山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題.doc

專題四 函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例題 如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為a（2，1），且經(jīng)過原點(diǎn)o，與x軸的另一個交點(diǎn)為b。求拋物線的解析式；（用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為）若點(diǎn)c在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)d在拋物線上，且以o、c、d、b四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求d點(diǎn)的坐標(biāo)；連接oa、ab，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)p，使得obp與oab相似？若存在，求出p點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個頂點(diǎn)時應(yīng)以兩個頂點(diǎn)的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以o、c、d、b四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要分類討論:按ob為邊和對角線兩種情況 2. 函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題途徑 求相似三角形的第三個頂點(diǎn)時，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類討論。 或利用已知三角形中對應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。 若兩個三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。 練習(xí)1、已知拋物線經(jīng)過及原點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（由一般式得拋物線的解析式為）（2）過點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn)，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線平行于軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（3）如果符合（2）中的點(diǎn)在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？練習(xí)2、如圖，四邊形oabc是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)a在x軸上，點(diǎn)c在y軸上，將邊bc折疊，使點(diǎn)b落在邊oa的點(diǎn)d處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求直線ce與x軸交點(diǎn)p的坐標(biāo)；（3）是否存在過點(diǎn)d的直線l，使直線l、直線ce與x軸所圍成的三角形和直線l、直線ce與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由。oxy練習(xí)2圖cbed練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若點(diǎn)是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫出此時點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍練習(xí)4 (2008廣東湛江市) 如圖所示，已知拋物線與軸交于a、b兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)c（1）求a、b、c三點(diǎn)的坐標(biāo)（2）過點(diǎn)a作apcb交拋物線于點(diǎn)p，求四邊形acbp的面積（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)m，過m作mg軸于點(diǎn)g，使以a、m、g三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與pca相似若存在，請求出m點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由練習(xí)5、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，acobxy（1）求過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)，（2）在軸上找一點(diǎn)，連接，使得與相似（不包括全等），并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動點(diǎn)，連接，設(shè)，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，請求出的值；如不存在，請說明理由參考答案例題、解:由題意可設(shè)拋物線的解析式為拋物線過原點(diǎn)，.圖1拋物線的解析式為,即 如圖1,當(dāng)ob為邊即四邊形ocdb是平行四邊形時,cdob,由得,b(4,0),ob4.d點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6 將x6代入,得y3,d(6,3); 圖2根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)d,使得四邊形odcb是平行四邊形,此時d點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3), 當(dāng)ob為對角線即四邊形ocbd是平行四邊形時,d點(diǎn)即為a點(diǎn),此時d點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)如圖2，由拋物線的對稱性可知:aoab,aobabo.若bop與aob相似,必須有pobboabpo 設(shè)op交拋物線的對稱軸于a點(diǎn),顯然a(2,1)直線op的解析式為 由,得.p(6,3)過p作pex軸,在rtbep中,be2,pe3,pb4.pbob,bopbpo,pbo與bao不相似, 同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的p點(diǎn).所以在該拋物線上不存在點(diǎn)p,使得bop與aob相似. 練習(xí)1、解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，拋物線的解析式為：（2）存在設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，要使，則有，即解之得，當(dāng)時，即為點(diǎn)，所以得要使，則有，即oxy圖1cbed312a解之得，當(dāng)時，即為點(diǎn)，當(dāng)時，所以得故存在兩個點(diǎn)使得與相似點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）在中，因?yàn)樗援?dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，所以因此，都是直角三角形又在中，因?yàn)樗约从兴裕忠驗(yàn)?