：記M、N在右準(zhǔn)線的射影分別為M1、N1， 由|FM|=2|FN|及第二定義，知|MM1|=2|NN1| 又MM1PNN1P，所以|MP|=2|NP|，從而=故選A題型二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程3B 解析：依題意知，所以雙曲線的方程為故選 B4C 解析：不妨設(shè)，于是有 于是排除A，B又由D中雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)不在其上， 排除D故選C5 6 解析：拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程為， ，雙曲線方程為7解：（1）由題意，得，解得 ，所求雙曲線的方程為 （2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段AB的中點(diǎn)為 由得（判別式）， 點(diǎn)在圓上，題型三 雙曲線的幾何性質(zhì)8或 解析：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，或9B 解析：設(shè)雙曲線的左準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)D，則，10B解析：由ABx軸，所以ABE為等腰三角形又ABE是銳角三角形，所以AEB為銳角，即AEF45于是|AF|EF|，ac，于是c2a2a2ac，即e2e20，解得1e2 又雙曲線的離心率e1，從而1e2題型四 直線與雙曲線的位置關(guān)系1112A 解析：易得準(zhǔn)線方程是 所以，即，所以方程是聯(lián)立可得由可解得A13解：（1）設(shè)雙曲線的方程為 ，解得，雙曲線的方程為 （2）直線，直線 由題意，得，解得 （3）證明：設(shè)過(guò)原點(diǎn)且平行于的直線如圖 則直線與的距離當(dāng)時(shí)，2又雙曲線的漸近線為，雙曲線的右支在直線的右下方雙曲線右支上的任意點(diǎn)到直線的距離大于故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為四、課后練習(xí)1A 2A 3C 4C 5B 6A 7C 8D9 102 11 124 1314解：（