高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 第2課時(shí) 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題課件 新人教A版必修5.ppt

3 3 2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 線性規(guī)劃中的基本概念 練一練若變量x y滿足約束條件則z 2x y的最大值和最小值分別為 a 4和3b 4和2c 3和2d 2和0 解析 畫(huà)出可行域如圖陰影部分所示 畫(huà)出直線2x y 0 并在可行域內(nèi)移動(dòng) 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1 0 時(shí) z取最小值 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2 0 時(shí) z取最大值 故zmax 2 2 0 4 zmin 2 1 0 2 答案 b 名師點(diǎn)撥線性目標(biāo)函數(shù)z ax by c a b不全為0 中 當(dāng)b 0時(shí) 這樣線性目標(biāo)函數(shù)可看成斜率為 在y軸上的截距為且隨z變化的一組平行線 則把求z的最大值和最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與可行域有公共點(diǎn)時(shí) 直線在y軸上的截距的最大值和最小值的問(wèn)題 因此 只需先作出直線y x 再平行移動(dòng)這條直線 最先通過(guò)或最后通過(guò)的可行域的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解 應(yīng)特別注意 當(dāng)b 0時(shí) z的值隨著直線在y軸上的截距的增大而增大 當(dāng)b 0時(shí) z的值隨著直線在y軸上的截距的增大而減小 通常情況下 可以利用可行域邊界直線的斜率來(lái)判斷 最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)處取得 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值求線性目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題的步驟 1 作圖 畫(huà)出約束條件 不等式組 所表示的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線l 2 平移 將直線l平行移動(dòng) 以確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置 3 求值 解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解 再代入目標(biāo)函數(shù) 求出目標(biāo)函數(shù)的最值 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例題1已知關(guān)于x y的二元一次不等式組 1 求函數(shù)u 3x y的最大值和最小值 2 求函數(shù)z x 2y的最大值和最小值 思路分析 先作出線性約束條件下的可行域以及目標(biāo)直線 根據(jù)目標(biāo)直線確定最優(yōu)解 并求出最值 探究一 探究二 探究三 探究四 解 1 作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域 如圖 由u 3x y 得y 3x u 得到斜率為3 在y軸上的截距為 u 隨u變化的一組平行線 由圖可知 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)c時(shí) 截距 u最大 即u最小 解方程組得c 2 3 umin 3 2 3 9 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)b時(shí) 截距 u最小 即u最大 解方程組得b 2 1 umax 3 2 1 5 u 3x y的最大值是5 最小值是 9 探究一 探究二 探究三 探究四 2 作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域 如圖 由z x 2y 得 得到斜率為 在y軸上的截距為z 隨z變化的一組平行線 由圖可知 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)a時(shí) 截距z最小 即z最小 解方程組得a 2 3 zmin 2 2 3 8 當(dāng)直線與直線x 2y 4重合時(shí) 截距z最大 即z最大 zmax x 2y 4 z x 2y的最大值是4 最小值是 8 探究一 探究二 探究三 探究四 方法總結(jié)在求目標(biāo)函數(shù)z ax by c的最值時(shí) 先作出直線l ax by 0 再平移直線l 當(dāng)b 0時(shí) 直線l經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn) 并且在y軸上截距最大時(shí) z取最大值 在y軸上截距最小時(shí) z取最小值 當(dāng)b 0時(shí) 正好相反 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓(xùn)練1 設(shè)x y滿足約束條件則z 2x 3y的最小值是 a 7b 6c 5d 3解析 由約束條件得可行域 如圖 當(dāng)直線2x 3y z 0過(guò)點(diǎn)a 3 4 時(shí) zmin 2 3 3 4 6 故選b 答案 b 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題 要充分理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 諸如兩點(diǎn)間的距離 或平方 點(diǎn)到直線的距離 過(guò)已知兩點(diǎn)的直線斜率等 常見(jiàn)代數(shù)式的幾何意義主要有 1 表示點(diǎn) x y 與點(diǎn) a b 的距離 表示點(diǎn) x y 與原點(diǎn) 0 0 的距離 2 表示點(diǎn) x y 與點(diǎn) a b 連線的斜率 表示點(diǎn) x y 與原點(diǎn) 0 0 連線的斜率 這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化 往往是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例題2 1 z x2 y2 10y 25的最小值 思路分析 首先求出可行域 解答本題可先將目標(biāo)函數(shù)變形找到它的幾何意義 再利用解析幾何知識(shí)求解 1 z x2 y2 10y 25表示距離的平方問(wèn)題 2 表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與連線的斜率問(wèn)題 探究一 探究二 探究三 探究四 解 1 z x2 y 5 2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn) x y 到定點(diǎn)m 0 5 