，所以練?xí)2解：（1）與相似。理由如下：由折疊知，又，。（2），設(shè)ae=3t，則ad=4t。由勾股定理得de=5t。由（1），得，。在中，解得t=1。oc=8，ae=3，點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)e的坐標(biāo)為（10，3），設(shè)直線ce的解析式為y=kx+b，解得，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為（16，0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y=2x+12，y=2x12。如圖2：準(zhǔn)確畫出兩條直線。練習(xí)3解：（1）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和，由解得此二次函數(shù)的表達(dá)式為（2）假設(shè)存在直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似yxbeaocd在中，令，則由，解得令，得設(shè)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為要使或，已有，則只需，或成立若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為或求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式為此時易知，再求出直線的函數(shù)表達(dá)式為聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為存在直線或與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似，且點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或（3）設(shè)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得此直線的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，并代入，得解得（不合題意，舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為此時，銳角又二次函數(shù)的對稱軸為，點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時，銳角；當(dāng)時，銳角；當(dāng)時，銳角練習(xí)四解：（1）令，得 解得令，得 a b c （2）oa=ob=oc= bac=aco=bco=apcb， pab=過點(diǎn)p作pe軸于e，則ape為等腰直角三角形令oe=，則pe= p點(diǎn)p在拋物線上 解得，（不合題意，舍去）pe=四邊形acbp的面積=aboc+abpe=(3) 假設(shè)存在pab=bac = paacgm圖2cbypamg軸于點(diǎn)g， mga=pac =在rtaoc中，oa=oc= ac=在rtpae中，ae=pe= ap= 設(shè)m點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則m 點(diǎn)m在軸左側(cè)時，則() 當(dāng)amg pca時，有=gm圖3cbypaag=，mg=即 解得（舍去） （舍去）() 當(dāng)mag pca時有=即 解得：（舍去） m 點(diǎn)m在軸右側(cè)時，則 () 當(dāng)amg pca時有=ag=，mg= 解得（舍去） m () 當(dāng)magpca時有= 即 解得：（舍去） m存在點(diǎn)m，使以a、m、g三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與pca相似m點(diǎn)的坐標(biāo)為，練習(xí)5、解：（1）點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式為，圖1由 得，直線的函數(shù)表達(dá)式為（2）如圖1，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，在和中， ，點(diǎn)為所求又，（3）這樣的存在圖2在中，由勾股定理得如圖1，當(dāng)時，則，解得如圖2，當(dāng)時，則，解得例1(2008福建福州)如圖，已知abc是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn)p、q同時從a、b兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿ab、bc勻速運(yùn)動，其中點(diǎn)p運(yùn)動的速度是1cm/s，點(diǎn)q運(yùn)動的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)q到達(dá)點(diǎn)c時，p、q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t2時，判斷bpq的形狀，并說明理由；（2）設(shè)bpq的面積為s（cm2），求s與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作qr/ba交ac于點(diǎn)r，連結(jié)pr，當(dāng)t為何值時，aprprq？分析:由t2求出bp與bq的長度,從而可得bpq的形狀;作qebp于點(diǎn)e,將pb,qe用t表示,由=bpqe可得s與t的函數(shù)關(guān)系式;先證得四邊形eprq為平行四邊形,得pr=qe,再由aprprq,對應(yīng)邊成比例列方程,從而t值可求.解:(1)bpq是等邊三角形,當(dāng)t=2時,ap=21=2,bq=22=4,所以bp=ab-ap=6-2=4,即bq=bp.又因?yàn)閎=600,所以bpq是等邊三角形.(2)過q作qeab,垂足為e,由qb=2t,得qe=2tsin600=t,由ap=t,得pb=6-t,所以=bpqe=(6-t)t=t2+3t；(3)因?yàn)閝rba,所以qrc=a=600，rqc=b=600，又因?yàn)閏=600,所以qrc是等邊三角形,這時bq=2t,所以qr=rc=qc=6-2t.因?yàn)閎e=bqcos600=2t=t,ap=t,所以ep=ab-ap-be=6-t-t=6-2t,所以ep=qr,又epqr,所以四邊形eprq是平行四邊形,所以pr=eq=t,由aprprq,得到,即,解得t=,所以當(dāng)t=時, aprprq.點(diǎn)評: 本題是雙動點(diǎn)問題.動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型.這類試題信息量大,對同學(xué)們獲取信息和處理信息的能力要求較高;解題時需要用運(yùn)動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運(yùn)動、變化的全過程,并特別關(guān)注運(yùn)動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動中取靜,靜中求動.例2(2008浙江溫州)如圖，在中，分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)停止運(yùn)動設(shè)，（1）求點(diǎn)到的距離的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由 分析:由bhdbac,可得dh;由rqcabc,可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;由腰相等列方程可得