三次函數(shù)與四次函數(shù).doc

2.13三次函數(shù)與四次函數(shù)一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 三次函數(shù)已經(jīng)成為中學(xué)階段一個重要的函數(shù)，在高考和一些重大考試中頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的單獨命題。近年高考中，在江蘇卷、浙江卷、天津卷、重慶卷、湖北卷中都出現(xiàn)了這個函數(shù)的單獨命題，不僅僅如此，通過深化對三次函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以解決四次函數(shù)問題。近年高考有多個省份出現(xiàn)了四次函數(shù)高考題，更應(yīng)該引起我們的重視。單調(diào)性和對稱性最能反映這個函數(shù)的特性。下面我們就來探討一下它的單調(diào)性、對稱性以及圖象變化規(guī)律。二、知識要點：第一部分：三次函數(shù)的圖象特征、以及與x軸的交點個數(shù)（根的個數(shù)）、極值情況三 次 函 數(shù) 圖 象說 明a對圖象的影響可以根據(jù)極限的思想去分析當(dāng)a0時，在+右向上 伸展，-左向下伸展。當(dāng)a0時，在+右向下伸展，-左向上伸展。與x軸有三個交點若,且，既兩個極值異號；圖象與x軸有三個交點與x軸有二個交點 若,且，既有一個極值為0，圖象與x軸有兩個交點與x軸有一個交點1。存在極值時即,且，既兩個極值同號，圖象與x軸有一個交點。2。不存在極值，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時圖象也與x軸有一個交點。1.根的個數(shù)三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，二次函數(shù)的判別式化簡為：=_，(1) 若_，則恰有一個實根；(2) 若,且_，則恰有一個實根；(3) 若,且_，則有兩個不相等的實根；(4) 若,且_，則有三個不相等的實根.說明(1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線與X軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號），所以（或，且）.(3)有兩個相異實根的充要條件是曲線與X軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以，且.(4)有三個不相等的實根的充要條件是曲線與X軸有三個公共點，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.所以且. 2.極值情況：三次函數(shù)（a0）,導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，二次函數(shù)的判別式化簡為：=，(1) 若_，則在上為增函數(shù)；(2) 若_，則在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，其中.三次函數(shù),(1) 若，則在R上無極值；(2) 若，則在R上有兩個極值；且在處取得極大值，在處取得極小值.由此三次函數(shù)的極值要么一個也沒有，要么有兩個。三、課前檢測：1.（09安徽理）設(shè)b,函數(shù)的圖像可能是 （ 2（09江西文）若存在過點的直線與曲線和都相切，則= .3（09重慶文）把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后得到圖像若對任意的，曲線與至多只有一個交點，則的最小值為 .4（09江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系中，點P在曲線上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標(biāo)為 .5.（09福建卷理）若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)取值范圍是_.四典型例題;例1.討論關(guān)于x的方程根的個數(shù).例2：設(shè)為實數(shù)，函數(shù)（）求的極值；（）當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時，曲線與軸僅有一個交點例3. 已知是函數(shù)的一個極值點。求； 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若直線與函數(shù)的圖象有3個交點，求的取值范圍。第二部分：在四次函數(shù)中的應(yīng)用由于四次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為三次函數(shù)，所以四次函數(shù)的問題往往轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)問題例4： 已知函數(shù)有三個極值點。（I）證明：；（II）若存在實數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍?？偨Y(jié)：四次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是三次函數(shù)，有三個極值點說明三次函數(shù)有三個相異的實數(shù)根?？梢詺w結(jié)為三次函數(shù)圖象與x軸有三個交點問題，可以利用第一部分很好的解決例5：已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖像與直線恰有兩個交點，求的取值范圍只要我們掌握了三次函數(shù)的這些性質(zhì)，在高考中無論是主觀題還是客觀題，都能找到明確的解題思路，解題過程也簡明扼要。四次函數(shù)問題,應(yīng)該先求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)問題，一般通過極值等手段解決，這些對大家來講都是很容易的。五當(dāng)堂檢測1（09北京文）（本小題共14分）設(shè)函數(shù).（）若曲線在點處與直線相切，求的值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點.2（09江西文）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù) （1）對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個實根，求的取值范圍3.（09全國理）本小題滿分12分。（注意：在試題卷上作答無效）設(shè)函數(shù)在兩個極值點，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點的區(qū)域；(II)證明：4.(09浙江理）（本題滿分14分）已知函數(shù)，