的距離的平方 過(guò)點(diǎn)m作直線ac的垂線 易知垂足n在線段ac上 故z的最小值是 mn 2 2 表示可行域內(nèi)任一點(diǎn) x y 與定點(diǎn)q連線的斜率的兩倍 a 1 3 b 3 1 故z的范圍為 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 解 畫(huà)出滿足條件的可行域如圖 1 x2 y2 u表示一組同心圓 圓心為原點(diǎn)o 且對(duì)同一圓上的點(diǎn) x2 y2的值都相等 由圖可知 當(dāng) x y 在可行域內(nèi)取值時(shí) 當(dāng)且僅當(dāng)圓o過(guò)點(diǎn)c時(shí) u最大 過(guò)點(diǎn) 0 0 時(shí) u最小 點(diǎn)c坐標(biāo)為 3 8 所以u(píng)max 73 umin 0 2 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)p x y 到定點(diǎn)d 5 0 的斜率 由圖可知 kbd最大 kcd最小 因?yàn)閏 3 8 b 3 3 所以 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù) 這是線性規(guī)劃的逆向思維問(wèn)題 解答此類問(wèn)題必須要明確線性目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)或邊界取得 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解 同時(shí) 要注意邊界直線斜率與目標(biāo)函數(shù)斜率的關(guān)系 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例題3設(shè)m 1 在約束條件下 目標(biāo)函數(shù)z x my的最大值小于2 則m的取值范圍為 a 1 1 b 1 c 1 3 d 3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓(xùn)練3 設(shè)z kx y 其中實(shí)數(shù)x y滿足若z的最大值為12 則實(shí)數(shù)k 解析 畫(huà)出可行域如圖 其中a 2 3 b 2 0 c 4 4 當(dāng)k 0時(shí) 顯然不符合題意 當(dāng)k 0時(shí) 最大值在點(diǎn)c處取得 此時(shí)12 4k 4 解得k 2 當(dāng)k0 舍去 或k 2 0 舍去 故k 2 答案 2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四線性規(guī)劃中的實(shí)際應(yīng)用解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟 1 審題 仔細(xì)閱讀 準(zhǔn)確理解題意 明確有哪些限制條件 起關(guān)鍵作用的變量有哪些 由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的量較多 為了理順題目中量與量之間的關(guān)系 有時(shí)可借助表格來(lái)處理 2 轉(zhuǎn)化 設(shè)出未知量 由條件寫(xiě)出約束條件和目標(biāo)函數(shù) 從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問(wèn)題 3 求解 解這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題 其求解過(guò)程是 作圖 平移 求最優(yōu)解及最值 4 作答 就應(yīng)用題提出的問(wèn)題作出回答 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例題4某工廠有甲 乙兩種產(chǎn)品 計(jì)劃每天各產(chǎn)品生產(chǎn)量不少于15t 已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1t需煤9t 電力4kw h 勞力3個(gè) 生產(chǎn)乙產(chǎn)品1t需煤5t 電力5kw h 勞力10個(gè) 甲產(chǎn)品每1t利潤(rùn)7萬(wàn)元 乙產(chǎn)品每1t利潤(rùn)12萬(wàn)元 但每天用煤不超過(guò)300t 電力不超過(guò)200kw h 勞力只有300個(gè) 問(wèn)每天各生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品多少時(shí) 能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大 探究一 探究二 探究三 探究四 思路分析 將已知數(shù)據(jù)列成表 如下表所示 設(shè)出未知量 根據(jù)資源限額建立約束條件 由利潤(rùn)關(guān)系建立目標(biāo)函數(shù) 探究一 探究二 探究三 探究四 解 設(shè)每天生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品分別為xt yt 利潤(rùn)總額為z萬(wàn)元 那么作出以上不等式組的可行域 如圖中的陰影部分所示 探究一 探究二 探究三 探究四 12345 1 已知點(diǎn)p x y 在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng) 則z x y的取值范圍是 a 2 1 b 2 1 c 1 2 d 1 2 解析 畫(huà)出滿足約束條件的可行域 如圖 陰影部分 z x y y x z 由圖知截距 z的取值范圍為 2 1 z的取值范圍為 1 2 答案 c 12345 2 若實(shí)數(shù)x y滿足的取值范圍是 a 0 1 b 0 1 c 1 d 1 解析 實(shí)數(shù)x y滿足的相關(guān)區(qū)域如圖中的陰影部分所示 表示陰影部分內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn) 0 0 連線的斜率 由圖可知 取值范圍為 1 答案 c 3 設(shè)變量x y滿足約束條件 則z x 3y的最小值為 解析 作出可行域如圖陰影部分所示 可知當(dāng)x 3y z經(jīng)過(guò)點(diǎn)a 2 2 時(shí) z有最小值 此時(shí)z的最小值為 2 3 2 8 答案 8 12345 12345 4 給出平面區(qū)域如圖陰影部分所示 若使目標(biāo)函數(shù)z ax y a 0 取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè) 則a的值為 解析 將z ax y變形 得y ax z 當(dāng)它與直線ac重合時(shí) 使z取得最大值的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè) 答案 12345 5 某公司有60萬(wàn)元資金 計(jì)劃投資甲 乙兩個(gè)項(xiàng)目 按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)目乙投資的倍 且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低